ヴォイタの予想

数学において、ヴォイタ予想は、ポール・ヴォイタ (1987)が数体上の代数多様体上の点の高さについて提唱した予想である。この予想は、複素解析におけるディオファントス近似とネヴァンリンナ理論(値分布理論)の類似性に触発されたものである。この予想は、ディオファントス近似、ディオファントス方程式、数論幾何学、数理論理学における他の多くの予想を暗示している。

を数体とし、を非特異代数多様体とし、を最悪でも正規交差を伴う上の有効因子とし、を 上の十分な因子とし、を 上の標準因子とします。Weil の高さ関数と を選択し、上の各絶対値に対して、局所高さ関数とします。の絶対値の有限集合を固定し、 とします。すると、上記のすべての選択に応じて、 定数で空でないザリスキ開集合 が存在し、${\displaystyle F}$${\displaystyle X/F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h_{H}}$${\displaystyle h_{K_{X}}}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda_{D,v}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C\quad {\hbox{すべての }}P\in U(F) に対して。}$

例:

1. とします。すると となり、Vojta の予想によれば、すべての に対してとなります。${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}}$${\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H}$${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}$${\displaystyle P\in U(F)}$
2. を、例えばアーベル多様体、K3 曲面、またはカラビ・ヤウ多様体などの自明な標準バンドルを持つ多様体とします。Vojta の予想は、が有効十分正規交差因子である場合、アフィン多様体上の -積分点はザリスキ稠密ではないことを予測します。アーベル多様体の場合、これはLangによって予想され、Faltings (1991) によって証明されました。${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus D}$
3. を一般型の多様体、つまり の空でないザリスキ開部分集合上で が十分であるとします。このとき を取ると、Vojta の予想はが においてザリスキ稠密ではないことを予測します。一般型 の多様体に関するこの最後の命題は、ボンビエリ-ラング予想です。${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S=\emptyset }$${\displaystyle X(F)}$${\displaystyle X}$

には がにわたって変化することが許される一般化があり、体の拡大 の判別式に依存する上限にさらに項があります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle X({\overline {F}})}$${\displaystyle F(P)/F}$

非アルキメデス的局所高さを、重複度が無視される局所高さである切り捨てられた局所高さに置き換える一般化があります。Vojta 予想のこれらのバージョンは、 ABC 予想の自然な高次元類似物を提供します。 ${\displaystyle \lambda_{D,v}}$

• Vojta, Paul (1987).ディオファントス近似と値分布理論. 数学講義ノート. 第1239巻. ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0072989. ISBN 978-3-540-17551-3. MR  0883451. Zbl  0609.14011.
• Faltings, Gerd (1991). 「アーベル多様体上のディオファントス近似」Annals of Mathematics . 123 (3): 549–576. doi :10.2307/2944319. MR  1109353.