アルキメデスの牛の問題

アルキメデスの牛問題（またはproblema bovinumまたはproblema Archimedis）は、整数解を持つ多項式方程式の研究であるディオファントス解析の問題です。アルキメデスに帰せられるこの問題は、与えられた制約条件から太陽神の牛の群れの数を計算するものです。この問題は、1773年にドイツのヴォルフェンビュッテルにあるヘルツォーク・アウグスト図書館で、44行の詩を含むギリシャ語の写本からゴットホルト・エフライム・レッシングによって発見されました。^{[ 1 ]} 

この問題は、解法に関わる膨大な数値を計算するのが困難であったこともあり、長年未解決のままでした。一般解は、1880年にドイツのドレスデンにある聖十字架ギムナジウムの校長、カール・エルンスト・アウグスト・アムトール（1845年～1916年）によって発見されました。[ 2 ] [ ^{3 ] [ 4 ]彼は対数表}を用いて最小解の最初の桁を計算し、それが約 であることを示しました。7.76 × 10 ^{206 544}頭の牛。これは観測可能な宇宙に収まる数をはるかに超えている。^{[ 5 ]} 10進数形式は人間が正確に計算するには長すぎるが、コンピュータの多倍長演算パッケージはそれを明示的に書き出すことができる。

1769年、ゴットホルト・エフライム・レッシングは、ドイツのヴォルフェンビュッテルにあるヘルツォーク・アウグスト図書館の司書に任命された。この図書館には多くのギリシャ語とラテン語の写本が所蔵されていた。[ 6 ^]数年後、レッシングはいくつかの写本の翻訳と注釈を出版した。その中には、太陽神の牛の群れの牛の数を求める算術問題を含む44行のギリシャ語の詩があった。これは現在では一般的にアルキメデスの作品とされている。^{[ 7 ] [ 8 ]}

アイヴァー・トーマスが英語に翻訳した問題文は次のとおりです。^{[ 12 ]}

おお、旅人よ、もしあなたが勤勉で賢明であるならば、かつてシチリア島のトリナキアの野原で草を食んでいた太陽の牛の数を計算してみよ。その牛は、異なる色の4つの群れに分かれていた。1つは乳白色、もう1つは艶やかな黒色、3つ目は黄色、そして最後はまだら模様である。それぞれの群れには雄牛がおり、その数は次のような割合で膨大であった。旅人よ、理解せよ。白い雄牛は黒い雄牛の半分と3分の1、そして黄色の雄牛の全部に等しく、黒い雄牛はまだら模様の雄牛の4分の1と5分の1、そして再び黄色の雄牛の全部に等しかった。さらに、残りのまだら模様の雄牛は白い雄牛の6分の1と7分の1、そして黄色の雄牛の全部に等しかった。これが雌牛の割合であった。白い雄牛は黒い雄牛の群れ全体の3分の1と4分の1にちょうど等しかった。黒い牛の数は、まだら模様の牛の4分の1に等しく、雄牛も含めてすべて一緒に牧草地へ行ったときには、さらに5分の1に等しかった。今や、まだら模様の牛の4分の1の数は、黄色い牛の群れの5分の1と6分の1に等しかった。最後に、黄色い牛の数は、白い牛の群れの6分の1と7分の1に等しかった。もしあなたが、見知らぬ人よ、太陽の牛の数を正確に言い当て、それぞれの色に応じて、よく肥えた雄牛の数と雌牛の数を分けて言うことができるならば、あなたは未熟者や数に無知とは呼ばれないだろうが、まだ賢者の中には数えられないだろう。

しかし、さあ、太陽の牛に関するこれらの条件もすべて理解しなさい。白い雄牛が黒い雄牛と混じり合ったとき、彼らはしっかりと立ち、深さも幅も均等で、あらゆる方向に広がるトリナキアの平原は、彼らの群れで満たされた。また、黄色と斑点のある雄牛が一つの群れに集められたとき、彼らは一頭から始まり、徐々に数を増やして三角形の形を完成させるように立ち、その中に他の色の雄牛はおらず、一頭も欠けていなかった。もしあなたが、旅人よ、これらすべてのことを見出し、それらを心にまとめ、すべての関係性を説明することができるならば、あなたは栄光の冠を戴き、この種の知恵において完全であると認められたことを知って去るであろう。

問題の最初の部分は、連立方程式を立てることで簡単に解くことができます。白、黒、斑点模様、黄色の雄牛の数を次のように表すとします。${\displaystyle W,B,D,}$そして${\displaystyle Y}$、白、黒、斑点模様、黄色の牛の数は次のように表記されます。${\displaystyle w,b,d,}$そして${\displaystyle y}$問題は、

${\displaystyle {\begin{aligned}W&={\frac {5}{6}}B+Y,\\B&={\frac {9}{20}}D+Y,\\D&={\frac {13}{42}}W+Y,\\w&={\frac {7}{12}}(B+b),\\b&={\frac {9}{20}}(D+d),\\d&={\frac {11}{30}}(Y+y),\\y&={\frac {13}{42}}(W+w),\end{aligned}}}$

