コンジョイント測定の理論

コンジョイント測定理論（コンジョイント測定または加法コンジョイント測定とも呼ばれる）は、連続量に関する一般かつ正式な理論である。この理論は、フランスの経済学者ジェラール・ドブリュー（1960年）とアメリカの数理心理学者R・ダンカン・ルースおよび統計学者ジョン・テューキー（Luce & Tukey 1964年）によって独立に発見された。

この理論は、少なくとも 2 つの自然属性AとX が、第 3 の属性Pと非相互作用的に関連する状況に関するものです。 A、X、またはPが量として既知である必要はありません。 Pのレベル間の特定の関係を介して、 P、A、およびXが連続量であることが確立されます。したがって、結合測定の理論は、並列操作または連結を使用して属性のレベルを組み合わせることができない経験的状況で属性を定量化するために使用できます。したがって、態度、認知能力、効用などの心理的属性の定量化は論理的に妥当です。これは、心理的属性の科学的測定が可能であることを意味します。つまり、物理量と同様に、心理的量の大きさは、実数と単位の大きさの積として表現できる可能性があります。

しかし、心理学におけるコンジョイント測定理論の応用は限られています。これは、関係する形式的な数学のレベルが高いため (例: Cliff 1992)、また、心理学の研究で典型的に発見される「ノイズの多い」データを理論が説明できないため (例: Perline、Wright、Wainer 1979) と主張されています。Raschモデルはコンジョイント測定理論の確率的変種であると主張されています (例: Brogden 1977、Embretson および Reise 2000、Fischer 1995、Keats 1967、Kline 1998、Scheiblechner 1999) が、これには異論があります (例: Karabatsos、2001、Kyngdon、2008)。過去 10 年間に、コンジョイント測定のキャンセル公理の確率的テストを実行するための順序制限手法が開発されました (例: Karabatsos、2001 年、Davis-Stober、2009 年)。

コンジョイント測定の理論は、マーケティングで加法的効用関数のパラメータを推定するために用いられる統計的実験手法であるコンジョイント分析と（異なるが）関連している。異なる多属性刺激が回答者に提示され、提示された刺激に関する選好を測定するために異なる手法が用いられる。効用関数の係数は、代替的な回帰ベースのツールを使用して推定される。

1930 年代、英国科学振興協会は、心理的属性を科学的に測定できるかどうか調査するためファーガソン委員会を設立した。英国の物理学者で測定理論家のノーマン・ロバート・キャンベルは、同委員会の有力なメンバーであった。最終報告書 (Ferguson, et al. , 1940) で、キャンベルと同委員会は、心理的属性は連結操作を維持できないため、連続量にはなり得ないと結論付けた。したがって、心理的属性は科学的に測定できない。これは心理学に重要な影響を及ぼしたが、その中でも最も重要なのは、1946 年にハーバード大学の心理学者スタンレー・スミス・スティーブンスが測定の操作理論を生み出したことだ。スティーブンスの非科学的な測定理論は、心理学および行動科学全般において決定的なものとして広く認められている (Michell 1999) 。 harv エラー: ターゲットがありません: CITEREFMichell1999 (ヘルプ)

ドイツの数学者オットー・ヘルダー(1901) は結合測定理論の特徴を予見していたが、理論が初めて完全に説明されたのは、ルースとテューキーの独創的な 1964 年の論文が出版されてからであった。ルースとテューキーの提示は代数的であったため、デブリュー (1960) の位相的研究よりも一般的であると考えられており、後者は前者の特殊なケースである (Luce & Suppes 2002)。Journal of Mathematical Psychologyの創刊号の最初の記事で、ルースとテューキー (1964) は結合測定理論によって、連結できない属性を定量化できることを証明した。NR Campbell と Ferguson 委員会はこうして誤りであることが証明された。与えられた心理的属性が連続量であるというのは、論​​理的に首尾一貫しており、経験的に検証可能な仮説である。

同じ雑誌の次の号には、解法とアルキメデスの公理の間接的なテストのためのキャンセル条件の階層を提案したダナ・スコット(1964)と、ルースとテューキーの研究をホルダー (1901) の研究に関連付けたデイビッド・クランツ (1964) による重要な論文が掲載されました。

すぐに、コンジョイント測定の理論を拡張して、2つ以上の属性を含めることに研究の焦点が当てられました。Krantz (1968) とAmos Tversky (1967) は、多項式コンジョイント測定として知られるようになった理論を開発し、Krantz (1968) は、3つ以上の属性のコンジョイント測定構造を構築するためのスキーマを提供しました。その後、コンジョイント測定の理論 (2つの変数、多項式、およびn成分形式) は、Krantz、Luce、Tversky、および哲学者のPatrick Suppesが共同執筆したFoundations of Measurementの第1巻の出版により、徹底的かつ高度な技術で扱われました(Krantz et al. 1971)。

