相互作用（統計）

相互作用が生じる単純な例として、分散分析（ANOVA）を用いて分析する2因子実験が挙げられます。2つの二値因子AとBがあるとします。例えば、これらの因子は、患者に2つの治療法のうちどちらかが投与されたかどうかを示し、治療法は単独で、または組み合わせて適用されたとします。この場合、各患者の平均治療反応（例えば、治療後の症状レベル）を、投与された治療法の組み合わせの関数として考えることができます。次の表は、考えられる状況の一例を示しています。

この例では、2つの治療法の間に相互作用はなく、その効果は加算的です。その理由は、治療法Aを受けた被験者と受けていない被験者の平均反応の差は、治療法Bが実施されるかどうか（-2 = 4 - 6）に関わらず、-2だからです（-2 = 5 - 7 ）。治療法Bを受けた被験者と受けていない被験者の平均反応の差は、治療法Aが実施されるかどうかに関わらず、同じであることに注意してください（ 7 - 6 = 5 - 4 ）。              

対照的に、以下の平均応答が観察された場合

すると、治療法間に相互作用が生じ、その効果は加算的ではないことがわかります。数値が大きいほど反応が良いと仮定すると、この状況では、治療Bは、被験者が治療Aを受けていない場合は平均的に有効ですが、治療Aと併用すると平均的に有害になります。治療Aは、治療Bが投与されるかどうかに関わらず平均的に有効ですが、治療Bと併用するよりも単独で投与した方が、絶対的にも相対的にも有効です。この特定の例についても、次のセクションで同様の観察結果を示します。

多くのアプリケーションでは、質的相互作用と量的相互作用を区別することが有用です。^{[ 4 ]} AとB の間の量的相互作用とは、 Bの効果の大きさがAの値に依存するが、 Bの効果の方向はすべてのAに対して一定である状況を指します。AとBの間の質的相互作用とは、各変数の効果の大きさと方向の両方が他の変数の値に依存する可能性がある状況を指します。

左下の平均値表は、量的相互作用を示しています。治療Aは、Bが投与された場合と投与されなかった場合の両方で有益ですが、 Bが投与されない場合（つまり、Aが単独で投与された場合）の方が有益です。右下の平均値表は、質的相互作用を示しています。A は、 Bが投与された場合は有害ですが、 Bが投与されない場合は有益です。Aが投与されるかどうかに基づいてBの有益性を検討した場合でも、同じ解釈が成り立つことに注意してください。

質的相互作用と量的相互作用の区別は、変数を考慮する順序によって決まります（対照的に、加法性の性質は変数の順序に左右されません）。次の表では、治療Aの効果に注目すると、量的相互作用が存在します。つまり、治療Bが既に実施されているかどうかに関わらず、治療Aを施すと平均的に結果が改善されます（ただし、治療Aを単独で実施した場合の方が効果は大きくなります）。しかし、治療Bの効果に注目すると、質的相互作用が存在します。つまり、既に治療Aを受けている被験者に治療Bを施すと（平均的に）状況が悪化するのに対し、治療 A を受けていない被験者に治療 B を施すと平均的に結果が改善されます。

最も単純な形では、治療単位の加法性の仮定は、実験単位iが治療jを受けたときの観測応答y _ijは、 y _ij = y _i + t _jの和として表すことができると述べています。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}単位治療加法性の仮定は、すべての治療が各実験単位に対してまったく同じ加法効果を持つことを意味します。任意の実験単位は 1 つの治療しか受けられないため、単位治療加法性の仮定は、Coxと Kempthorne によれば、直接反証できない仮説です。    

しかし、治療単位の加法性の多くの帰結は反証可能である。ランダム化実験において、治療加法性の仮定は、すべての治療において分散が一定であることを意味する。したがって、対偶により、単位治療加法性の必要条件は分散が一定であることである。

単位処理加法性の性質はスケールの変更に対して不変ではないため、統計学者は単位処理加法性を実現するために変換を用いることが多い。応答変数がパラメトリックな確率分布族に従うと予想される場合、統計学者は（実験または観察研究のプロトコルで）分散を安定させるために応答を変換するように指定することがある。^{[ 8 ]}多くの場合、統計学者は乗法モデルに従うと考えられる応答に対数変換を適用するように指定することがある。^{[ 6 ] [ 9 ]}

単位処理加法性の仮定は、実験計画法においてケンプソーンとコックスによって提唱された。ケンプソーンによる単位処理加法性とランダム化の利用は、有限母集団調査標本の設計に基づく分析と類似している。

