アペリーの定理

数学において、アペリーの定理は数論における結果であり、アペリー定数ζ(3)が無理数であることを述べている。つまり、この数は無理数である。

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.2020569\ldots }$

分数として表すことはできません${\displaystyle p/q}$ここで、pとqは整数である。この定理はロジャー・アペリーにちなんで名付けられた。

偶数におけるリーマンゼータ関数の特殊値${\displaystyle 2n}$（${\displaystyle n>0}$）はベルヌーイ数を用いて無理数であることが示せるが、奇数における関数の値が一般的に有理数であるかどうかは未解決のままである。${\displaystyle 2n+1}$（${\displaystyle n>1}$（ただし、それらは非合理的であると推測されている）。

レオンハルト・オイラーは、nが正の整数である場合、

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}}$

ある有理数に対して${\displaystyle p/q}$具体的には、左側の無限級数を次のように書きます。${\displaystyle \zeta (2n)}$彼は示した

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

どこで${\displaystyle B_{n}}$は有理ベルヌーイ数である。$\displaystyle \pi^n$常に非合理的であることは、 ${\displaystyle \zeta (2n)}$すべての正の整数nに対して、 は無理数である。

奇数引数のいわゆるゼータ定数については、π を用いたそのような表現は知られていない。${\displaystyle \zeta (2n+1)}$正の整数nに対して。これらの量の比率は

${\displaystyle {\frac {\zeta (2n+1)}{\pi ^{2n+1}}},}$

すべての整数に対して超越的である${\displaystyle n\geq 1}$[ ^{1 ]​}

このため、奇数引数を持つゼータ定数が無理数であることを示す証明は見つからなかったが、それらは（そして今も）すべて超越数であると信じられていた。しかし、1978年6月、ロジャー・アペリーは「ζ(3)の無理数について」と題する講演を行った。講演の中で彼は、$\displaystyle \zeta (3)$そして${\displaystyle \zeta (2)}$それらは無理数であり、後者はπの式に頼るのではなく、前者に取り組むために使用された方法を簡略化した方法を使用していた。証明のまったく予想外の性質と、アペリーの主題に対する無関心で非常に大まかなアプローチのため、聴衆の多くの数学者は証明に欠陥があると一蹴した。しかし、アンリ・コーエン、ヘンドリック・レンストラ、アルフレッド・ファン・デル・ポーテンは、アペリーが何か重要なことに気づいており、彼の証明を確認することに着手した。2か月後、彼らはアペリーの証明の検証を完了し、8月18日にコーエンは証明の詳細をすべて説明する講演を行った。講演の後、アペリー自身が演壇に立ち、いくつかのアイデアの源泉を説明した。^{[ 2 ]}

アペリーの元の証明^{[ 3 ] [ 4 ]}は、ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレのよく知られた無理数基準に基づいており、それは、ある数が${\displaystyle \xi }$互いに素な整数pとqが無限に存在する場合、 は無理数である。

$\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c}{q^{1+\delta }}}}$

ある固定されたcに対して、δ > 0。

アペリーの出発点は、$\displaystyle \zeta (3)$として

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.}$

大まかに言えば、アペリーは数列を定義した。${\displaystyle c_{n,k}}$これは以下へと収束する${\displaystyle \zeta (3)}$上記シリーズとほぼ同じ速さで、具体的には

${\displaystyle c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{3}}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{m-1}}{2m^{3}{\binom {n}{m}}{\binom {n+m}{m}}}}.}$

彼はさらに2つのシーケンスを定義した。${\displaystyle a_{n}}$そして${\displaystyle b_{n}}$おおよそ、商が${\displaystyle c_{n,k}}$これらの配列は

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}}$

そして

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}.}$

シーケンス${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$収束して${\displaystyle \zeta (3)}$基準を適用するには十分速いが、残念ながら${\displaystyle a_{n}}$は整数ではありません${\displaystyle n=2}$それにもかかわらず、アペリーは、${\displaystyle a_{n}}$そして${\displaystyle b_{n}}$この問題を解決するために適切な整数を用いることで、収束は依然として十分に速く、非合理性を保証することができた。