Krantz ら (1971) の発表後まもなく、共同測定理論の「エラー理論」の開発に重点が置かれました。単一キャンセルのみをサポートする共同配列の数と、単一キャンセルと二重キャンセルの両方をサポートする共同配列の数についての研究が行われました (Arbuckle と Larimer 1976、McClelland 1977)。その後の列挙研究では、多項式共同測定に重点が置かれました (Karabatsos と Ullrich 2002、Ullrich と Wilson 1993)。これらの研究では、少なくとも 1 つのコンポーネント属性が 3 つ以上のレベルで識別されている場合、共同測定理論の公理がランダムに満たされる可能性は非常に低いことがわかりました。

ジョエル・ミッシェル (1988) は後に、二重キャンセル公理の「テストなし」のテスト クラスが空であることを確認しました。したがって、二重キャンセルのインスタンスはいずれも、公理の承認または拒否のいずれかです。ミッシェルは、このとき、共同測定理論の非技術的な入門書 (Michell 1990) も執筆しました。この入門書には、スコット (1964) の研究に基づいて高次のキャンセル条件を導出するためのスキーマも含まれていました。ミッシェルのスキーマを使用して、ベン・リチャーズ (Kyngdon & Richards、2007) は、三重キャンセル公理の一部のインスタンスが、単一キャンセル公理と矛盾するため「矛盾」していることを発見しました。さらに、彼は、二重キャンセルがサポートされている場合は自明に正しい三重キャンセルのインスタンスを多数特定しました。

コンジョイント測定の理論の公理は確率的ではなく、キャンセル公理によってデータに課される順序制約を考慮すると、順序制限推論方法論を使用する必要があります (Iverson & Falmagne 1985)。 George Karabatsos と彼の同僚 (Karabatsos、2001 年、Karabatsos & Sheu 2004 年) は、心理測定アプリケーション用のベイジアン マルコフ連鎖モンテ カルロ法を開発しました。 Karabatsos & Ullrich 2002 は、このフレームワークを多項式コンジョイント構造に拡張する方法を示しました。 Karabatsos (2005) は、この研究を多項式ディリクレ フレームワークで一般化し、これにより、数理心理学の多くの非確率的理論の確率的テストが可能になりました。 最近では、Clintin Davis-Stober (2009) が、キャンセル公理のテストにも使用できる順序制限推論の頻度主義フレームワークを開発しました。

おそらく、コンジョイント測定理論の最も注目すべき使用法 (Kyngdon、2011) は、イスラエル系アメリカ人心理学者のダニエル・カーネマンとエイモス・トヴェルスキー(Kahneman & Tversky、1979) が提唱したプロスペクト理論でしょう。プロスペクト理論は、アレーのパラドックスなどの選択行動を説明する、リスクと不確実性の下での意思決定の理論でした。デビッド・クランツは、コンジョイント測定理論を使用してプロスペクト理論の正式な証明を執筆しました。2002 年、カーネマンはプロスペクト理論によりノーベル経済学賞を受賞しました(Birnbaum、2008)。

物理学と計量学における測定の標準的な定義は、連続量の大きさと同種の単位大きさの比率の推定です (de Boer、1994/95; Emerson、2008)。たとえば、「ピーターの廊下は 4 メートルの長さです」という文は、これまで知られていなかった長さの大きさ (廊下の長さ) の測定値を、単位 (この場合はメートル) と廊下の長さの比率として表します。4 という数字は、この用語の厳密な数学的意味では実数です。

その他のいくつかの量については、属性の差の比率は不変です。たとえば、温度を考えてみましょう。身近な日常の例で、温度は華氏または摂氏スケールで較正された計器を使用して測定されます。そのような計器で実際に測定されているのは、温度差の大きさです。たとえば、アンダース・セルシウスは、摂氏スケールの単位を海面での水の凝固点と沸点の温度差の 1/100 と定義しました。正午の摂氏 20 度の気温測定値は、正午の気温と凍結する水の温度の差を摂氏単位と凍結する水の温度の差で割ったものに過ぎません。

科学的測定を正式に表現すると、次のようになります。

${\displaystyle Q=r\times [Q]}$

ここで、Qは量の大きさ、rは実数、[ Q ] は同じ種類の単位の大きさです。

長さは、自然な連結操作が存在する量です。つまり、たとえば、長さの異なる剛体鋼棒を並べて組み合わせると、長さ間の加法関係が容易に観察されます。長さ 1 m のこのような棒が 4 本ある場合、端と端をつなげて 4 m の長さにすることができます。連結可能な量は、長さ量と呼ばれ、質量、時間、電気抵抗、平面角が含まれます。これらは、物理学および計量学では 基本量と呼ばれます。

温度は連結演算が存在しない量です。温度 40 °C の水を別の 20 °C の水の入ったバケツに注いで、温度 60 °C の水が得られると期待することはできません。したがって、温度は強度量です。

