一貫性（公平性）

一貫性^[1]は均一性^{[2] ：Thm.8.3}または一貫性とも呼ばれ、公平な分割のルールを評価するための基準です。一貫性は、公平性ルールの結果が全体の問題だけでなく、各サブ問題に対しても公平であることを要求します。公平な分割のすべての部分が公平でなければなりません。^[2]

一貫性の要件は、最初に配分の文脈で研究されました。この文脈では、一貫性が満たされないことは、新しい州のパラドックスと呼ばれます。つまり、新しい州が連邦に加わり、この新しい州に割り当てられた議席数を収容するために議会の規模が拡大されると、他の無関係な州が影響を受けます。一貫性は、破産問題などの他の公平な分割問題にも関連しています。

割り当てるリソースがあり、 で表されます。たとえば、これは下院の議席数を表す整数です。リソースは、いくつかのエージェント間で割り当てる必要があります。たとえば、これらは連邦州または政党です。エージェントはそれぞれ異なる権利を持ち、ベクトル で表されます。たとえば、t _{i は}政党iが獲得した票の割合です。割り当ては、を持つベクトルです。割り当てルールは、任意の権利ベクトル と権利ベクトルに対して、割り当てベクトル を返すルールです。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

割り当てルールは、エージェントのサブセットSごとに、ルールがリソースのサブセットと資格ベクトル でアクティブ化され、結果が割り当てベクトル になる場合、コヒーレント(または均一) であると呼ばれます。つまり、ルールがエージェントのサブセットでアクティブ化され、それらが受け取ったリソースのサブセットである場合、結果は同じになります。 ${\displaystyle h_{S}:=\sum _{i\in S}a_{i}}$${\displaystyle (t_{i})_{i\in S}}$${\displaystyle (a_{i})_{i\in S}}$

一般に、割り当てルールは複数の割り当てを返すことがあります（同点の場合）。この場合、定義を更新する必要があります。割り当てルールを で表し、 をリソースと資格ベクトルで返される割り当てベクトルの集合で表します。すべての割り当てベクトルとエージェントの任意のサブセットSに対して次の式が成り立つ場合、ルールは首尾一貫していると呼ばれます。 ^{[3] : Sec.4}${\displaystyle M}$${\displaystyle M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle h}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (a_{i})_{i=1}^{n}\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}$

• ${\displaystyle (a_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}}$つまり、大きな問題に対するあらゆる可能な解決策のあらゆる部分は、サブ問題に対する可能な解決策です。
• およびに対して、 が成り立ちます。つまり、サブ問題に他の（同点の）解が存在する場合、それらの解をサブ問題に対する元の解の代わりに配置すると、全体問題に対する他の（同点の）解が生成されます。${\displaystyle (b_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}}$${\displaystyle (c_{i})_{i\notin S}\in M{\Big (}\sum _{i\notin S}a_{i};(t_{i})_{i\notin S}{\Big )}}$${\displaystyle [(b_{i})_{i\in S},(c_{i})_{i\notin S}]\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}$

配分問題では、割り当てるリソースは離散的です（たとえば、議会の議席など）。したがって、各エージェントは整数の割り当てを受け取る必要があります。

議会の議席配分に関する最も直感的なルールの 1 つは、最大剰余法(LRM) です。この方法では、権利ベクトルは、権利の合計が(割り当てる議席の総数) と等しくなるように正規化される必要があります。次に、各エージェントは、正規化された権利 (多くの場合、クォータと呼ばれます) を切り捨てて取得する必要があります。議席が残っている場合は、最大の剰余 (権利の最大の割合) を持つエージェントに割り当てられます。驚くべきことに、このルールは首尾一貫していません。簡単な例として、アリス、ボブ、チャナの正規化された権利がそれぞれ 0.4、1.35、3.25 であるとします。この場合、LRM によって返される一意の割り当ては1、1、3です(最初の割り当ては 0、1、3 で、余り 0.4 が最大であるため、追加の議席はアリスに割り当てられます)。ここで、同じルールを Alice と Bob のみに適用し、合計割り当てを 2 にしたとします。正規化された権利は、0.4/1.75 × 2 ≈ 0.45 と 1.35/1.75 × 2 ≈ 1.54 になります。したがって、LRM によって返される一意の割り当ては、 1、1 ではなく0、2です。つまり、グランド ソリューション 1、1、3 では、Alice と Bob の間の内部分割は最大剰余の原則に従わず、一貫性がありません 。${\displaystyle h}$${\displaystyle h=5}$

