ザリスキの補題

代数学において、オスカー・ザリスキ(1947)によって証明されたザリスキの補題 は、体Kが別の体k上の結合代数として有限生成される場合、K はkの有限体拡大である(つまり、ベクトル空間としても有限生成される) ことを述べています。

この補題の重要な応用は、ヒルベルトの零点定理の弱形式の証明である。^[1] I が( k は代数的に閉体)の真イデアルであれば、I は零点を持つ。つまり、I内のすべてのfに対してとなる点xが存在する。(証明: I を極大イデアルで置き換えると、 が極大であると仮定できる。と を自然射影とする。補題により は有限拡大である。k は代数的に閉体なので、その拡大はkでなければならない。すると任意の に対して、 ${\displaystyle k[t_{1},...,t_{n}]}$${\displaystyle k^{n}}$${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A=k[t_{1},...,t_{n}]}$${\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle f\in {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle f(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))=\phi (f(t_{1},\cdots ,t_{n}))=0}$;

つまり、のゼロです。 ${\displaystyle x=(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

この補題は次のような観点からも理解できる。一般に、環Rがヤコブソン環であるための必要十分条件は、体であるすべての有限生成R代数がR上有限であるときである。^[2]したがって、この補題は、体 R がヤコブソン環であるという事実から導かれる。

Atiyah–MacDonald では 2 つの直接的な証明が与えられている。^{[3] [4]} 1 つは Zariski によるもので、もう 1 つはArtin–Tate の補題を使用する。Zariski の元の証明については、元の論文を参照のこと。^[5]ヤコブソン環の言語による別の直接的な証明を以下に示す。補題は、ノイマン正規化補題の結果でもある。実際、正規化補題により、K は多項式環上の有限モジュールであり、 はk上で代数的に独立したKの要素である。しかし、K はKrull 次元が 0 であり、整式環拡大(たとえば有限環拡大) は Krull 次元を保存するため、多項式環は次元が 0 でなければならない。すなわち、 である。 ${\displaystyle k[x_{1},\ldots,x_{d}]}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$${\displaystyle d=0}$

ヤコブソン環の次の特徴付けには、ザリスキの補題が特別なケースとして含まれています。すべての素イデアルが極大イデアルの交差である場合、環はヤコブソン環であることを思い出してください。( Aが体である場合、Aはヤコブソン環であり、以下の定理はまさにザリスキの補題です。)

証明: 2. 1.: をA の素イデアルとし、 と設定します。B のヤコブソン根号がゼロであることを示す必要があります。そのためには、 f を Bの非ゼロ元とします。を局所化の極大イデアルとします。すると、は有限生成A代数である体であり、仮定によりA上で有限です。したがって、 上で有限であり、の部分環上でも有限です。整式により、はf を含まない極大イデアルです。 ${\displaystyle \Rightarrow}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle B[f^{-1}]}$${\displaystyle B[f^{-1}]/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B/{\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {m}}\cap B}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

1. 2.: ヤコブソン環の因子環はヤコブソン環なので、B は部分環としてA を含むと仮定できます。この主張は次の代数的事実の結果です。 ${\displaystyle \Rightarrow}$

(*)を整域とし、 B がA代数として有限生成となるようにします。すると、 Aに非ゼロのa が存在し、任意の環準同型、代数閉体Kがに拡張されます。${\displaystyle B\supseteq A}$${\displaystyle \phi :A\to K}$${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}$

実際、を含まないAの最大イデアルを選択します。の何らかの代数的閉包をK と書き表すと、標準写像はに拡張されます。Bは体なので、は単射であり、したがってB は上で代数的 (したがって有限代数的) です。ここで (*) を証明します。B がA上で超越的な元を含む場合、 はA上の多項式環を含み、この環にはφ が拡張されます ( に対する要件なし)。したがって、B はA上で代数的であると仮定できます(たとえば、ゾルンの補題により)。をBのA代数としての生成元とします。すると、それぞれが関係式 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}\hookrightarrow K}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle a_{i0}x_{i}^{n}+a_{i1}x_{i}^{n-1}+\dots +a_{in}=0,\,\,a_{ij}\in A}$

ここで、n はiに依存し、 とします。 を設定します。すると、 は上で積分になります。が与えられているので、を設定して、まず に拡張します。次に、 とします。 の積分性により、のある極大イデアルに対して が成り立ちます。すると、は に拡張されます。最後の写像をBに制限して証明を終了します。${\displaystyle a_{i0}\neq 0}$${\displaystyle a=a_{10}a_{20}\dots a_{r0}}$${\displaystyle B[a^{-1}]}$${\displaystyle A[a^{-1}]}$${\displaystyle \phi :A\to K}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to K}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(a^{-1})=\phi (a)^{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ker} {\widetilde {\phi }}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap A[a^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle B[a^{-1}]}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to A[a^{-1}]/{\mathfrak {m}}\to K}$${\displaystyle B[a^{-1}]\to B[a^{-1}]/{\mathfrak {n}}\to K}$${\displaystyle \square }$