アペリーの結果から1年以内に、フリッツ・ベウカーズ[ ^{5 ]}によって別の証明が発見され、アペリーの級数をシフトされたルジャンドル多項式を含む積分に置き換えた^。${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$後にハジコスタスの公式に一般化される表現を用いて、ベウケルスは、

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)\,dx\,dy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {lcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}}$

ある整数A _nとB _nに対して(数列OEIS : A171484 とOEIS : A171485  )。部分積分と仮定を用いて、${\displaystyle \zeta (3)}$合理的で平等であった${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ベウカーズは最終的に不等式を導き出した。

${\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \left|A_{n}+B_{n}\zeta (3)\right|\leq 4\left({\frac {4}{5}}\right)^{n}}$

これは矛盾です。なぜなら、右端の式は 0 に近づくにつれてゼロになるからです。${\displaystyle n\to \infty }$最終的には以下になる${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$。

ワディム・ズディリンによるより最近の証明は、アペリーの元の証明^{[ 6 ]}によく似ており、ユーリ・ネステレンコによる4番目の証明^{[ 7 ]}とも類似点がある。これらの後の証明は、再び次の仮定から矛盾を導き出している。${\displaystyle \zeta (3)}$数列がゼロに収束するものの、ある正の定数によって下限が定められているような数列を構成することで、有理数であることが証明される。ただし、これらは超幾何級数に依存しているため、以前の証明よりもやや分かりにくい。

関連項目：リーマンゼータ関数の特定の値 § 奇数の正の整数

アペリーとベウケルスは、証明を簡略化して、${\displaystyle \zeta (2)}$シリーズ表現のおかげで

${\displaystyle \zeta (2)=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

アペリー法の成功により、${\displaystyle \xi _{5}}$その特性により

${\displaystyle \zeta (5)=\xi _{5}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{5}{\binom {2n}{n}}}}.}$

もしそのような${\displaystyle \xi _{5}}$発見されたら、アペリーの定理を証明するために使用された方法は、次の証明に有効であると予想される。${\displaystyle \zeta (5)}$は無理数である。残念ながら、広範なコンピュータ検索^{[ 8 ]}ではそのような定数を見つけることができず、実際、現在では、${\displaystyle \xi _{5}}$が存在し、それが次数が最大で 25 の代数的数である場合、その最小多項式の係数は少なくとも非常に大きい必要がある。${\displaystyle 10^{383}}$したがって、アペリーの証明をより大きな奇数ゼータ定数に適用するように拡張することは、うまくいかないように思われる。

ワディム・ズディリンとタンギー・リヴォアルの研究は、無限に多くの数が存在することを示した。${\displaystyle \zeta (2n+1)}$無理数でなければならない^{[ 9 ]}、そして少なくとも1つの数字が${\displaystyle \zeta (5)}$、${\displaystyle \zeta (7)}$、${\displaystyle \zeta (9)}$、 そして${\displaystyle \zeta (11)}$無理数でなければならない。^{[ 10 ]}彼らの研究では、ゼータ関数の値の線形形式を使用し、奇数整数におけるゼータ関数の値によって張られるベクトル空間の次元を制限するために、それらの値について評価を行っている。ズディリンがリストをさらに1つの数に絞り込めるという希望は実現しなかったが、この問題に関する研究は依然として活発な研究分野である。より高いゼータ定数は物理学に応用されている。それらは量子スピン鎖の相関関数を記述する。^{[ 11 ]}

• Huylebrouck, Dirk (2001). "π、ln2、ζ(2)、およびζ(3)の無理数証明における類似点" (PDF) . Amer. Math. Monthly . 108 (3): 222– 231. doi : 10.2307/2695383 . JSTOR 2695383 .