これは8つの未知数を持つ7つの方程式の連立方程式です。これは不定であり、無限に多くの解を持ちます。7つの方程式を満たす最小の正の整数は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}B&=7\,460\,514=4657\times 1602,\\W&=10\,366\,482=4657\times 2226,\\D&=7\,358\,060=4657\times 1580,\\Y&=4\,149\,387=4657\times 891,\\b&=4\,893\,246,\\w&=7\,206\,360,\\d&=3\,515\,820,\\y&=5\,439\,213,\end{aligned}}}$

合計で50,389,082頭の牛、^{[ 13 ]}その他の解はこれらの整数倍です。最初の4つの数は素数p = 4657の倍数であり、pとp + 1は以下に繰り返し現れることに注意してください。

問題の2番目の部分は、${\displaystyle W+B}$は平方数であり、${\displaystyle Y+D}$は三角数です。この問題のこの部分の一般解は、1880年にA.  Amthor ^{[ 2 ]}によって初めて発見されました。その次のバージョンは、ペル方程式に基づいてH. W. Lenstra [ ^{5 ]}によって記述されました。上記の問題の最初の部分の解に を掛ける必要があります^。

${\displaystyle n={\frac {(x^{4658j}-x^{-4658j})^{2}}{4657\times 79072}},}$

ここでjは任意の正の整数であり、

${\displaystyle x=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}},}$

同様に、xを二乗すると次のようになります。

${\displaystyle x^{2}=u+v{\sqrt {609\times 7766}},}$

どこ${\displaystyle (u,v)}$はペル方程式の基本解である

$u²-(609×7766)v²=1.$

問題の前半と後半の両方を満たすことができる最小の群れのサイズは、j = 1 で与えられ、約$7.76×10²⁰⁶,544$（最初にアムトールによって解決された）。現代のコンピュータは、答えのすべての桁を簡単に印刷できる。これは、1965年にウォータールー大学でヒュー・C・ウィリアムズ、R・A・ジャーマン、チャールズ・ロバート・ザーンケによって初めて行われた。彼らはIBM 7040とIBM 1620 コンピュータを組み合わせて使用​​した。^{[ 14 ]}

問題の後半部分の制約は単純明快で、実際に解くべきペル方程式は容易に与えられる。まず、${\displaystyle B+W}$正方形であるべきです。または、上記の値を使用すると、

${\displaystyle B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k=(2^{2}\times 3\times 11\times 29\times 4657)k,}$

したがって、設定する必要がある${\displaystyle k=(3\times 11\times 29\times 4657)q^{2}}$ある整数qに対して。これで最初の条件は満たされる。2番目の条件については、${\displaystyle D+Y}$三角数であるべきです。

${\displaystyle D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}.}$

tを解くと、

${\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}.}$

D + Yとkの値を代入し、この二次式の判別式が完全平方p ^{2となるような}q ²の値を求めることは、ペル方程式を解くことにつながる。

${\displaystyle p^{2}-(2^{2}\times 609\times 7766\times 4657^{2})q^{2}=1.}$

前節で述べたアムトールの手法は、基本的に最小値を求めることであった。${\displaystyle v}$それは、${\displaystyle 2\times 4657}$この方程式の基本解は、10万桁以上の小数点以下の桁数を持つ。

• Bell, AH (1895)、「アルキメデスによる紀元前251年の「牛の問題」」、アメリカ数学月報、2 (5)、アメリカ数学協会: 140–141、doi : 10.2307/2968125、JSTOR 2968125 
• ドリー、ハインリヒ (1965)。「アルキメデスのボヴィヌム問題」。初等数学の100の偉大な問題。ドーバー出版。3–7頁。 
• Williams, HC; German, RA; Zarnke, CR (1965). 「アルキメデスの牛問題の解」 . Mathematics of Computation . 19 (92). American Mathematical Society : 671– 674. doi : 10.2307/2003954 . JSTOR 2003954 . 
• Vardi, I. (1998). 「アルキメデスの牛の問題」.アメリカ数学月報. 105 (4). アメリカ数学協会: 305–319 . doi : 10.2307/2589706 . JSTOR 2589706 . 
• Benson, G. (2014). "アルキメデス詩人：牛の問題におけるジャンル革新と数学的空想". Arethusa . 47 (2). Johns Hopkins University Press : 169–196 . doi : 10.1353/are.2014.0008 . S2CID 162393743 . 
• クルムビーゲル（1880）「牛問題の帰属に関する議論」"、Zeitschrift für Mathematik und Physik (Hist. litt. Abtheilung)、p.  121

• OEISシーケンスA096151 （アルキメデスの牛問題に対する206545桁の整数解の10進展開） —2番目の問題の完全な10進解
• Alex Bellos (2019年11月24日)。「なんて大きな数字なんだ」(動画)。YouTube。Brady Haran。2021年12月19日のオリジナルからアーカイブ済み。2019年11月25日取得。