前群文法

前群文法 (PG) は、範疇文法と密接に関係する文法形式です。範疇文法 (CG) と同様に、PG は一種の型論理文法です。ただし、CG とは異なり、PG には明確な関数型がありません。代わりに、PG はモノイド演算と組み合わせた逆型を使用します。

前群は、以下の関係を満たす モノイドであるような半順序 代数です。 ${\displaystyle (A,1,\cdot ,-^{l},-^{r},\leq )}$${\displaystyle (A,1,\cdot )}$

• ${\displaystyle x^{l}\cdot x\leq 1\qquad x\cdot x^{r}\leq 1}$     （収縮）
• ${\displaystyle 1\leq x\cdot x^{l}\qquad 1\leq x^{r}\cdot x}$     （拡大）

収縮と膨張の関係は、 アジュドゥキエヴィチの法則と呼ばれることもあります。

このことから、次の式が成り立つことが証明できます。

• ${\displaystyle 1^{l}=1=1^{r}}$
• ${\displaystyle x^{lr}=x=x^{rl}}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)^{l}=y^{l}\cdot x^{l}\qquad (x\cdot y)^{r}=y^{r}\cdot x^{r}}$

${\displaystyle x^{l}}$および はそれぞれxの左随伴関数と右随伴関数と呼ばれます。 ${\displaystyle x^{r}}$

記号と はそれぞれ およびとも表記されます。圏論では、前群は自律圏^[1]または (非対称)コンパクト閉圏^[2]とも呼ばれます。より一般的には、は隣接性によって、つまり として表されます。 ${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \to}$${\displaystyle x\cdot y}$${\displaystyle xy}$

前群文法は、単語（および場合によっては形態素）の辞書L 、前群を自由に生成する原子型の集合T、および単語を型に関連付ける関係で構成されます。単純な前群文法では、型付けは単語をそれぞれ 1 つの型にのみマッピングする関数です。 ${\displaystyle :}$

モデル言語として英語を使用するいくつかのシンプルで直感的な例は、プレグループの背後にある基本原則と言語領域でのその使用法を示しています。

L = { John, Mary, the, dog, cat, met, barked, at }、T = { N, S, N ₀ } とし、次の型関係が成り立つものとします 。

${\displaystyle {\textit {ジョン}}:N\qquad {\textit {メアリー}}:N\qquad {\textit {その}}:N\cdot N_{0}^{l}\qquad {\textit {犬}}:N_{0}\qquad {\textit {猫}}:N_{0}}$

${\displaystyle {\textit {会った}}:N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\qquad {\textit {吠えた}}:N^{r}\cdot S\qquad {\textit {で}}:S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}}$

タイプTを持つ文S は、 の場合に文法的に正しいと言われます。 これは、 の連鎖を使用して証明できます。 たとえば、 が文法的に正しいことを証明するには、 を証明します。 ${\displaystyle T\leq S}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle {\textit {ジョン}}\ {\textit {met}}\ {\textit {メアリー}}:N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N}$${\displaystyle N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N\leq S}$

${\displaystyle N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N~\leq ~S\cdot N^{l}\cdot N~\leq ~S}$

最初に で縮約し、次に で縮約します。ただし、縮約する型の間に描画されたリンクで接続することで縮約を示す、より便利な表記法があります（リンクがネストされている、つまり交差していないことが条件です）。また、証明をより直感的にするために、単語は通常、型の上に配置されます。この表記法で同じ証明を行うと、単に ${\displaystyle N\cdot N^{r}}$${\displaystyle N^{l}\cdot N}$

より複雑な例は、犬が猫に吠えるという文法が正しいことを証明します。

前群文法は、1993 年にヨアヒム ランベックが統語論的計算の発展として導入したもので、商を随伴語に置き換えたものです。^{[3]このような随伴語は、}ハリスによって以前にすでに使用されていましたが、反復随伴語や展開規則はありませんでした。このような随伴語を追加することは、 という事実が必要となる、より複雑な言語的ケースを処理する上で興味深いものでした。これは、より代数的な観点によっても動機付けられました。前群の定義は、群の定義を弱めたもので、左逆と右逆を区別し、等式を順序に置き換えています。この弱めが必要だったのは、自由群の型を使用するとうまくいかないためです。形容詞は型 を取得するため、文のどの位置にも挿入できます。^[4]${\displaystyle a^{ll}\neq a}$${\displaystyle N\cdot N^{-1}=1}$

