正複素多角形

幾何学において、複素正多角形は、実空間の正多角形を複素ヒルベルト空間の類似の構造に一般化したものです。複素ヒルベルト空間 では、各実次元に虚次元が伴います。正多角形は 2 つの実次元 に存在しますが、複素多角形は 2 つの複素次元 に存在し、4 次元 で実表現することができ、視覚化するには 2 次元または 3 次元に投影する必要があります。複素多角形は、の複素多面体として一般化されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

複雑な多角形は、複雑な点、線、平面などの集合として理解できます。ここで、各点は複数の線の接合点であり、各線は複数の平面の接合点などです。

正複素多角形は完全に特徴付けられており、Coxeterによって開発された記号表記法を使用して記述できます。

すべて 2 辺を持つ正多角形はグラフで表すことができますが、k辺を持つ形式はハイパーグラフでのみ関連付けることができます。k辺は、順序が暗示されていない頂点の集合として見ることができます。 2 辺のペアで描画することもできますが、これは構造的に正確ではありません。

1次元多面体は無制限のpを持つことができますが、二重柱多角形_p {4} ₂を除く有限正複素多角形は5辺（五角形辺）の要素に制限され、無限正アピロゴンには6辺（六角形辺）の要素も含まれます。

シェパードはもともと、正多面体に対するシュレーフリの表記法の修正版を考案しました。p ₁辺で囲まれた多角形、頂点図形としてp ₂集合、全体の対称群の順序がgの場合、その多角形をp ₁ ( g ) p ₂と表記します。

頂点の数Vはg / p ₂、辺の数Eはg / p ₁です。

上に示した複雑な多角形には、8 つの正方形の辺 ( p ₁ =4) と 16 個の頂点 ( p ₂ =2) があります。このことから、g​​ = 32 となり、修正されたシュレーフリ記号は 4(32)2 となります。

より現代的な表記法_{p 1} { q } _{p 2は}Coxeterによるもの^[2]で、群論に基づいています。対称群として、その記号は_{p 1} [ q ] _{p 2}です。

対称群_{p 1} [ q ] _{p 2 は2 つの生成元 R 1}、 R ₂で表され、ここで R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I です。qが偶数の場合、 (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2です}。qが奇数の場合、 (R ₂ R ₁ ) ^{( q −1)/2} R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R _1です。qが奇数の場合、p ₁ = p ₂です。

₄ [4] ₂の場合、R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I、(R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ²となる。

₃ [5] ₃についてはR ₁ ³ = R ₂ ³ = I、(R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁である。

コクセターはコクセター・ディンキン図の複素多面体への応用も一般化した。例えば複素多角形_p { q } _rは次のように表される。そして、同値な対称群_p [ q ] _{r は}環のない図式である。ノードpとrは、平面にpとrの像を生成する鏡を表します。図のラベルのないノードには、暗黙的に2つのラベルがあります。たとえば、実際の正多角形は₂ { q } ₂または{ q }または。

1つの制限は、奇数の分岐順序で接続されたノードは、同一のノード順序を持つ必要があることです。そうでない場合、グループは重複する要素を持つ「星型」ポリゴンを作成します。そして普通ですが、星が輝いています。

コクセターは、この正複素多角形のリストを に列挙しました。正複素多角形_p { q } _rまたは${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ は 、p辺とr角形の頂点図形を持ちます。p { q } _{r は}、( p  +  r ) q _> pr ( q  − 2 ) のとき有限多面体です。

その対称性は_p [ q ] _rと書かれ、シェパード群と呼ばれ、コクセター群に類似しているが、ユニタリ反射も許容する。

非星状群の場合、群の位数_p [ q ] _rは次のように計算できる。^[4]${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

_p [ q ] _rのCoxeter数は なので 、群位数は として計算することもできます。正複素多角形は、h角対称の直交投影で描くことができます。 ${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

複雑なポリゴンを生成するランク 2 ソリューションは次のとおりです。

qが奇数でpとrが等しくない除外解は₆ [3] _{2、6 [} 3] 3、9 _[ 3] _{3、12 [ 3} ] 3 _、 ...、₅ [5] _2、6 [ 5 _{] 2、8} [ ₅ ] _{2、9 [} 5] _{2、4 [} 7] _{2、9 [ 5} ] _2、3 [ ₉ ] ₂、および₃ [ 11] ₂である。

pとrが等しくない他の整数q は、重複する基本領域を持つ星型グループを作成します。、、、、、 そして。

_p { q } _rの双対多角形は_r { q } _pである_。p { q } _pの形の多角形は自己双対である。p [2 q ] ₂の形の群は半対称性_{p [} q ] p_を持つので、正多角形準正規形と同じ同様に、同じノード順序を持つ正多角形は、、交互構造を持つ隣接する辺を異なる色にすることができる。^[5]

グループの順序gは、頂点と辺の合計数を計算するために使用されます。頂点はg / r個、辺はg / p個になります。p = rの場合、頂点と辺の数は等しくなります。この条件は、 qが奇数の場合に必要です。