温度などの心理的属性は、そのような属性を連結する方法が見つかっていないため、集約的であると考えられています。しかし、これはそのような属性が定量化できないということではありません。コンジョイント測定の理論は、これを行うための理論的手段を提供します。

2 つの自然属性A、Xについて考えます。 AまたはX のどちらかが連続量であるか、または両方が連続量であるかは不明です。 a、b、c がAの 3 つの独立した識別可能なレベルを表し、x、y、zがXの 3 つの独立した識別可能なレベルを表すものとします。3 番目の属性Pは、 AとXの 9 つのレベルの順序付きペアで構成されます。つまり、 ( a、x )、 ( b、y )、...、 ( c、z ) です (図 1 を参照)。 A、X、Pの数量化は、Pのレベルで保持される関係の挙動に依存します。これらの関係は、コンジョイント測定の理論で公理として提示されます。

単一消去公理は次のとおりです。 P上の関係が単一消去を満たすのは、Aのすべてのaとb、およびXのすべてのxに対して、 ( a、x ) > ( b、x ) が、 ( a、w ) > ( b、w )となるXのすべてのwに対して暗黙的に成立する場合に限ります。同様に、Xのすべてのxとy 、およびAのすべてのaに対して、 ( d、x ) > ( d、y )となるAのすべてのdに対して、 ( a、x ) > ( a、y ) が暗黙的に成立します。これは、任意の 2 つのレベルa、bに順序付けされている場合、この順序はXの各レベルに関係なく成立することを意味します。同じことが、 Aの各レベルに関して、 Xの任意の 2 つのレベルxとy にも成立します。

単一相殺と呼ばれるのは、Pの 2 つのレベルの 1 つの共通因数が相殺されて、残りの要素に同じ順序関係が残るからです。たとえば、不等式 ( a、x ) > ( a、y ) では、 aが両辺に共通であるため相殺され、x > yとなります。Krantz ら (1971) は、属性の 2 つのレベル間の順序関係が、他の属性のどのレベルからも独立していることから、この公理を当初は独立性と呼んでいました。ただし、独立性という用語は統計的な独立性の概念と混同されるため、単一相殺という用語の方が適切です。図 1 は、単一相殺の一例をグラフィカルに表現したものです。

単一キャンセル公理の充足は、属性AおよびXの定量化に必要ですが、十分ではありません。これは、 A、XおよびPのレベルが順序付けられていることを示しているだけです。非公式には、単一キャンセルは、 AおよびX を定量化するためにPのレベルの順序を十分に制約しません。たとえば、順序付きペア ( a、x )、( b、x )、および ( b 、 y ) を考えます。単一キャンセルが成立する場合、 ( a、x ) > ( b、x ) および ( b、x ) > ( b、y ) です。したがって、推移性により ( a 、 x ) > ( b、y ) です。後者の 2 つの順序付きペアの関係 (非公式には左傾斜対角線) は、 P上のすべての「左傾斜対角線」関係と同様に、単一キャンセル公理の充足によって決定されます。

単一のキャンセルでは、P上の「右傾斜対角線」関係の順序は決定されません。推移性と単一のキャンセルによって ( a、x ) > ( b、y ) であることが確立されたとしても、 ( a、y ) と ( b、x )の関係は未決定のままです。 ( b、x ) > ( a、y ) または ( a、y ) > ( b、x )のいずれかである可能性があり、このような曖昧さは解決されないままにしておくことはできません。

二重相殺公理は、2 つの先行不等式の共通項が相殺されて 3 番目の不等式が生成されるP上の関係のクラスに関するものです。図 2 でグラフィカルに表される二重相殺の例を考えてみましょう。この特定の二重相殺の例の先行不等式は次のとおりです。

${\displaystyle (a,y)>(b,x)}$

そして

${\displaystyle (b,z)>(c,y).}$

とすれば：

${\displaystyle (a,y)>(b,x)}$

は、次の場合にのみ真であり、 ${\displaystyle a+y>b+x;}$

${\displaystyle (b,z)>(c,y)}$

が真である場合にのみ、次のことが成り立ちます。 ${\displaystyle b+z>c+y}$

${\displaystyle a+y+b+z>b+x+c+y.}$

共通条件をキャンセルすると、次のようになります。

${\displaystyle (a,z)>(c,x).}$

したがって、二重キャンセルは、 AとXが量の場合にのみ得られます。

二重の相殺は、結果の不等式が先行する不等式と矛盾しない場合にのみ満たされます。たとえば、上記の結果の不等式が次のとおりであったとします。

${\displaystyle (a,z)<(c,x),}$あるいは、

${\displaystyle (a,z)=(c,x),}$

そうすると二重相殺が破られることになり（Michell 1988）、 AとXが量であると結論付けることはできない。

二重のキャンセルは、 P上の「右傾斜対角」関係の挙動に関係します。これは、単一のキャンセルによって論理的に必然的に導かれるものではないためです。 (Michell 2009) は、AとXのレベルが無限に近づくと、右傾斜対角関係の数がP上の全関係数の半分になることを発見しました。したがって、 AとXが量である場合、 P上の関係数の半分はAとXの順序関係によるものであり、残りの半分はAとXの加法関係によるものです(Michell 2009)。