その後、英語^[5]、 イタリア語^[6]、 フランス語[ ^7] 、ペルシア語^[8]、サンスクリット語^[9]など、さまざまな言語（またはその断片）に対して前群文法が定義され、研究されてきました。サンスクリット語のように語順が比較的自由な言語では、前循環性を利用して前群に交換関係を導入する必要がありました。

PG には関数型がないため、λ 計算または関数の表記を介してセマンティクスを与える通常の方法は、明白な方法では利用できません。代わりに、2 つの異なる方法が存在します。1 つは λ 計算に対応する純粋に形式的な方法であり、もう 1 つは量子力学のテンソル数学 (の一部) に類似した表記法です。

PG の純粋に形式的なセマンティクスは、次の規則に従って定義された論理言語で構成されます。

• 原子項T = { a , b , ...} と原子関数記号F = { f _m , g _n , ...} (ここで、添え字はアリティを示すメタ表記)、および変数x、y、 ... の集合が与えられた場合、すべての定数、変数、および適切な関数適用は基本項です (関数適用が適切な形式であるのは、関数記号が適切な数の引数に適用された場合です。引数は原子項、変数、または他の基本項から取得できます)。
• 基本的な用語はどれも用語である
• 任意の変数xが与えられると、[ x ]は項である。
• 任意の項mとnが与えられたとき、項${\displaystyle m\cdot n}$

項の例としては、f ( x )、g ( a、h ( x、y ))、などがあります。変数x は、[ x ] がtに現れない場合、項t内で自由であり、自由変数のない項は閉じた項です。項は、明らかな方法で前群型を使用して型付けできます。 ${\displaystyle g(x,b)\cdot [x]}$

α 変換に関する通常の規則が適用されます。

与えられた言語に対して、型の前群構造を尊重する方法で、型付き単語を型付き閉じた用語にマッピングする割り当てIを与えます。したがって、上記の英語の断片に対しては、次の割り当てが考えられます (原子用語と関数記号の明白で暗黙的なセットを使用)。

${\displaystyle {\begin{aligned}I({\textit {John}}:N)&=j:E\\I({\textit {Mary}}:N)&=m:E\\I(the:N\cdot N_{0}^{l})&=\iota (p)\cdot [p]:E\cdot E_{0}^{l}\\I(dog:N_{0})&=dog:E_{0}\\I(cat:N_{0})&=cat:E_{0}\\I(met:N^{r}\cdot S\cdot N^{l})&=[x]\cdot met(x,y)\cdot [y]:E^{r}\cdot T\cdot E^{l}\\I(barked:N^{r}\cdot S)&=[x]\cdot barked(x):E^{r}\cdot T\\I(at:S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l})&=[x]\cdot y\cdot [y]\cdot at(x,z)\cdot [z]:T^{r}\cdot E^{rr}\cdot E^{r}\cdot T\cdot E^{l}\end{aligned}}}$

ここで、E はドメイン内のエンティティの型であり、T は真理値の型です。

PGのセマンティクスのこのコア定義に加えて、型縮小と並行して使用される縮小ルールもあります。構文型を最上部に、セマンティクスを下に配置すると、

例えば、これを文の型と意味論に適用すると（リンクが縮小されることを強調する） ${\displaystyle {\textit {John}}\ {\textit {met}}\ {\textit {Mary}}:N\cdot (N^{r}\cdot S\cdot N^{l})\cdot N}$

次の文について: ${\displaystyle {\textit {the}}\ {\textit {dog}}\ {\textit {barked}}\ {\textit {at}}\ {\textit {the}}\ {\textit {cat}}:(N\cdot N_{0}^{l})\cdot N_{0}\cdot (N^{r}\cdot S)\cdot (S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l})\cdot (N\cdot N_{0}^{l})\cdot N_{0}}$

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• ランベック計算

• Lambek, Joachim (2008). 「前群文法とチョムスキーの初期の事例」(PDF) .論理、言語、情報ジャーナル. 17 (2): 141–160. doi :10.1007/s10849-007-9053-2. S2CID  30256603.
• Preller, Anna (2007)。「意味的前群文法はフランス語の長距離依存関係を処理する」(PDF)。原稿。
• クラウディア・カサディオ（2004）「前群文法。理論と応用」