ワイル計量

一般相対性理論において、ワイル計量（ドイツ系アメリカ人の数学者ヘルマン・ワイルにちなんで名付けられた）^[1]は、アインシュタインの場の方程式の静的かつ軸対称な解の一種である。有名なカー・ニューマン族の解の3つのメンバー、すなわちシュヴァルツシルト計量、非極限ライスナー・ノルドストローム計量、極限ライスナー・ノルドストローム計量は、ワイル型計量として識別することができる。

ワイル解の類は、一般形^{[2] [3]を持つ。}

ここで、 と はワイルの標準座標に依存する2つの計量ポテンシャルです。 この座標系はワイル時空の対称性（2つのキリングベクトル場がと）に最も適しており、円筒座標のように動作することがよくありますが、^[2]地平線とその外部のみをカバーするブラックホールを記述する場合には不完全です。 ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$${\displaystyle \xi ^{t}=\partial _{t}}$${\displaystyle \xi ^{\phi }=\partial _{\phi }}$${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$

したがって、特定の応力エネルギーテンソル に対応する静的軸対称解を決定するには、ワイル計量Eq(1)をアインシュタインの方程式（c = G =1）に代入するだけでよい。 ${\displaystyle T_{ab}}$

2 つの関数とを計算します。 ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$

最もよく研​​究され、最も有用なワイル解の1つは、電磁気学の真空の場合である。ここで、電磁気学の真空の 場合...${\displaystyle T_{ab}}$${\displaystyle A_{a}}$${\displaystyle F_{ab}}$${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle (T=g^{ab}T_{ab}=0)}$

これはソースフリー共変マクスウェル方程式を尊重する：

式(5.a)は次のように簡略化できる。

計算では となる。また、電気真空の場合、式(2)は次のように簡約される。 ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$${\displaystyle R=-8\pi T=0}$

ここで、ワイル型軸対称静電ポテンシャルが（成分は実際には電磁スカラーポテンシャルである）であり、ワイル計量式（1）と合わせて、式（3）（4）（5）（6）は次を意味すると仮定する。 ${\displaystyle A_{a}=\Phi (\rho ,z)[dt]_{a}}$${\displaystyle \Phi }$

ここで、式(7.a)が得られるか、式(7.b)が得られるか、式(7.c)が得られるか、式(7.d)が得られるか、式(5.b)は式(7.e)が得られる。ここで、と はそれぞれラプラス演算子と勾配演算子である。さらに、物質と幾何学の相互作用の意味で、漸近平坦性を仮定すると、式(7.ae)は次の特性関係を意味することがわかる。 ${\displaystyle R=0}$${\displaystyle R_{tt}=8\pi T_{tt}}$${\displaystyle R_{\varphi \varphi }=8\pi T_{\varphi \varphi }}$${\displaystyle R_{\rho \rho }=8\pi T_{\rho \rho }}$${\displaystyle R_{zz}=8\pi T_{zz}}$${\displaystyle R_{\rho z}=8\pi T_{\rho z}}$${\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$${\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}}$${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$

特に、最も単純な真空の場合、およびの場合、式(7.a-7.e)は次のように簡約される^[4]。${\displaystyle \Phi =0}$${\displaystyle T_{ab}=0}$

まず式(8.b)を解くことで を得ることができ、次に式(8.c)と式(8.d)を について積分します。実際には、 から生じる式(8.a)は、無矛盾関係または積分可能性条件として機能します。 ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$${\displaystyle R=0}$

非線形ポアソン方程式Eq(7.b)とは異なり、Eq(8.b)は線形ラプラス方程式です。つまり、Eq(8.b)の与えられた真空解を重ね合わせても解になります。この事実は、シュワルツシルトブラックホールを解析的に歪めるなど、幅広い応用があります。

軸対称ラプラス演算子と勾配演算子を使用して、式(7.a-7.e)と式(8.a-8.d)を簡潔に記述しました。これは、特性関係式(7.f)の導出に非常に役立ちます。文献では、式(7.a-7.e)と式(8.a-8.d)は、次の形式でも記述されることがよくあります。

そして

時空の幾何学とエネルギー物質分布の相互作用を考慮すると、式(7.a-7.e)において計量関数は関数を介して静電スカラーポテンシャルと関係している（つまり幾何学はエネルギーに依存する）と仮定するのが自然であり、次のようになる。 ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$${\displaystyle \Phi (\rho ,z)}$${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$

式(B.1)は、式(7.b)と式(7.e)をそれぞれ次のように変換します。

それによって

ここで変数を に置き換えると、式(B.4)は次のように簡略化される。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \zeta :=e^{2\psi }}$

式(B.5)の直積分は となり、 は積分定数である。空間無限大で漸近平坦性を回復するには と が必要となるため、 となる。また、以降の計算で数学的な便宜を図るため定数 をとして書き直すと、最終的に式(7.a-7.e)によって暗示される特性関係が得られる。 ${\displaystyle \zeta =e^{2\psi }=\Phi ^{2}+{\tilde {C}}\Phi +B}$${\displaystyle \{B,{\tilde {C}}\}}$${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0}$${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1}$${\displaystyle B=1}$${\displaystyle {\tilde {C}}}$${\displaystyle -2C}$