二重キャンセルのインスタンス数は、AとXの両方で識別されるレベルの数に依存します。 Aのレベルがnで、Xのレベルがmの場合、二重キャンセルのインスタンス数はn ! × m ! です。したがって、n = m = 3 の場合、二重キャンセルの合計は 3! × 3! = 6 × 6 = 36 になります。ただし、単一キャンセルが真であれば、これらのインスタンスのうち 6 つを除くすべてが当然真であり、これら 6 つのインスタンスのいずれかが真であれば、それらすべてが真です。そのようなインスタンスの 1 つが図 2 に示されています。 (Michell 1988) はこれを二重キャンセルのLuce–Tukeyインスタンスと呼んでいます。

最初にデータセットに対して単一のキャンセルがテストされ、確立されている場合は、二重キャンセルの Luce–Tukey インスタンスのみをテストする必要があります。AのnレベルとXのm レベルについて、Luce–Tukey 二重キャンセル インスタンスの数は です。たとえば、n = m = 4 の場合、そのようなインスタンスは 16 個あります。n = m = 5 の場合は 100 個あります。 AとXの両方のレベル数が多いほど、キャンセル公理がランダムに満たされる可能性が低くなり (Arbuckle & Larimer 1976; McClelland 1977)、コンジョイント測定の適用による量のテストがより厳格になります。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{3}}}$${\displaystyle {\tbinom {m}{3}}}$

単一および二重の相殺公理だけでは、連続量を確立するのに十分ではありません。連続性を保証するには、他の条件も導入する必要があります。これらは、可解条件とアルキメデス条件です。

可解性とは、 a、b、x、yの任意の 3 つの要素について、方程式a x = b yが解ける 4 番目の要素が存在することを意味し、これが条件の名前の由来です。 可解性とは、基本的に、各レベルPにAの要素とXの要素が含まれているという要件です。 可解性は、 AとXのレベルについて何かを明らかにします。つまり、それらは実数のように密であるか、整数のように等間隔であるかのどちらかです(Krantz ら、1971 年)。

アルキメデスの条件は次のとおりです。Iを有限または無限、正または負の連続する整数の集合とします。A のレベルが標準シーケンスを形成するのは、 Xにxとy が存在し、 x ≠ yであり、 Iのすべての整数iとi + 1に対して次の場合のみです。

${\displaystyle (a_{i},x)=(a_{i+1},y).}$

これが基本的に意味するのは、たとえばxがyより大きい場合、関連する 2 つの順序付きペア、つまりPのレベルが等しくなるAのレベルが見つかるということです。

アルキメデスの条件は、 Pには無限に大きいレベルは存在せず、したがってAまたはXの最大レベルも存在しないことを主張する。この条件は、古代ギリシャの数学者アルキメデスが与えた連続性の定義であり、彼は「さらに、等しくない線、等しくない面、および等しくない立体については、大きい方の値が小さい方の値を上回る場合があり、その値自体を加えたときに、互いに比較できる値の間で割り当てられたどの値よりも大きくなることがある」（『球と円筒について』第 1 巻、仮定 5）と書いている。アルキメデスは、連続量の任意の 2 つの値について、一方が他方より小さい場合、小さい方に整数を掛けて大きい方の値と等しくすることができることを認識していた。ユークリッドは『原論』第 5 巻でアルキメデスの条件を公理として述べ、その中で連続量と測定の理論を提示した。

無限論的概念を伴うため、可解性公理とアルキメデスの公理は、有限の経験的状況では直接テストできません。しかし、これはこれらの公理が経験的にテストできないことを意味するものではありません。スコット (1964) の有限の相殺条件セットを使用して、これらの公理を間接的にテストできます。このようなテストの範囲は経験的に決定されます。たとえば、AとX の両方に 3 つのレベルがある場合、スコット (1964) の階層内で可解性とアルキメデス性を間接的にテストする最高次の相殺公理は、二重相殺です。4 つのレベルの場合は、三重相殺です (図 3)。このようなテストが満たされると、AとXの差の標準シーケンスの構築が可能になります。したがって、これらの属性は、実数のように密であるか、整数のように等間隔である可能性があります (Krantz ら、1971)。言い換えると、AとX は連続量です。

結合測定の条件を満たすということは、AとXのレベルの測定値が、大きさの比率または大きさの差の比率として表現できることを意味します。ほとんどの行動科学者は、テストや調査がいわゆる「間隔尺度」で属性を「測定」していると考えているため、後者として解釈されるのが最も一般的です (Kline 1998)。つまり、彼らはテストが心理的属性の絶対的なゼロ レベルを特定することはないと考えています。

