連続写像定理

確率論における連続写像定理は、連続関数は引数がランダム変数の列であっても極限を保存することを述べています。ハイネの定義における連続関数とは、収束列を収束列に写す関数です。つまり、 x _n → xならばg ( x _n ) → g ( x ) です。連続写像定理によれば、決定論的列 { x _n } をランダム変数の列 { X _n } に置き換え、実数の収束の標準概念 “→” をランダム変数の収束のタイプの 1 つに置き換えても、このことが成り立ちます。

この定理は1943年にヘンリー・マンとアブラハム・ウォルドによって初めて証明されたため^{[1] 、}マン・ウォルド定理と呼ばれることもあります。^[2]一方、デニス・サーガンはこれを一般変換定理と呼んでいます。^[3]

{ X _n }, X を距離空間S上で定義されたランダムな元とする。関数g : S → S′ (ここでS′は別の距離空間) が不連続点の集合D _gを持ち、 Pr[ X  ∈  D _g ] = 0となると仮定する。すると^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!{\text{as}}\!\!}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!{\text{as}}\!\!}}\ g(X).\end{aligned}}}$

ここで、上付き文字「d」、「p」、「as」はそれぞれ分布の収束、確率の収束、ほぼ確実な収束を表します。

空間SとS′には特定の距離が与えられています。距離は任意であり、必ずしもユークリッド距離である必要はありませんが、簡単にするために、これらの距離は両方とも | x  −  y | という表記法で表します。

我々は、ポートマントー定理から、分布の収束は次と等しいという 特別な記述を必要とする。${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {d}}X}$

${\displaystyle \mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)}$任意の有界連続関数fに対して。

したがって、すべての有界連続関数fに対してを証明すれば十分です。簡単にするために、g が連続であると仮定します。 はそれ自体が有界連続関数であることに注意してください。したがって、この主張は上記のステートメントから導かれます。一般的なケースは、もう少し技術的です。 ${\displaystyle \mathbb {E} f(g(X_{n}))\to \mathbb {E} f(g(X))}$${\displaystyle F=f\circ g}$

任意のε > 0を固定する。任意のδ > 0 に対して、次のように定義される  集合B _{δを考える。}

${\displaystyle B_{\delta }={\big \{}x\in S\mid x\notin D_{g}:\ \exists y\in S:\ |x-y|<\delta ,\,|g(x)-g(y)|>\varepsilon {\big \}}.}$

これは関数g (·) の連続点xの集合であり、 xのδ近傍内でg ( x )のε近傍の外側に写像する点を見つけることができる。連続性の定義により、この集合はδ がゼロに近づくにつれて縮小し、lim _{δ  → 0} B _δ  = ∅ となる。

ここで、| g ( X ) −  g ( X _n )| >  εと仮定します。これは、| X − X _n | ≥  δ、またはX  ∈  D _g、またはX ∈ B _δのいずれかが真であることを意味します。確率的に、これは次のように表すことができます 。

${\displaystyle \Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}\leq \Pr {\big (}|X_{n}-X|\geq \delta {\big )}+\Pr(X\in B_{\delta })+\Pr(X\in D_{g}).}$

右側では、 { X _n }列の確率収束の定義により、 任意の固定δに対してn → ∞ で最初の項はゼロに収束します。 集合B _δが空集合に縮小するため、 2 番目の項はδ → 0 でゼロに収束します。そして、最後の項は定理の仮定により常にゼロに等しくなります。したがって、結論は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}=0,}$

これはg ( Xn )_が確率的にg ( X )に収束することを意味します。

関数g (·)の連続性の定義により、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }g(X_{n}(\omega ))=g(X(\omega ))}$

各点X ( ω )においてg (·)は連続である。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X)\right)&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X),\ X\notin D_{g}\right)\\&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X,\ X\notin D_{g}\right)=1,\end{aligned}}}$

なぜなら、ほぼ確実な 2 つのイベントの交差はほぼ確実だからです。

定義により、g ( Xn )_はほぼ確実にg ( X )に収束すると結論付けられます。

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