漸近理論（統計学）

統計学において、漸近理論、あるいは大規模サンプル理論は、推定量と統計検定の特性を評価するための枠組みである。この枠組みでは、サンプルサイズ nが無制限に大きくなると仮定されることが多く、推定量と検定の特性はn → ∞の極限で評価される。実際には、極限評価は有限の大規模サンプルサイズに対してもほぼ有効であると考えられている。^[1]

ほとんどの統計問題は、サイズ nのデータセットから始まります。漸近理論は、（原理的には）追加データを収集し続けることが可能であり、したがってサンプルサイズが無限に増える、つまりn → ∞という仮定に基づいて進みます。この仮定の下では、有限サイズのサンプルでは得られない多くの結果が得られます。その一例が、大数の弱法則です。この法則は、独立かつ同一に分布する（IID）ランダム変数のシーケンス X ₁、X ₂、 ...について、各ランダム変数から 1 つの値を抽出し、最初のn値の平均をX _nとして計算すると、n → ∞のときにX _{n が} 確率的に母平均E[ X _i ]に収束することを述べています。^[2]

漸近理論では、標準的なアプローチはn → ∞です。一部の統計モデルでは、漸近のアプローチが若干異なる場合があります。たとえば、パネルデータでは、データの1つの次元は固定され、もう1つの次元は増加すると想定されるのが一般的です。つまり、T = 定数でN → ∞、またはその逆です。^[2]

漸近解析に対する標準的なアプローチの他に、他の代替アプローチも存在します。

• 局所漸近正規性フレームワークでは、モデル内の「真のパラメータ」の値はnとともにわずかに変化し、n番目のモデルはθ _n = θ + h / √ nに対応すると想定されます。このアプローチにより、推定量の規則性を調べることができます。
• 統計的検定が帰無仮説に近い対立仮説を区別する力について研究される場合、それはいわゆる「局所対立仮説」の枠組みの中で行われます。帰無仮説はH ₀ : θ = θ ₀で、対立仮説はH ₁ : θ = θ ₀ + h / √ n です。このアプローチは、単位根検定で特に人気があります。
• パラメータ空間Θ _nの次元がnとともにゆっくりと拡大するモデルがあり、これは観測値が増えるほど、より多くの構造効果がモデルに組み込めるようになるという事実を反映しています。
• カーネル密度推定とカーネル回帰では、追加のパラメータとして帯域幅hが想定されます。これらのモデルでは、通常、 n → ∞のときにh → 0とみなされます。ただし、収束率は慎重に選択する必要があり、通常はh ∝ n ^−1/5です。

多くの場合、有限サンプルに対しては数値的手法（コンピュータなど）によって非常に正確な結果が得られますが、そのような場合でも漸近解析は有用です。この点は Small (2010, §1.4) によって次のように述べられています。

漸近解析の主な目的は、定量的ツールのより深い定性的な理解を得ることです。漸近解析の結論は、数値的手法で得られる結論を補足することがよくあります。

推定値のシーケンスは、推定されるパラメータの真の値に 確率的に収束する場合、一貫していると言われます。

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ \theta _{0}.}$

つまり、大まかに言えば、無限量のデータがあれば、推定量（推定値を生成するための式）は、推定対象のパラメータに対してほぼ確実に正しい結果を与えることになる。^[2]

非ランダム定数{ a _n }、{ b _n }（ θ ₀の値に依存する可能性がある）のシーケンスと、非退化分布Gを見つけることが可能であり、

${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-a_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ G,}$

推定量の列は漸近分布Gを持つと言われます。 ${\displaystyle \textstyle {\hat {\theta }}_{n}}$

実際に遭遇する推定量はほとんどの場合、漸近正規分布であり、その漸近分布は正規分布であり、a _n = θ ₀、b _n = √ n、G = N (0, V )であることを意味します。

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0, V).}$

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