正式には、 P、A、Xが加法的な結合構造を形成する場合、AとXから実数への関数が存在し、 Aのaとb、Xのxとyに対して次のようになります。

${\displaystyle (a,x)\succsim (b,y)\iff \varphi _{A}(a)+\varphi _{X}(x)\geqslant \varphi _{A}(b)+\varphi _{X}(y).}$

および が上記の式を満たす他の 2 つの実数値関数である場合、次を満たす実数値定数 およびが存在します。${\displaystyle \varphi '_{A}\,}$${\displaystyle \varphi '_{X}\,}$${\displaystyle \alpha >0,\beta _{A}\,}$${\displaystyle \beta _{X}\,}$

${\displaystyle \varphi '_{A}=\alpha \varphi _{A}+\beta _{A}{\text{ および }}\varphi '_{X}=\alpha \varphi _{X}+\beta _{X}.\,}$

つまり、およびは、アフィン変換を除いて一意のAおよびXの測定値です(つまり、それぞれは、Stevens (1946) の用語では間隔スケールです)。この結果の数学的証明は、(Krantz ら 1971、pp. 261–6) に記載されています。 ${\displaystyle \varphi '_{A},\varphi _{A},\varphi '_{X}\,}$${\displaystyle \varphi _{X}\,}$

これは、 AとXのレベルが、何らかの単位差を基準として測定された大きさの差であることを意味します。Pの各レベルは、 AとXのレベルの差です。ただし、加法的なコンジョイントのコンテキスト内で単位をどのように定義できるかについては、文献からは明らかではありません。 van der Ven 1980 は、コンジョイント構造のスケーリング方法を提案しましたが、彼も単位については議論しませんでした。

ただし、コンジョイント測定の理論は、差異の定量化に限定されません。Pの各レベルがAのレベルとXのレベルの積である場合、Pは別の異なる量であり、その測定値はXの単位量あたりのAの量として表されます。たとえば、A が質量で構成され、X が体積で構成されている場合、P は単位体積あたりの質量として測定された密度で構成されます。このような場合、コンジョイント測定を適用する前に、 Aの 1 つのレベルとXの 1 つのレベルを暫定的な単位として識別する必要がある と思われます。

Pの各レベルがAのレベルとXのレベルの合計である場合、P はAおよびXと同じ量です。たとえば、AとX は長さなので、Pでなければなりません。したがって、3つはすべて同じ単位で表現する必要があります。このような場合、 AまたはXのいずれかのレベルが暫定的に単位として特定される必要があるようです。したがって、結合測定の適用には、関連する自然システムの事前の記述理論が必要であると思われます。

コンジョイント測定理論の実証的応用はほとんど行われていない（Cliff 1992; Michell 2009）。

二重キャンセルについては、いくつかの実証的評価が行われてきました。これらのうち、Levelt、Riemersma & Bunt 1972 は、この公理を両耳音量の心理物理学に対して評価しました。彼らは、二重キャンセル公理が却下されることを発見しました。Gigerenzer & Strube 1983 は同様の調査を行い、Levelt ら (1972) の調査結果を再現しました。Gigerenzer & Strube 1983 は、二重キャンセルの評価には相当な冗長性があり、それが実証的テストを複雑にすることを指摘しました。そのため、Steingrimsson & Luce 2005 は、代わりにこの冗長性を回避する同等の Thomsen 条件公理を評価し、この特性が両耳音量でサポートされていることを発見しました。 Luce と Steingrimsson 2011 は、その時点までの文献を要約し、トムセン条件の評価には経験的な課題も含まれているが、彼らはそれが結合可換性公理によって解決され、それがトムセン条件と同等であることを示しています。Luce と Steingrimsson 2011 は、結合可換性が両耳の音量と明るさに裏付けられていることを発見しました。

ミシェル (1990) は、この理論をLL サーストン(1927) の一対比較理論、多次元尺度法、クームズ (1964) の一次元展開理論に適用しました。彼は、クームズ (1964) の理論でのみ、キャンセル公理が裏付けられていることを発見しました。しかし、サーストンの理論と多次元尺度法をテストする際にミシェル (1990) が使用した統計手法では、キャンセル公理によって課せられる順序制約が考慮されていませんでした (van der Linden 1994)。

(Johnson 2001)、Kyngdon (2006)、Michell (1994)、および (Sherman 1993)は、Coombs (1964) の一次元展開理論を使用して得られた刺激間中点順序に対する相殺公理をテストしました。3 つの研究すべてで、Coombs の理論は 6 つのステートメントのセットに適用されました。これらの著者は、公理が満たされていることを発見しましたが、これらは肯定的な結果に偏った適用でした。6 つの刺激の場合、刺激間中点順序が二重相殺公理をランダムに満たす確率は .5874 です (Michell、1994)。これはあり得ないイベントではありません。Kyngdon と Richards (2007) は 8 つのステートメントを使用し、刺激間中点順序が二重相殺条件を拒否することを発見しました。 harv エラー: ターゲットがありません: CITEREFSherman1993 (ヘルプ)

