ヤングの積の不等式

数学において、ヤングの積の不等式は、 2 つの数の積に関する数学的不等式です。 ^{[ 1 ]}この不等式はウィリアム・ヘンリー・ヤングにちなんで名付けられており、ヤングの畳み込み不等式と混同してはいけません。

ヤングの積の不等式は、ヘルダーの不等式を証明するために使用できます。また、偏微分方程式理論における非線形項のノルムを推定するためにも広く用いられています。これは、2つの項の積を、同じ項をべき乗してスケーリングした和で推定できるためです。

この不等式の標準形は次のとおりであり、これを用いてヘルダーの不等式を証明することができる。

2つ目の証明は、イェンセンの不等式を用いる。

さらに別の証明は、まずそれを証明することである。${\displaystyle b=1}$そして、得られた不等式を${\displaystyle a/b^{q}}$以下の証明は、ヘルダー共役指数がヤングの不等式をすべての非負の値に対して成立させる唯一のパラメータである理由も示しています。詳細は以下のとおりです。

ヤングの不等式は、次のように等価的に表すことができる。 $$\displaystyle a^{\alpha }b^{\beta }\leq \alpha a+\beta b,\qquad \,0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \ \alpha +\beta =1.}$$

これは対数関数の凹性にすぎない。等号が成り立つのは、以下の条件を満たす場合のみである。${\displaystyle a=b}$または${\displaystyle \{\alpha ,\beta \}=\{0,1\}.}$これは、加重AM-GM不等式からも導かれる。

ヤングの不等式の基本的なケースは、指数が の不等式です。${\displaystyle 2,}$$${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}},}$$ これはまた、いわゆるヤングの不等式を引き起こす。${\displaystyle \varepsilon }$（すべての${\displaystyle \varepsilon >0}$）ピーター・ポール不等式と呼ばれることもある。^{[ 5 ]}この名称は、第2項のより厳密な制御は第1項の制御をいくらか失う代償を伴うという事実を指している。つまり、「ピーターから奪ってポールに支払う」必要があるということである。 $${\displaystyle ab~\leq ~{\frac {a^{2}}{2\varepsilon }}+{\frac {\varepsilon b^{2}}{2}}.}$$

証明：指数付きヤングの不等式${\displaystyle 2}$特別なケース${\displaystyle p=q=2.}$しかし、もっと初歩的な証明が存在する。

まず、すべての実数の二乗はゼロまたは正であることに注目します。したがって、すべての実数のペアに対して${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$次のように書くことができます。 $${\displaystyle 0\leq (a-b)^{2}}$$ 右辺の二乗を計算してください。 $${\displaystyle 0\leq a^{2}-2ab+b^{2}}$$ 追加${\displaystyle 2ab}$双方にとって： $${\displaystyle 2ab\leq a^{2}+b^{2}}$$ 両辺を 2 で割ると、指数が のヤングの不等式が得られます。${\displaystyle 2:}$$${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}}$$

ヤングの不等式${\displaystyle \varepsilon }$代入すると次のようになる${\displaystyle a'}$そして${\displaystyle b'}$以下のように指数付きヤングの不等式に${\displaystyle 2}$: $${\displaystyle a'=a/{\sqrt {\varepsilon }},\;b'={\sqrt {\varepsilon }}b.}$$

ヤングの不等式${\displaystyle \varepsilon }$これは、2つの数を用いた算術平均と幾何平均の不等式の一例です。

T. Andoは、ローナー順序で順序付けられた複素行列に対するヤングの不等式の一般化を証明した。^{[ 6 ]}それは、任意のペアに対して、${\displaystyle A,B}$次数 の複素行列${\displaystyle n}$ユニタリ行列が存在する${\displaystyle U}$そのため $${\displaystyle U^{*}|AB^{*}|U\preceq {\tfrac {1}{p}}|A|^{p}+{\tfrac {1}{q}}|B|^{q},}$$ どこ${\displaystyle {}^{*}}$は行列の共役転置を表し、${\displaystyle |A|={\sqrt {A^{*}A}}.}$

不等式の標準バージョン^{[ 7 ] [ 8 ]については、}${\displaystyle f}$は、実数値で連続かつ厳密に増加する関数を表す。${\displaystyle [0,c]}$と${\displaystyle c>0}$そして${\displaystyle f(0)=0.}$させて${\displaystyle f^{-1}}$の逆関数を表す${\displaystyle f.}$そして、すべての${\displaystyle a\in [0,c]}$そして${\displaystyle b\in [0,f(c)],}$$${\displaystyle ab~\leq ~\int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx}$$ 等号は、${\displaystyle b=f(a).}$

と${\displaystyle f(x)=x^{p-1}}$そして${\displaystyle f^{-1}(y)=y^{q-1},}$これは共役ヘルダー指数の標準バージョンに帰着する。

詳細および一般化については、Mitroi & Niculescu の論文を参照してください。^{[ 9 ]}

実関数の凸共役を表すことで${\displaystyle f}$による${\displaystyle g,}$我々は得る $${\displaystyle ab~\leq ~f(a)+g(b).}$$ これは凸共役の定義から直ちに導かれる。凸関数の場合${\displaystyle f}$これはルジャンドル変換からも導かれる。

より一般的に言えば、${\displaystyle f}$実ベクトル空間上で定義される${\displaystyle X}$そしてその凸共役はで表されます。${\displaystyle f^{\star }}$（そして双対空間上で定義される）${\displaystyle X^{\star }}$）、 それから $${\displaystyle \langle u,v\rangle \leq f^{\star }(u)+f(v).}$$ どこ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{\star }\times X\to \mathbb {R} }$は双対ペアリングです。

• 凸共役- ルジャンドル変換の一般化 
• 逆関数の積分– 微積分で用いられる数学定理 
• ルジャンドル変換– 数学的変換 
• ヤングの畳み込み不等式– 2つの関数の畳み込みに関する数学的不等式 

• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC 8210342。​ 
• Bahouri, ハジェル州;ジャン・イヴ・シュマン;ダンチン、ラファエル(2011)。フーリエ解析と非線形偏微分方程式。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  343. ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー。ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC 704397128 . 

• PlanetMathの積に関するヤングの不等式。
• ワイススタイン、エリック W. 「ヤングの不等式」 . MathWorld .