この非一貫性を別の角度から見ると、次のようになります。議席数が 2 で、割り当てが 0.4、1.35 の 2 つの州 A、B があるとします。この場合、LRM によって与えられる一意の割り当ては0、2です。ここで、新しい州 C が割り当て数 3.25 で連合に加わります。この州には 3 議席が割り当てられ、これらの新しい議席を収容するために議席数が 5 に増加します。この変更は既存の州 A と B には影響しません。実際、LRM では既存の州が影響を受けます。州 A は議席を獲得し、州 B は議席を失います。これは新しい州のパラドックスと呼ばれます。

新州のパラドックスは、1907年にオクラホマ州が州になったときに実際に見られました。オクラホマ州には公平な議席が与えられ、その数だけ議席総数は386から391に増加しました。配分の再計算後、他の州の影響で議席数に影響が出ました。ニューヨーク州は議席を1つ失い、メイン州は1つ増えました。^{[4] : 232–233  [5]}

すべての除数法は首尾一貫しています。これは、ピッキングシーケンスとしての説明から直接導かれます。各反復で、アイテムを選択する次のエージェントは、比率 (権利 / 除数) が最も高いエージェントです。したがって、エージェントのサブセットを考慮しても、エージェント間の相対的な優先順位は同じです。

一貫性が他の自然な要件と組み合わされると、構造化された配分方法のクラスが特徴付けられます。このような特徴付けは、さまざまな著者によって証明されています。^{[3] ：セクション1}すべての結果は、ルールが均質であると仮定しています（つまり、各政党の投票率のみに依存し、総投票数には依存しません）。

• 首尾一貫した配分規則がバランスが取れていて調和している場合、それは除数法である。^{[6] : Thm.3, 10}
• 首尾一貫した配分規則が匿名かつ均衡である場合、それは順位指数法（除数法のスーパークラス）である。^{[2] : Thm.8.3}逆もまた真である。匿名法と均衡法のうち、順位指数法である場合に限り、その方法は首尾一貫している。
• 首尾一貫した配分規則が匿名で、一致しており、弱く正確である場合、それは除数法である。^{[2] : Thm.8.4、p.147}
• バリンスキーとラチェフは、首尾一貫した配分規則が匿名、順序保存、弱正確、完全[^{専門用語]}である場合、それは除数法であることを証明した。^{[7] [8] : Thm.2.2、p.8}
• 首尾一貫した配分ルールが匿名かつバランスが取れている場合、それはハウスモノトーンである。^[3]
  • さらに、一致もしている場合は、投票率は単調です。
  • さらに、それが強く正確でもある場合、^{[専門用語]}それは除数法です。
• ヤングは、最も近い整数に丸めるという自然な二者間配分規則を首尾一貫して拡張した唯一の配分法がウェブスター法であることを証明した。^{[9] : 49–50, 190  [10] : Sub.9.10}

破産問題では、割り当てるリソースは連続的です。たとえば、債務者が残した金額などです。各エージェントはリソースの任意の部分を取得できます。ただし、権利の合計は通常、残りのリソースの合計よりも大きくなります。

このような問題を解決する最も直感的なルールは、各エージェントが自分の権利に比例したリソースの一部を取得する比例ルールです。このルールは確かに首尾一貫しています。しかし、これが唯一の首尾一貫したルールではありません。タルムードの争奪服のルールは、首尾一貫した分割ルールに拡張できます。^{[1] ：第4節}

ほとんどの国では、臓器移植を待つ患者の数は、利用可能な臓器の数よりもはるかに多い。そのため、ほとんどの国では、優先順位に従って臓器を誰に割り当てるかを決めている。驚くべきことに、実際に使用されている優先順位の中には一貫性のないものがある。たとえば、UNOSが過去に使用したルールの1つは次のとおりである。^{[1] ：Sec.6}

• 各患者には、いくつかの医療データに基づいて個人スコアが割り当てられます。
• 各患者にはボーナスが割り当てられます。ボーナスは、その患者よりも待機時間が短かった患者の割合の 10 倍です。
• エージェントは、スコア + ボーナスの合計によって優先順位が付けられます。

4 人の患者 A、B、C、D の個人スコアがそれぞれ 16、21、20、23 であるとします。待機時間は A > B > C > D であるとします。したがって、ボーナスはそれぞれ 10、7.5、5、2.5 です。したがって、合計は 26、28.5、25、25.5 となり、優先順位はB > A > D > Cとなります。次に、B が臓器を移植された後、A、C、D の個人スコアは同じままですが、ボーナスが 10、6.67、3.33 に変わるため、合計は 26、26.67、26.33 となり、優先順位はC > D > Aとなります。これにより、3 人のエージェント間の順序が逆転します。

首尾一貫した優先順位を付けるには、優先順位は個人の特性のみによって決定されるべきである。例えば、ボーナスは患者の割合ではなく、順番待ちの月数によって計算することができる。^[11]

• 配分パラドックス