完全還元性に関するワイルの定理

代数学において、ワイルの完全還元性に関する定理は、リー代数表現の理論（特に半単純リー代数 の表現理論）における基本的な結果である。を特性 0 の体上の半単純リー代数とする。定理は、 上の任意の有限次元加群は加群として半単純である（つまり、単純加群の直和である）ことを述べている。^[1]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ワイルの定理は、有限次元表現の包絡代数が次のように 半単純環であることを意味します (実際はそれと同等です) 。

有限次元リー代数表現 が与えられたとき、を によって生成されるVの自己準同型代数の結合的部分代数とします。環Aは の包絡代数と呼ばれます。 が半単純であれば、A は半単純です。^[2] (証明: A は有限次元代数なので、アルティン環です。特に、ヤコブソン根基J は冪零です。Vが単純であれば、が成り立ちます。一般に、J はVの各単純部分加群を消滅させます。特に、J はV を消滅させるため、Jはゼロです。) 逆に、Aが半単純であれば、V は半単純A加群です。つまり、加群として半単純です。(加群は自由加群の商であり、自由および商構成の下で「半単純」が保持されるため、半単純環上の加群は半単純であることに注意 ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle JV\subset V}$${\displaystyle JV=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

典型的な応用例を以下に示します。^[3]

証明: まず、が包含であるときの (i) と (ii) の特殊なケースを証明します。つまり、は の部分代数です。 を自己準同型 のジョルダン分解とします。ここで、 はにおける半単純および冪零自己準同型です。ここで、にもジョルダン分解があり、これは上記のジョルダン分解を尊重することが示せます (ジョルダン–シュヴァレー分解 を参照)。つまり、は の半単純および冪零部分です。は の多項式なので、 がわかります。したがって、 は の微分です。 は半単純なので、 となるようなの元を見つけることができます。についても同様に言えます。ここで、 Aを の包絡代数、つまりによって生成されるVの自己準同型代数の部分代数とします。前述のように、A には0 のヤコブソン根号があります。 なので、 はAの中心の冪零元であることがわかります。しかし、一般に、中心冪零点はヤコブソン根号に属します。したがって、また です。これは特殊なケースを証明します。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle x=S+N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S,N}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle s,n}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [y,S]=[y,s],y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [y,Nn]=0}$${\displaystyle Nn}$${\displaystyle N=n}$${\displaystyle S=s}$

一般に、が半単純（それぞれ冪零）であるとき、は半単純（それぞれ冪零）である。^{[説明が必要]}これにより、直ちに (i) と (ii) が得られる。${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$${\displaystyle \square}$

ワイルの最初の証明（複素半単純リー代数に対する）は解析的な性質のものであり、有名なユニタリアントリックが使われていました。具体的には、すべての複素半単純リー代数は単連結コンパクトリー群のリー代数の複素化であることを示すことができます。^[4]（たとえば、 の場合、 となります。）ベクトル空間上のの表現が与えられた場合、まず のリー代数に制限することができます。すると、は単連結 であるため、^[5]関連する の表現が存在します。上の積分はの内積を生成し、これはユニタリです。^[6]の完全還元可能性はすぐにわかり、 の元の表現も完全に還元可能であることが基本的な議論によって示されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle K=\mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

を特性 0 の体上のリー代数の有限次元表現とする。定理はホワイトヘッドの補題から容易に導かれる。ホワイトヘッドの補題は が射影的であることを述べている。ここで線型写像は のとき微分である。証明は本質的にホワイトヘッドによるものである。^[7]${\displaystyle (\pi,V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to V}$${\displaystyle f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)}$

を部分表現とする。およびとなるすべての線型写像からなるベクトル部分空間を考える。これはに対して次式で与えられる - 加群の構造を持つ。 ${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle L_{W}\subset \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle t:V\to V}$${\displaystyle t(V)\subset W}$${\displaystyle t(W)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}}$

${\displaystyle x\cdot t=[\pi (x),t]}$。

ここで、Wへの射影をいくつか選び、によって与えられる を考えます。は微分なので、ホワイトヘッドの補題により、について と書くことができます。すると が得られ、つまり は-線型になります。また、が を消去するので、は となるべき等性になります。すると、 の核は の補完表現になります。${\displaystyle p:V\to V}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}}$${\displaystyle f(x)=[p,\pi (x)]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=x\cdot t}$${\displaystyle t\in L_{W}}$${\displaystyle [\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle p+t}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle p+t}$${\displaystyle (p+t)(V)=W}$${\displaystyle p+t}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \square }$