Perline、Wright、Wainer 1979 は、囚人仮釈放質問票の項目回答データとデンマーク軍から収集した知能テスト データにコンジョイント測定を適用しました。仮釈放質問票データではキャンセル公理にかなり違反していることがわかりましたが、知能テスト データでは違反がありませんでした。さらに、二重キャンセルの「テストなし」の事例を記録しました。これらを二重キャンセルを支持する事例として正しく解釈すると (Michell、1988)、Perline、Wright、Wainer 1979 の結果は、彼らが考えていたよりも優れています。

Stankov と Cregan 1993 は、シーケンス完了タスクのパフォーマンスにコンジョイント測定を適用しました。コンジョイント配列の列 ( X ) は、文字シリーズ完了タスクでワーキングメモリの場所キーパーの数を増やすことによってワーキングメモリ容量に課される要求によって定義されました。行は、テストを完了するために利用できる回数が異なるモチベーションのレベル ( A ) によって定義されました。データ ( P ) は、完了時間と平均シリーズ正解数で構成されていました。彼らはキャンセル公理の裏付けを見つけましたが、コンジョイント配列のサイズが小さいこと (サイズは 3 × 3) と、キャンセル公理によって課される順序の制限を考慮しない統計手法によって、研究は偏っていました。

Kyngdon (2011) は Karabatsos (2001) の順序制限推論フレームワークを使用して、読解項目の応答割合 ( P ) の結合行列をテストしました。ここで、受験者の読解能力は結合配列 ( A ) の行を構成し、読解項目の難易度は配列の列 ( X ) を構成します。読解能力のレベルは生の合計テストスコアによって識別され、読解項目の難易度のレベルはLexile読解フレームワーク (Stenner ら、2006 年) によって識別されました。Kyngdon は、キャンセル公理の満足は、項目の難易度の推定 Lexile 尺度と一致しない方法で行列を並べ替えることによってのみ得られることを発見しました。Kyngdon は、多項式結合測定を使用して、シミュレートされた能力テスト応答データもテストしました。彼は、3 つの変数における分配多項式結合構造と一致する分配的、単一および二重のキャンセルのサポートを発見しました (Krantz & Tversky 1971)。