グループp [ q ] r、は、2つの行列で表すことができます。^[6]

と

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {\cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+\cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}$

例

コクセターは複素多角形を正則複素多面体の表IIIに列挙した。^[7]

_p {2 r } _qの形式の多角形は、 p辺のq色セットによって視覚化できます。各p辺は正多角形として表示されますが、面はありません。

複雑な多角形₂ { r } _q

₂ {4} _qの形の多角形は、一般化正多角形と呼ばれます。これらは、4D q - q デュオピラミッドと頂点を共有し、頂点は 2 辺で接続されています。

• 
  ₂ {4} ₂、4つの頂点と4つの辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₃、6つの頂点と9つの辺を持つ^[8]
• 
  ₂ {4} ₄、8つの頂点と16の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₅、10個の頂点と25個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₆、12の頂点と36の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₇、14の頂点と49の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₈、16頂点、64辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₉、18個の頂点と81個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₁₀、20個の頂点と100個の辺を持つ

複素多角形_p {4} ₂

_p {4} ₂の形の多角形は、一般化ハイパーキューブ(多角形の正方形)と呼ばれます。これらは、4D p - p デュオプリズムと頂点を共有し、頂点は p 辺で接続されます。頂点は緑で描かれ、p辺は赤と青の交互の色で描かれます。奇数次元では、重なり合う頂点が中心からずれるため、遠近法はわずかに歪んでいます。

• 
  ₂ {4} ₂、または4つの頂点と4つの2辺を持つ
• 
  ₃ {4} ₂、または9つの頂点と6つの（三角形の）3辺を持つ^[9]
• 
  ₄ {4} ₂、または16個の頂点と8個の（正方形の）4辺を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ ,または25の頂点と10の（五角形の）5辺を持つ
• 
  ₆ {4} ₂ ,または36の頂点と12の（六角形の）6辺を持つ
• 
  ₇ {4} ₂ ,または49の頂点と14の（七角形の）7辺を持つ
• 
  ₈ {4} ₂ ,または64の頂点と16の（八角形の）8辺を持つ
• 
  ₉ {4} ₂ ,または81の頂点と18の（9角形の）9辺を持つ
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,または100個の頂点と20個の（10角形）10辺を持つ

複素多角形_p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂、または24個の頂点が黒で、16個の3辺が赤と青の2組の3辺で色付けされている^[10]
• 
  ₃ {8} ₂、または72個の頂点が黒で、48個の3辺が赤と青の2組の3辺で色分けされている^[11]

複素多角形、_p { r } _p

_p { r } _pの形式の多角形は、頂点と辺の数が等しく、自己双対でもあります。

• 
  ₃ {3} ₃、または8つの頂点は黒で、8つの3辺は赤と青の2組の3辺で色分けされている^[12]
• 
  ₃ {4} ₃、または24個の頂点と24個の3辺が3組の色で表示され、1組は塗りつぶされている^[13]
• 
  ₄ {3} ₄、または24個の頂点と24個の4辺が4色で表示される^[14]
• 
  ₃ {5} ₃、または120個の頂点と120個の3辺を持つ^[15]
• 
  ₅ {3} ₅、または120の頂点と120の5辺を持つ^[16]

複雑な多角形の3D透視投影_p {4} ₂は、複雑な多角形の点とエッジの構造を示すことができますが、スケールは保持されません。

双対₂ {4} _p : は、辺の内側に頂点を追加し、頂点の代わりに辺を追加することによって表示されます。

• 
  ₂ {4} ₃、6つの頂点、3セットの9つの辺を持つ
• 
  ₃ {4} ₂、9つの頂点、6つの3辺、2つの色の組み合わせ
• 
  ₄ {4} ₂、16の頂点、2セットの色で8つの4辺、および塗りつぶされた正方形の4辺を持つ。
• 
  ₅ {4} ₂ ,25の頂点、10の5辺、2セットの色で

準正多角形は正多角形を切り取ったものである。準正多角形正多角形の交互の辺を含むそして準正多角形は、正多角形の p 辺上に p頂点を持ちます。

• Coxeter, HSMおよび Moser, WOJ;離散群の生成元と関係(1965)、特に pp 67–80。
• コクセター、HSM（1991）、Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, HSMおよび Shephard, GC; 複雑な多面体のファミリーのポートレート、Leonardo Vol 25、No 3/4、(1992)、pp 239–244、
• Shephard, GC; Regular complex polytopes、Proc. London math. Soc. Series 3、Vol 2、(1952)、pp 82–97。
• シェパード、GC ; トッド、JA (1954)、「有限ユニタリ反射群」、カナダ数学ジャーナル、6 : 274–304、doi :10.4153/cjm-1954-028-3、MR  0059914
• グスタフ・I・レーラーとドナルド・E・テイラー著『ユニタリ・リフレクション・グループ』ケンブリッジ大学出版局、2009年