一様10次元多面体

10 次元幾何学において、10 次元多面体とは、境界が9 次元多面体の面で構成されている 10 次元多面体であり、各8 次元多面体の稜線でちょうど 2 つの面が交わります。

一様 10 次元多面体は、頂点推移的であり、一様面 から構成される多面体です。

正10次元多面体は、各ピークの周りにx個の{p,q,r,s,t,u,v,w,x}の9次元多面体面を持つシュレーフリ記号{p,q, r , s , t ,u,v,w,x}で表すことができます。

このような凸正則10次元多面体は正確に3つ存在します。

1. {3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10単体
2. {4,3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10 立方体
3. {3,3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-オルソプレックス

非凸正則 10 次元多面体は存在しません。

任意の10次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。^[1]

多面体を特徴付けるために使用されるオイラー特性の値は、高次元に一般化できず、基礎となる位相が何であれ、すべての10次元多面体に対してゼロになります。高次元の異なる位相を確実に区別するためのオイラー特性のこの不十分さは、より洗練されたベッティ数の発見につながりました。^[1]

同様に、多面体の配向可能性の概念は、トーラス多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。^[1]

反射対称性を持つ均一な10次元多面体は、コクセター-ディンキン図の環の順列で表される次の3つのコクセター群によって生成できます。

各ファミリーから選択された正則かつ均一な 10 次元多面体には次のものが含まれます。

1. 単純型ファミリー: A ₁₀ [3 ⁹ ] -
   • 群図の環の順列として 527 個の均一な 10 次元多面体があり、そのうち 1 つは正則多面体です。
     1. {3 ⁹ } - 10単体-
2. ハイパーキューブ/オルソプレックスファミリー: B ₁₀ [4,3 ⁸ ] -
   • 群図の環の順列として 1023 個の均一な 10 次元多面体があり、そのうち 2 つは正則多面体です。
     1. {4,3 ⁸ } - 10キューブまたはデケラクト-
     2. {3 ⁸ ,4} - 10-オルソプレックスまたはデカクロス-
     3. h{4,3 ⁸ } - 10-デミキューブ 。
3. 半超立方体D ₁₀族: [3 ^7,1,1 ] -
   • 群図の環の順列として、次の 767 個の均一な 10 次元多面体があります。
     1. 1 _7,1 - 10-デミキューブまたはデミケラクト-
     2. 7 _1,1 - 10-オルトプレックス-

A ₁₀ファミリーは 39,916,800 次 (11 の階乗) の対称性を持ちます。

1 つ以上の環を持つCoxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく形式は 512+16-1=527 あります。以下に 31 を示します。1 環と 2 環のすべての形式と、最後の全切断形式です。相互参照のために、Bowers スタイルの頭字語名が括弧内に表示されます。

1 つ以上の環を持つ Coxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく形式は 1023 個あります。

以下に 12 のケースを示します。10 は単環 (整流) 形式で、2 は切断です。Bowers スタイルの頭字語名は相互参照のために括弧内に表示されます。

D ₁₀族は 1,857,945,600 次 (10 の階乗× 2 ⁹ ) の対称性を持ちます。

このファミリーには、D ₁₀ コクセター・ディンキン図の 1 つ以上のノードをマークすることによって生成される 3×256−1=767 個のウィソフ一様多面体があります。これらのうち、511 (2×256−1) は B ₁₀ファミリーから繰り返され、256 はこのファミリーに固有で、そのうち 2 つを以下に示します。相互参照のために、Bowers スタイルの頭字語名が括弧内に表示されます。

9 次元空間で規則的かつ均一なタイル分割を生成する 基本的なアフィンコクセター群が4 つあります。

規則的かつ均一なテッセレーションには次のものが含まれます。

• 正 9次元超立方ハニカム、記号は{4,3 ⁷ ,4}、
• 記号h{4,3 ⁷ ,4}を持つ一様交互9超立方ハニカム、

階数 10 のコンパクトな双曲型コクセター群、すべての有限面と有限頂点図を持つハニカムを生成できる群は存在しません。ただし、階数 9 のパラコンパクト双曲型コクセター群は 3 つあり、それぞれがコクセター図の環の順列として 9 次元空間に均一なハニカムを生成します。

端環付きコクセター図によって生成された、 このファミリーの 3 つのハニカムは次のとおりです。${\displaystyle E_{10}}$

• 6 ₂₁ハニカム:
• 2 ₆₁ハニカム:
• 1 ₆₂ハニカム:

• T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• A. ブール・ストット:正多面体と空間充填からの準正則の幾何学的演繹、Koninklijke academy van Wetenschappen width Unit Amsterdam の Verhandelingen、Eerste Sectie 11,1、アムステルダム、1910
• HSMコクセター:
  • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller: Uniform Polyhedra、ロンドン王立協会哲学論文集、ロンドン、1954年
  • HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• Klitzing、Richard。「10D 均一多面体 (ポリクセナ)」。

• 多面体の名前
• さまざまな次元の多面体、ジョナサン・バワーズ
• 多次元用語集
• ハイパースペースの用語集、ジョージ・オルシェフスキー。