• 項目反応理論 – テストの設計、分析、採点のパラダイム

• Arbuckle, J.; Larimer, J. (1976). 「特定の加法性公理を満たす2元表の数」.数学心理学ジャーナル. 12 : 89–100. doi :10.1016/0022-2496(76)90036-5.
• Birnbaum, MH (2008). 「リスクを伴う意思決定の新たなパラドックス」.心理学評論. 115 (2): 463–501. CiteSeerX  10.1.1.144.5661 . doi :10.1037/0033-295X.115.2.463. PMID  18426300.
• Brogden, HE (1977 年 12 月)。「Rasch モデル、比較判断の法則、および加法的なコンジョイント測定」Psychometrika . 42 (4): 631–4. doi :10.1007/BF02295985. S2CID  123583660。
• クリフ、N. (1992)。「抽象測定理論と起こらなかった革命」心理科学。3 (3): 186–190。doi :10.1111/ j.1467-9280.1992.tb00024.x。S2CID 144507788  。
• クームズ、CH（1964）「データの理論」ニューヨーク：ワイリー。^{[ページが必要]}
• Davis-Stober, CP (2009 年 2 月)。「不等式制約下での多項式モデルの分析: 測定理論への応用」。Journal of Mathematical Psychology。53 ( 1): 1–13。doi :10.1016/j.jmp.2008.08.003 。
• Debreu, G. (1960)。「基数効用理論における位相的方法」。Arrow, KJ、Karlin, S.、Suppes, P. (編)。社会科学における数学的方法。スタンフォード大学出版局。pp. 16–26。
• Embretson, SE; Reise, SP (2000).心理学者のための項目反応理論. Erlbaum.^{[ページが必要]}
• エマーソン、WH (2008)。「数量計算と測定単位について」。メトロロジア。45 (2): 134–138。Bibcode : 2008Metro..45..134E。doi : 10.1088/ 0026-1394 /45/2/002。S2CID 121451085  。
• Fischer, G. (1995)。「Rasch モデルの導出」。Fischer, G.、Molenaar, IW (編)。Raschモデル: 基礎、最近の開発、およびアプリケーション。ニューヨーク: Springer。pp. 15–38。
• Gigerenzer, G.; Strube, G. (1983). 「両耳の音量の加法性には限界があるか?」実験心理学ジャーナル: 人間の知覚とパフォーマンス. 9 (1): 126–136. doi :10.1037/0096-1523.9.1.126. hdl : 21.11116/0000-0000-BC9A-F . PMID  6220118.
• Grayson, DA (1988 年 9 月)。「2 グループ分類と潜在特性理論: 単調尤度比によるスコア」Psychometrika . 53 (3): 383–392. doi :10.1007/BF02294219. S2CID  121684695。
• ヘルダー、O. (1901)。 「量的公理とミサの命」。Berichte Uber die Verhandlungen der Koeniglich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physikaliche Klasse。53：1-46。(パート 1 は、Michell, J.、Ernst, C. (1996 年 9 月) によって翻訳されました。「量の公理と測定の理論」。Journal of Mathematical Psychology。40 ( 3): 235–252。doi : 10.1006 /jmps.1996.0023。PMID 8979975  。
• Humphry, SM; Andrich, D. ( 2008) .「Rasch モデルの単位を理解する」。応用計測ジャーナル。9 (3): 249–264。PMID  18753694。
• アイバーソン、G.;ファルマーニュ、JC (1985). 「測定における統計的問題」.数学社会科学. 10 (2): 131–153. doi :10.1016/0165-4896(85)90031-9.
• ジョンソン、T. (2001)。「ミッシェルのバイナリツリー手順を使用した、刺激コンテキストの変化が態度陳述に与える影響の制御」。オーストラリア心理学ジャーナル。53 :23–28。doi : 10.1080 /00049530108255118。
• Kahneman, D.; Tversky, A. (1979). 「プロスペクト理論: リスク下での意思決定の分析」. Econometrica . 47 (2): 263–291. CiteSeerX  10.1.1.407.1910 . doi :10.2307/1914185. JSTOR  1914185.
• Karabatsos, G. (2001). 「Rasch モデル、加法的なコンジョイント測定、および確率的測定理論の新しいモデル」。応用測定ジャーナル。2 (4): 389–423。PMID 12011506  。
• Karabatsos, G. (2005 年 2 月)。「選択公理と測定公理をテストするためのアプローチとしての交換可能な多項式モデル」(PDF)。Journal of Mathematical Psychology。49 ( 1): 51–69。doi :10.1016/j.jmp.2004.11.001。2006 年 2月6 日にオリジナル (PDF) からアーカイブ。
• Karabatsos, G.; Sheu, CF (2004). 「一次元非パラメトリック項目反応理論の二分モデルに対するベイズ順序制約付き推論」.応用心理測定. 28 (2): 110–125. doi :10.1177/0146621603260678. S2CID  122303701.
• Karabatsos, G.; Ullrich, JR (2002). 「コンジョイント測定モデルの列挙とテスト」.数学社会科学. 43 (3): 485–504. doi :10.1016/S0165-4896(02)00024-0.
• Krantz, DH (1964年7 月)。「コンジョイント測定: Luce-Tukey 公理化といくつかの拡張」。Journal of Mathematical Psychology。1 ( 2): 248–277。doi :10.1016/0022-2496(64)90003-3。
• Krantz, DH (1968)。「測定理論の概観」。Danzig, GB; Veinott, AF (編)。意思決定科学の数学: 第 2 部。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学会。pp. 314–350。
• Keats, JA (1967). 「テスト理論」. Annual Review of Psychology . 18 : 217–238. doi :10.1146/annurev.ps.18.020167.001245. PMID  5333423.
• Kline, P. (1998). 『新しい心理測定学：科学、心理学、測定』 ロンドン: Routledge.^{[ページが必要]}
• Krantz, DH; Luce, RD; Suppes, P.; Tversky, A. (1971).測定の基礎、第 1 巻: 加法表現と多項式表現。ニューヨーク: Academic Press。
• Krantz, DH; Tversky, A. (1971). 「心理学における構成規則のコンジョイント測定分析」.心理学評論. 78 (2): 151–169. doi :10.1037/h0030637.
