アーサー・セルバーグ痕跡式

数学において、アーサー・セルバーグトレース公式は、群SL _2から大域体上の任意の簡約群へのセルバーグトレース公式の一般化であり、 1974年から2003年にかけてジェームズ・アーサーが一連の論文で開発した。これは、大域体F上で定義された簡約代数群 $G$ $と、$ $F$ のアデール環Aにおける、 $L$ $2$ $($ $G$ $($ $F$ $)\$ $G$ $($ $A$ $) )$ の離散部分 $L$ $2$ $0$ $($ $G$ $($ $F$ $)$ $\$ $G$ $($ $A$ $))上の$ $G$ $($ $A$ )の表現の性質を幾何学的データで記述する。

トレース公式にはいくつかの異なるバージョンがあります。最初のバージョンは未洗練トレース公式で、その項は切り捨て演算子に依存し、不変ではないという欠点があります。アーサーは後に、より応用に適した不変トレース公式と安定トレース公式を発見しました。単純トレース公式（Flicker & Kazhdan 1988 ）は、一般性は低いものの証明は容易です。局所トレース公式は、局所体上の類似物です。ジャケの相対トレース公式は、非対角部分群上で核関数を積分する一般化です。

表記法

Fは、有理数体のような大域的な体である。
AはFのアデール環である。
GはF上で定義された簡約代数群である。

コンパクトケース

$G ( F )\ G ( A )$ がコンパクトな場合、表現は既約表現の直和として分解され、トレース公式は有限指数の部分群の自明な表現から誘導される表現の指標に関するフロベニウス公式に類似している。

セルバーグによるものと考えられるコンパクトなケースでは、群G ( F ) とG ( A ) は $、Γ\$ $G$ がコンパクトである局所コンパクト群 $G$ の任意の離散部分群 $Γ$ に置き換えることができる。群 $G$ $は、Γ\$ $G$ 上の関数空間に右正則表現 $R$ によって作用し、これは $G$ 上の関数 $f$ の環とみなされる $G$ の群環の作用に拡張される。この表現の指標は、フロベニウスの公式の一般化によって次のように与えられる。Γ $\$ $G$ 上の関数 $φに対する関数$ $f$ の作用は次のように与えられる。

\displaystyle R(f)(\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\,dy=\int _{\Gamma \backslash G}\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\phi (y)\,dy.

言い換えれば、 $R (f)は$ $L2 (Γ\ G ) ($ $Γ\ G$ 上の関数空間)上の積分作用素であり $、$ 核は

\displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y).

$したがって、 R (f)$ のトレースは次のように与えられる。

\displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\int _{\Gamma \backslash G}K_{f}(x,x)\,dx.

カーネルKは次のように書ける。

K_{f}(x,y)=\sum _{o\in O}K_{o}(x,y)

ここで、 $O$ $はΓ$ の共役類の集合であり、

K_{o}(x,y)=\sum _{\gamma \in o}f(x^{-1}\gamma y)=\sum _{\delta \in \Gamma _{\gamma }\backslash \Gamma }f(x^{-1}\delta ^{-1}\gamma \delta y)

どこ $\gamma$ は共役類の要素である $o$ 、そして $\Gamma _{\gamma }$ は、 $\Gamma$ 。

一方、トレースは次のように表される。

\displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\sum _{\pi }m(\pi )\operatorname {Tr} (f(\pi ))

どこ $m(\pi )$ は既約ユニタリ表現の多重度である。 $\pi$ の $G$ で $L^{2}(\Gamma \backslash G)$ そして $f(\pi )$ は空間上の演算子である $\pi$ によって与えられた $\int _{G}f(y)\pi (y)dy$ 。

例

$Γ$ と $G$ が両方とも有限である場合、トレース公式は誘導表現の指標に関するフロベニウス公式と同等である。
$G が$ 実数の群 $R$ $であり、 Γ が$ 整数の部分群 $Z$ である場合、トレース公式はポアソン総和公式になります。

非コンパクトケースにおける困難

アーサー・セルバーグのトレース公式のほとんどの場合、商 $G ( F )\ G ( A )$ はコンパクトではないため、次のような（密接に関連する）問題が発生します。

$L 2 ( G ( F )\ G ( A ))$ 上の表現には、離散的な要素だけでなく、連続的な要素も含まれています。
カーネルはもはや対角線上で積分可能ではなく、演算子 $R (f)$ はもはやトレースクラスではない。

アーサーは、核を尖点で切り捨てることでこれらの問題に対処した。切り捨てられた核は対角線上で積分可能となるようにした。しかし、この切り捨て処理は多くの問題を引き起こす。例えば、切り捨てられた項は共役変換に対して不変ではなくなる。アーサーは項をさらに操作することで、項が不変である不変トレース公式を生成することに成功した。

オリジナルのセルバーグトレース公式は、実リー群 $G$ $($ $R$ $)$ (通常は $SL$ $2$ $($ $R$ $) ) の離散部分群$ $Γ$ を研究対象としていました。高階では、リー群をアデリック群 $G$ $($ $A$ $)に置き換える方が便利です。その理由の一つは、離散群を (大域) 体$ $F$ の点群 $G$ $($ $F$ $)$ とみなすことができ、リー群の離散部分群よりも扱いやすいからです。また、ヘッケ作用素の扱いも容易になります。