この関係は、式(7.a-7.f)を線形化し、電磁ワイル解を重ね合わせる際に重要です。

ワイル計量式(1)では、したがって弱場極限の近似では、 ${\textstyle e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\pm 2\psi )^{n}}{n!}}}$${\displaystyle \psi \to 0}$

そしてそれゆえ

これは、太陽や地球のような低質量天体によって生成される静的および弱い重力場のよく知られた近似測定法と非常に類似している。 ^[5]

ここで、 はポアソン方程式 を満たす通常のニュートンポテンシャルであり、ワイル計量ポテンシャル の式 (3.a) または式 (4.a) とまったく同じです。 と の類似性は、ワイルクラスの解を研究する際にのニュートン類似体を見つけようとする人々に刺激を与えます。つまり、特定のタイプのニュートンソースによって非相対論的に再現することです。 のニュートン類似体は、特定のワイル型解を指定し、既存のワイル型解を拡張するのに非常に役立ちます。^[2]${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$${\displaystyle \nabla _{L}^{2}\Phi _{N}=4\pi \varrho _{N}}$${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$

真空方程式Eq( 8 )の解としてシュワルツシルト計量を生成するワイルポテンシャルは^{[2] [3] [4]}で与えられる。

どこ

ニュートン力学の類似性の観点からは、は、軸上に対称的に配置された質量と長さの棒によって生成される重力ポテンシャル、つまり、区間 に埋め込まれた均一密度の線質量によって生成される重力ポテンシャルに等しい。（注：この類似性に基づいて、シュワルツシルト計量の重要な拡張が開発されており、参考文献^[2]で議論されている）。 ${\displaystyle \psi _{SS}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 2M}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \sigma =1/2}$${\displaystyle z\in [-M,M]}$

とが与えられると、ワイル計量式( 1 )は ${\displaystyle \psi _{SS}}$${\displaystyle \gamma _{SS}}$

そして、次の相互に矛盾のない関係を代入した後、

通常の座標系ではシュワルツシルト計量の一般的な形式が得られる。 ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

計量式( 14 )は、標準的な円筒-球面変換を実行しても式( 16 )に直接変換できません。これは、が完全であるのに対し、が不完全であるためです。このため、式( 1 )を円筒座標ではなくワイルの標準座標と呼びますが、これらには多くの共通点があります。たとえば、式( 7 )のラプラシアンは、円筒座標の2次元幾何学的ラプラシアンとまったく同じです。 ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )=(t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )}$${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$

式( 7 )の解として非極限ライスナー・ノルドストローム解( )を生成するワイルポテンシャルは^{[2] [3] [4]}で与えられる。${\displaystyle M>|Q|}$

どこ

したがって、およびが与えられると、ワイル計量は ${\displaystyle \psi _{RN}}$${\displaystyle \gamma _{RN}}$

そして次の変換を採用する

通常の座標系では、非極値ライスナー・ノルドストローム計量の一般的な形式が得られる。 ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

式( 7 )の解として極限Reissner-Nordström解( )を生成するポテンシャルは^[4]で与えられる(注:極限解は非極限解の退化状態よりもはるかに大きいため、別途 扱う)。${\displaystyle M=|Q|}$

したがって、極限ライスナー・ノルドストローム計量は次のように表される。

そして、

通常の座標系における極限ライスナー・ノルドストローム計量を得る。 ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

数学的には、極限的なライスナー・ノルドストロームは、対応する非極限方程式の極限を取ることによって得られますが、その間、ロピタル則を使用する必要がある場合もあります。 ${\displaystyle Q\to M}$

備考:消失ポテンシャルを持つワイル計量 Eq( 1 ) は、（極限ライスナー・ノルドストローム計量のように）識別すべき計量ポテンシャルが 1 つしかない特別なサブクラスを構成します。このサブクラスを拡張して軸対称性の制限を解除すると、別の有用な解のクラス（ワイル座標を使用）であるコンフォーマスタティック計量が得られます。^{[6] [7]}${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$

ここで、式( 22 )では、式( 1 )の の代わりに単一の計量関数を使用して、軸対称性(依存性)によって異なることを強調しています。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$

ワイル計量は球座標でも表現でき、

これは座標変換により式( 1 )に等しい（注：式( 15 )( 21 )( 24 )で示されるように、この変換は常に適用できるわけではない）。真空の場合、式( 8.b )は ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )\mapsto (t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$${\displaystyle \psi (r,\theta )}$

式( 28 )の漸近的に平坦な解は^{[2]である。}

ここで、はルジャンドル多項式、は多重極係数である。他の計量ポテンシャルは^[2]で与えられる。${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \gamma (r,\theta )}$

• シュワルツシルト計量
• ライスナー・ノルドストローム計量
• 歪んだシュワルツシルト計量