ホワイトヘッドの補題は、典型的には普遍包絡代数の2次カシミール元によって証明される^[8]が、ホワイトヘッドの補題の代わりにカシミール元を直接使用する定理の証明もある。

2次カシミール元は普遍包絡代数の中心にあるので、シューアの補題は、最高重み を持つの既約表現において が恒等式の倍数として作用することを示しています。重要な点は、表現が自明でない場合は常に がゼロでないことを証明することです。これは、一般的な議論^[9]または の明示的な式によって行うことができます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle c_{\lambda }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle c_{\lambda }}$${\displaystyle c_{\lambda }}$

完全約定の非常に特殊なケース、つまり、表現が余次元 1 の非自明で既約な不変部分空間を含む場合を考えてみましょう。が への作用を表すとします。は既約ではないので、は必ずしも単位元の倍数ではありませんが、 に対して自己絡み合い演算子です。の への制限は、単位元の非ゼロ倍数です。 しかし、商は の1 次元の、したがって自明な表現なので、の商への作用は自明です。 すると、 は非ゼロの核を持つ必要があることが容易にわかります。また、 は自己絡み合いであるため、核は不変部分空間です。 核は 1 次元の不変部分空間であり、 との交差はゼロです。 したがって、 はの不変補数であり、 は既約部分空間の直和として分解されます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle C_{V}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle C_{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle C_{V}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V/W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{V}}$${\displaystyle C_{V}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathrm {ker} (V_{C})}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})}$。

これは望ましい結果の非常に特殊なケースのみを確立しますが、このステップは実際には一般的な議論において重要なステップです。

この定理は、単純モジュールを最大サブモジュールによるVermaモジュールの商として特徴付けるVermaモジュールの理論から演繹することができます。^[10]このアプローチには、（代数と表現に関する）有限次元仮定を弱めるために使用できるという利点があります。

を、特性 0 の代数的に閉じた体上の有限次元半単純リー代数の有限次元表現とします。を、カルタン部分代数と正の根の選択によって決定されるボレル部分代数とします。 とします。 は- 加群であるため、- 重み空間分解を持ちます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}}$${\displaystyle V^{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}}$

ここで。各 に対して、とによって生成される - サブモジュール、およびによって生成される - サブモジュールを選択します。以下を主張します。 と仮定します。リーの定理により、には - 重みベクトルが存在するため、シュヴァレー生成子のうちのいくつかに対してとなる- 重みベクトルを見つけることができます。ここで、は重み を持ちます。は部分的に順序付けされているため、となる が存在します。つまり、 です。しかし、 は両方とも原始重みであるため、これは矛盾です(原始重みは比較できないことが知られています。^{[説明が必要]} )。同様に、それぞれは- モジュールとして単純です。実際、 が単純でない場合、 の一部に対して、には最高重みベクトルではない非ゼロベクトルが含まれます。これもまた矛盾です。^{[説明が必要]}${\displaystyle L\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \lambda \in L}$${\displaystyle 0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }}$${\displaystyle V^{\lambda }\subset V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle v_{\lambda }}$${\displaystyle V'\subset V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{0}}$${\displaystyle V=V'}$${\displaystyle V\neq V'}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle V/V'}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle 0\neq e_{i}(v)\in V'}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{i}(v)}$${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \lambda \in L}$${\displaystyle \lambda \geq \mu +\alpha _{i}}$${\displaystyle \lambda >\mu }$${\displaystyle \lambda ,\mu }$${\displaystyle V^{\lambda }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mu <\lambda }$${\displaystyle V_{\mu }^{0}}$ ${\displaystyle \square }$

ホモロジー代数の簡単な証明もあります。Weibel のホモロジー代数の本を参照してください。

• Akhil Mathew によるブログ投稿

• ホール、ブライアン C. (2015)。リー群、リー代数、表現: 初等入門。数学の大学院テキスト。第 222 巻 (第 2 版)。Springer。ISBN 978-3319134666。
• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1973)。リー代数と表現理論入門。数学大学院テキスト。第 9 巻 (第 2 刷、改訂版)。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-90053-5。
• ジェイコブソン、ネイサン（1979）。リー代数。ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-63832-4。1962 年のオリジナルの再出版。
• Kac, Victor (1990)。無限次元リー代数（第3版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46693-8。
• ナップ、アンソニー W. (2002)、リー群入門を超えて、数学の進歩、第 140 巻 (第 2 版)、ボストン: バークハウザー、ISBN 0-8176-4259-5
• ワイベル、チャールズ A. (1995)。ホモロジー代数入門。ケンブリッジ大学出版局。