セールのモジュラリティ予想

数学において、ジャン＝ピエール・セール （1975年、1987年）によって提唱されたセールのモジュラリティ予想は、モジュラ形式から有限体上の奇数で既約な2次元ガロア表現が生じるというものである。この予想のより強いバージョンは、モジュラ形式の重みとレベルを指定する。レベル1の場合の予想は、2005年にチャンドラシェカール・カーレによって証明され、 ^[1]完全な予想の証明は、 2008年にカーレとジャン＝ピエール・ウィンテンバーガーによって共同で完了した。^[2]

この予想は有理数体の絶対ガロア群 に関するものである。 ${\displaystyle G_{\mathbb {Q}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

を有限体 上の絶対既約で連続な 2 次元表現とします。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q}}}$${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$

${\displaystyle \rho \colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).}$

さらに、が奇数であると仮定すると、複素共役の像は行列式 -1 を持ちます。 ${\displaystyle \rho}$

任意の正規化モジュラー固有形式

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots }$

レベル 、重量、およびいくつかのネベンタイプ特性${\displaystyle N=N(\rho )}$ ${\displaystyle k=k(\rho )}$

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}}$、

志村、ドリーニュ、セール＝ドリーニュによる定理は表現 に付随する。${\displaystyle f}$

${\displaystyle \rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),}$

ここで は の有限拡大における整数環である。この表現は、すべての素数 に対してがと互いに素である という条件によって特徴付けられる。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle ネル}$

${\displaystyle \operatorname {トレース} (\rho _{f}(\operatorname {フロブ} _{p}))=a_{p}}$

そして

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).}$

この表現を の最大イデアルを法として簡約すると、のmod表現が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q}}}$

セールの予想は、上記のような任意の表現に対して、次のような モジュラー固有形式が存在することを主張する。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$。

予想形式のレベルと重みは、セールの論文で明示的に推測されています。さらに、セールはこの予想から、フェルマーの最終定理や、現在証明されている谷山・ヴェイユ（または谷山・志村）予想（現在はモジュラリティ定理として知られています）など、いくつかの結果を導き出しています（これはフェルマーの最終定理を暗示していますが、セールはそれを予想から直接証明しています）。 ${\displaystyle f}$

セールの予想の強い形式は、モジュラー形式のレベルと重みを記述します。

最適なレベルは、パワーが削除された表現のArtin 導体です。 ${\displaystyle l}$

この予想のレベル1と小さい重みの場合の証明は、2004年にChandrashekhar KhareとJean-Pierre Wintenberger ^[3]、およびLuis Dieulefait ^[4]によって独立に得られました。

2005年にチャンドラシェカール・カレはセール予想のレベル1の証明を達成し^[5]、2008年にはジャン＝ピエール・ウィンテンベルガーと共同でセール予想の完全な証明を達成した^{[6] 。}

• Serre、Jean-Pierre (1975)、「Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo l」、Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf.、ボルドー大学、1974)、Astérisque、24–25: 109–117、ISSN  0303-1179、氏 0382173
• Serre, Jean-Pierre (1987)、「Sur les représentations modulaires de gré 2 de Gal( Q /Q)」、Duke Mathematical Journal、54 (1): 179–230、doi :10.1215/S0012-7094-87-05413 -5、ISSN  0012-7094、MR  0885783
• スタイン、ウィリアム A.、リベット、ケネス A. (2001)、「セールの予想に関する講義」、コンラッド、ブライアン、ルービン、カール (編)、算術代数幾何学 (パークシティ、ユタ州、1999)、IAS/パークシティ数学シリーズ、第 9 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、pp. 143–232、ISBN 978-0-8218-2173-2、MR  1860042

• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

• セールのモジュラリティ予想^[盗用] 2007 年 10 月 25 日に行われたケン・リベットによる 50 分間の講義(スライド PDF、スライドの他のバージョン PDF)
• セール予想に関する講義