*-自律カテゴリ

数学において、*-自律（「スター自律」と読む）カテゴリC は、双対化オブジェクトを備えた対称モノイド 閉カテゴリです。この概念は、ヴェルディエ双対性の概念との関係から、グロタンディーク-ヴェルディエカテゴリとも呼ばれます。 ${\displaystyle \bot}$

C を対称モノイド閉カテゴリとする。任意のオブジェクトAおよびに対して、射が存在する。 ${\displaystyle \bot}$

${\displaystyle \partial _{A,\bot }:A\to (A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot }$

モノイド閉包を定義する全単射による像として定義される

${\displaystyle \mathrm {Hom} ((A\Rightarrow \bot )\otimes A,\bot )\cong \mathrm {Hom} (A,(A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot )}$

射影の

${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,A\Rightarrow \bot }\circ \gamma _{A\Rightarrow \bot ,A}:(A\Rightarrow \bot )\otimes A\to \bot }$

ここで、 はテンソル積の対称性です。カテゴリCのオブジェクトは、関連付けられた射がカテゴリCのすべてのオブジェクトAの同型である場合に、双対化していると呼ばれます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \bot}$${\displaystyle \partial _{A,\bot}}$

同様に、*-自律カテゴリは、対称モノイドカテゴリCと、任意のオブジェクトAに対して自然同型が存在し、任意の3つのオブジェクトA、B、Cに対して自然一対一が存在するような関数を組み合わせたものである。 ${\displaystyle (-)^{*}:C^{\mathrm {op} }\to C}$${\displaystyle A\cong {A^{**}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (A\otimes B,C^{*})\cong \mathrm {Hom} (A,(B\otimes C)^{*})}$。

Cの双対化オブジェクトは によって定義されます。 を識別することで、2 つの定義の同値性が示されます 。 ${\displaystyle \bot =I^{*}}$${\displaystyle A^{*}=A\Rightarrow \bot }$

コンパクト閉圏は*-自律的であり、モノイド単位を双対化対象とする。逆に、*-自律圏の単位が双対化対象である場合、写像の標準的な族が存在する。

${\displaystyle A^{*}\otimes B^{*}\to (B\otimes A)^{*}}$。

これらはすべて、*-自律カテゴリがコンパクト閉である場合に限り、同型です。

よく知られている例としては、任意の体k上の有限次元ベクトル空間のカテゴリを通常のベクトル空間のテンソル積でモノイド化したものが挙げられます。双対化対象は1 次元ベクトル空間kであり、双対化は転置に対応します。k 上のすべてのベクトル空間のカテゴリは *-自律ではありませんが、位相ベクトル空間のカテゴリへの適切な拡張は*-自律にすることができます。

一方、位相ベクトル空間のカテゴリには、極めて広い完全なサブカテゴリであるステレオタイプ空間のカテゴリSte が含まれます。これは、双対化オブジェクトとテンソル積を持つ *-自律カテゴリです。 ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$${\displaystyle \circledast }$

線型論理のさまざまなモデルは*-自律カテゴリを形成しますが、その最も古いものはジャン=イヴ・ジラールのコヒーレンス空間のカテゴリでした。

すべての結合を保存するが、必ずしも会合を保存するわけではない射を持つ完全半束のカテゴリは、2 つの要素の連鎖を双対化として *-自律的です。退化した例 (濃度が最大で 1 のすべてのホムセット) は、テンソル積に連言を使用し、双対化オブジェクトとして 0 を取ることでモノイド化された任意のブール 代数(半順序集合として) によって与えられます。

ヴェルディエ双対性の形式論は、*-自律カテゴリのさらなる例を与えます。たとえば、Boyarchenko & Drinfeld (2013) は、代数多様体上の構成可能なl-進層の有界導来カテゴリがこの特性を持つと述べています。さらなる例としては、さまざまな種類の位相空間上の構成可能な層の導来カテゴリがあります。

*-自律ではない自己双対カテゴリの例としては、有限線型順序と連続関数が挙げられます。これらは * を持ちますが、自律的ではありません。つまり、その双対化オブジェクトは 2 要素チェーンですが、テンソル積はありません。

集合とその部分注入のカテゴリは、後者の逆もまた部分注入であるため、自己双対です。

*-自律カテゴリの概念は、1979年にマイケル・バーがそのタイトルのモノグラフで導入しました。バーは、対称モノイドカテゴリまたは自律カテゴリVで強化されたカテゴリであるVカテゴリのより一般的な状況に対する概念を定義しました。上記の定義は、バーの定義を、ホモオブジェクトが(射の)集合を形成する通常のカテゴリのV = Setの場合に特殊化したものです。バーのモノグラフには、学生のポー・シアン・チューによる付録が含まれており、バーによる構成の詳細が展開されています。この付録では、プルバックを持つすべての対称モノイドカテゴリVに対する非自明な *-自律Vカテゴリの存在が示されており、そのオブジェクトは10年後にチュー空間として知られるようになりました。

必ずしも対称的ではない双閉モノイドカテゴリ Cでは、双対化オブジェクトを定義してから、双対化オブジェクトを持つ双閉モノイドカテゴリとして *-自律カテゴリを定義することができます。これらは、対称の場合と同様に同等の定義です。

• バー、マイケル(1979)。*-自律カテゴリ。数学講義ノート。第 752 巻。シュプリンガー。doi : 10.1007/ BFb0064579。ISBN 978-3-540-09563-7。
• バー、マイケル (1995)。「非対称*-自律カテゴリ」。理論計算機科学。139 :115–130。doi : 10.1016 /0304-3975(94)00089-2。S2CID  14721961。
• Barr, Michael (1999). 「*-自律カテゴリ: もう一度軌道を回る」(PDF) .カテゴリの理論と応用. 6 : 5–24. CiteSeerX  10.1.1.39.881 .
• Boyarchenko, Mitya; Drinfeld, Vladimir (2013). 「Grothendieck と Verdier の精神に基づく双対性形式論」.量子トポロジー. 4 (4): 447–489. arXiv : 1108.6020 . doi :10.4171/QT/45. MR  3134025. S2CID  55605535.
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