非コンパクトケースにおけるトレース公式

トレース公式の1つのバージョン（Arthur 1983 ）は、 $G （ A ）$ 上の2つの分布が等しいと主張している。

\displaystyle \sum _{o\in O}J_{o}^{T}=\sum _{\chi \in X}J_{\chi }^{T}.}

左辺はトレース公式の幾何学的側面であり、 $G$ の有理点群 $G (F)$ の同値類に関する和であり、右辺はトレース公式のスペクトル的側面であり、 $G$ $($ $A$ $)$ の部分群の特定の表現に関する和である。

分布

幾何学用語

スペクトル項

不変トレース公式

上記のトレース公式は、実際にはあまり使いやすくなく、その問題点の1つは、その中の項が共役変換に対して不変ではないことです。アーサー（1981）は、項が不変となる修正版を発見しました。

不変トレース公式は次のように述べている。

\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\sum _{\gamma \in (M(Q))}a^{M}(\gamma )I_{M}(\gamma ,f)=\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\int _{\Pi (M)}a^{M}(\pi )I_{M}(\pi ,f)\,d\pi

どこ

$fは$ $G$ $($ $A$ $)$ 上のテスト関数です
$Mは$ $G$ の有限個の有理レヴィ部分群の範囲をとる
$(M (Q))は$ $M$ $($ $Q$ $)$ の共役類の集合です。
$Π(M)は$ $M$ $($ $A$ $)$ の既約ユニタリ表現の集合である。
$M (γ) は$ $M$ $($ $Q$ $,γ)\$ $M$ $($ $A$ $,γ)$ の体積と関係がある
$M (π)$ $は$ $L2$ $($ $M$ $($ $Q$ $)\$ $M$ $($ $A$ $))$ における $既約表現π$ の多重度と関係がある $。$
$\displaystyle I_{M}(\gamma ,f)$ は $\displaystyle \int _{M(A,\gamma )\backslash M(A)}f(x^{-1}\gamma x)\,dx$
$\displaystyle I_{M}(\pi ,f)$ トレースに関連しています $\displaystyle \int _{M(A)}f(x)\pi (x)\,dx$
$W 0 (M)は$ Mのワイル群です。

安定した微量成分配合

ラングランズ（1983）は、2つの異なるグループのトレース式を比較するために使用できるトレース式の安定した改良の可能性を示唆した。このような安定したトレース式はアーサー（2002）によって発見され、証明された。

群 $G (F)$ の 2 つの要素は、体 $F$ の代数的閉包上で共役である場合、安定共役であると呼ばれます。重要なのは、例えば内部ねじれによって関連付けられた 2 つの異なる群の要素を比較する場合、共役類間では良好な対応関係が得られず、安定共役類間でのみ良好な対応関係が得られるということです。したがって、2 つの異なる群のトレース公式の幾何学的項を比較するには、項が共役の下で不変であるだけでなく、安定共役類上でも良好な振る舞いをすることが望まれます。これらは安定分布と呼ばれます。

$安定トレース公式は、群G$ のトレース公式の項を安定分布を用いて表します。ただし、これらの安定分布は群 $G上の分布ではなく、$ $G$ の内接群と呼ばれる準分裂群の族上の分布です。群 $G上の不安定軌道積分は、その内接群$ $H$ 上の安定軌道積分に対応します。

簡単な微量成分

トレース公式にはいくつかの単純な形式があり、それらはコンパクトサポートを持つテスト関数f を何らかの方法で制限します( Flicker & Kazhdan 1988 )。この利点は、トレース公式とその証明がはるかに簡単になることですが、欠点は、結果として得られる公式の力が低下することです。

例えば、関数fが尖点を持つ場合、つまり

\int _{n\in N(A)}f(xny)\,dn=0

適切な放物型部分群 ( $F$ 上で定義)の任意の単冪根基 $Nと$ $G$ $($ $A$ $)の任意の$ x、yに対して、作用素 $R$ $($ $f$ $)$ は尖点形式の空間に像を持つのでコンパクトである。

アプリケーション

ジャケとラングランズ（1970）は、セルバーグのトレース公式を用いて、 $GL$ $2$ 上の保型形式とそのねじれ形式との間のジャケ・ラングランズ対応を証明した。アーサー・セルバーグのトレース公式は、より高階の群における同様の対応を研究するために使用できる。また、いくつかの群については、基底変換などのラングランズ関数性の他のいくつかの特殊なケースを証明するためにも使用できる。

コットウィッツ（1988）はアーサー・セルバーグのトレース公式を用いて玉川数に関するワイル予想を証明した。

ラフォルグ（2002）は、関数体上の一般線形群に対するラングランズ予想の証明において、トレース公式がどのように使用されるかを説明した。

参考文献

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外部リンク

クレイ研究所のWayback Machineに2021年5月16日にアーカイブされたジェームズ・アーサーの作品
トロント大学数学科所蔵のジェームズ・アーサー全集アーカイブ