• Kyngdon, A. ( 2006). 「一次元展開理論に関する実証的研究」。応用計測ジャーナル。7 (4): 369–393。PMID  17068378。
• Kyngdon, A. (2008). 「測定の表現理論の観点から見たラッシュモデル」.理論と心理学. 18 : 89–109. doi :10.1177/0959354307086924. S2CID  143679173.
• Kyngdon, A. (2011). 「テストパフォーマンスの心理測定モデルに対する妥当な測定類似性」.英国数学統計心理学ジャーナル. 64 (3): 478–497. doi :10.1348/2044-8317.002004. PMID  21973097.
• Kyngdon, A.; Richards, B. ( 2007). 「態度、秩序、量: 一次元展開の決定論的および直接的確率的テスト」。応用計測ジャーナル。8 (1): 1–34。PMID 17215563  。
• Levelt, WJM; Riemersma, JB; Bunt, AA (1972 年 5 月). 「両耳のラウドネス加法性」(PDF) . British Journal of Mathematical and Statistical Psychology . 25 (1): 51–68. doi :10.1111/j.2044-8317.1972.tb00477.x. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-2CBF-1 . PMID  5031649.
• Luce, RD; Steingrimsson, R. (2011). 「加法的なコンジョイント測定のためのコンジョイント可換公理の理論とテスト」(PDF) .数学心理学ジャーナル. 55 (5): 379–389. doi :10.1016/j.jmp.2011.05.004.
• Luce, RD; Suppes, P. (2002) 「表現測定理論」 Pashler, H.; Wixted, J. (編) Stevens の実験心理学ハンドブック: 第 4 巻。実験心理学の方法論(第 3 版)。ニューヨーク: Wiley。pp. 1–41。
• Luce , RD; Tukey, JW (1964年1月)。「同時結合測定: 基本測定の新しいスケールタイプ」。Journal of Mathematical Psychology。1 ( 1 ): 1–27。CiteSeerX 10.1.1.334.5018。doi :10.1016/0022-2496(64)90015-X。 
• McClelland, G. (1977年6 月)。「Arbuckle と Larimer に関する注記: 特定の加法性公理を満たす 2 元表の数」。Journal of Mathematical Psychology。15 ( 3): 292–5。doi : 10.1016 /0022-2496(77)90035-9。
• ミッシェル、J. (1994 年 6 月)。「一次元展開による信念の次元の測定」。数学心理学ジャーナル。38 (2): 224–273。doi :10.1006/jmps.1994.1016 。
• Michell, J. (1988年12月)。「コンジョイント測定における二重キャンセル条件のテストに関するいくつかの問題」。Journal of Mathematical Psychology。32 ( 4): 466–473。doi : 10.1016 /0022-2496(88)90024-7。
• ミッシェル、J. (1990)。心理測定の論理入門。ヒルズデール、NJ: エルバウム。^{[ページが必要]}
• ミシェル、 J . (2009 年 2 月)。「心理測定学者の誤り: 半分賢すぎる?」英国数学統計心理学ジャーナル。62 (1): 41–55。doi : 10.1348 /000711007X243582。PMID 17908369  。
• Perline, R.; Wright, BD; Wainer, H. (1979). 「加法的コンジョイント測定としてのRaschモデル」.応用心理測定. 3 (2): 237–255. doi :10.1177/014662167900300213. S2CID  53706504.
• Scheiblechner、H. (1999 年 9 月)。 「加法的コンジョイント等張確率モデル (ADISOP)」。サイコメトリカ。64 (3): 295–316。土井：10.1007/BF02294297。S2CID  120080826。
• スコット、 D . (1964年7月)。「測定モデルと線形不等式」。数学心理学ジャーナル。1 (2): 233–247。doi :10.1016/0022-2496(64)90002-1。
• シャーマン、K.（1994年4月）。「クームズの展開理論における文脈の変化の影響」オーストラリア心理学ジャーナル。46 （1）：41-47。doi ： 10.1080 /00049539408259468。
• Stankov, L.; Cregan, A. (1993). 「知能検査の定量的および定性的特性: シリーズ完了」.学習と個人差. 5 (2): 137–169. doi :10.1016/1041-6080(93)90009-H.
• Steingrimsson, R; Luce, RD (2005). 「グローバル心理物理学的判断のモデルの評価 I: 合計と生成の動作特性」(PDF) .数学心理学ジャーナル. 49 (4): 290–306. doi :10.1016/j.jmp.2005.03.003.
• Stenner, AJ; Burdick, H.; Sanford, EE; Burdick, DS ( 2006)。「Lexile テキスト測定の精度はどの程度か?」応用測定ジャーナル。7 (3): 307–322。PMID 16807496  。
• Stevens, SS (1946). 「測定尺度の理論について」. Science . 103 (2684): 667–680. Bibcode :1946Sci...103..677S. doi :10.1126/science.103.2684.677. PMID  17750512.
• Stober, CP (2009). Luce の挑戦: 定量モデルと統計手法.^{[全文引用が必要]}
• サーストン、LL（1927）。「比較判断の法則」心理学評論34 （4） ： 278-286。doi ：10.1037 / h0070288。S2CID  144782881。
• Tversky, A. (1967). 「多項式コンジョイント測定の一般理論」(PDF) .数学心理学ジャーナル. 4 : 1–20. doi :10.1016/0022-2496(67)90039-9. hdl : 2027.42/33362 .
• Ullrich, JR; Wilson, RE (1993 年 12 月)。「結合測定と加法性の公理を満たす2 元および 3 元表の正確な数に関する注記」。Journal of Mathematical Psychology。37 ( 4): 624–8。doi :10.1006/ jmps.1993.1037。
• van der Linden, W. (1994年3月). 「Michell (1990)のレビュー」. Psychometrika . 59 (1): 139–142. doi :10.1007/BF02294273.
• van der Ven, AHGS (1980)。スケーリング入門。ニューヨーク: Wiley。^{[ページが必要]}

• 結合公理をテストするための Karabatsos の S-Plus プログラム
• 加法性をテストするための Birnbaum の FORTRAN MONANOVA プログラム
• キャンセルテスト、公理のテスト、プロスペクト理論を列挙するための Kyngdon の R プログラム
• R 統計計算ソフトウェア