近年、ドナルド・ルービンの反事実的思考を用いる用語が一般的になっている。ある属性yに関して、2 つのグループの人々を比較するとしよう。例えば、最初のグループは、ある疾患に対して標準的な治療を受けている人々で構成され、2 番目のグループは、効果が不明な新しい治療を受けている人々で構成されているとする。反事実的思考の観点から、ある個人が最初のグループに属している場合は属性の値がyであり、その個人が 2 番目のグループに属している場合は属性の値がτ ( y ) であると考えることができる。「単位治療加法性」の仮定は、τ ( y ) = τ、つまり「治療効果」はyに依存しないということである。特定の個人についてyと τ ( y )の両方を観察することはできないため、これは個人レベルでは検証できない。しかし、単位治療加法性とは、_{個人をグループ 1 と 2}に割り当てる_ことがyに影響を与える他 のすべての要因とは独立している限り (つまり、交絡因子が存在しない)、2 つのグループの累積分布関数 F 1 と F 2 が F 2 ( y ) = F 1 ( y − τ ) を満たすことを意味します。単位治療加法性_の欠如は、治療割り当て₍例えば、グループ1または 2 への割り当て) とベースライン、つまり未治療のyの値との間の相互作用の一形態と見なすことができます。      

相互作用する変数が実数ではなくカテゴリ変数である場合、その研究は分散分析の問題として扱われることがあります。たとえば、ある集団のメンバーは宗教と職業によって分類されることがあります。個人の宗教と職業のみに基づいてその人の身長を予測したい場合、単純な加法モデル、つまり相互作用のないモデルでは、全体の平均身長に特定の宗教に対する調整値と特定の職業に対する調整値を加えることになります。加法モデルとは異なり、相互作用のあるモデルでは、その宗教と職業の間の「相互作用」に対する調整値をさらに加えることができます。この例から、相互作用という言葉がやや不適切な表現であるのではないかと疑う人もいるかもしれません。

統計的には、カテゴリ変数間の相互作用の存在は、一般的に分散分析（ANOVA）の一種を使用してテストされます。ただし、1つ以上の変数が連続的な性質を持つ場合は、通常、調整多重回帰を使用してテストされます。^{[ 10 ]}これは、調整変数が他の2つの変数間の関係の強さに影響を与える変数であることから、このように呼ばれています。

田口玄一は^{[ 11 ]} 、応答変数と変換を適切に選択することでシステムから相互作用を排除できると主張した。しかし、ジョージ・ボックスらは、これは一般的には当てはまらないと主張している^{[ 12 ]。}

n個の予測変数がある場合、定数、すべての予測変数、および考えられるすべての相互作用を含む線形モデルの項数は${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}+\cdots +{\tbinom {n}{n}}=2^{n}}$この量は指数関数的に増加するため、すぐに実用上不可能なほど大きくなります。モデルのサイズを制限する1つの方法は、相互作用の次数を制限することです。たとえば、2方向の相互作用のみを許容する場合、項の数は${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}=1+{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}}$以下の表は、予測変数の数と交互作用の最大次数ごとに、項の数を示しています。

相互作用効果をモデル化する最も一般的なアプローチは回帰分析であり、上記で示した基本的なバージョンから始まる。

${\displaystyle Y=c+ax_{1}+bx_{2}+d(x_{1}\times x_{2})+{\text{error}}\,}$

ここで相互作用項${\displaystyle (x_{1}\times x_{2})}$これは、2つ（またはそれ以上）の変数を乗算することによって明示的に作成することも、Stataなどの最新の統計パッケージで階乗表記を使用して暗黙的に作成することもできます。コンポーネントx ₁とx _2は、任意の組み合わせで測定値または{0,1}ダミー変数である可能性があります。ダミー変数と測定変数の乗算を含む相互作用は、グループ0と1の間の傾きの差を推定および検定するため、傾きダミー変数と呼ばれます^{[ 13 ] 。}

交互作用に測定変数を使用する場合、変数の平均（またはその他の妥当な中心値）をゼロに設定した中心化バージョンを使用することが望ましい場合が多い。中心化により、交互作用項と主効果間の多重共線性が低減されるため、交互作用モデルの主効果がより解釈しやすくなる。 ^{[ 14 ]}例えば、上記の式の係数aは、 x ₂がゼロの場合のx ₁の効果を表す。

回帰分析による相互作用モデリングは、追加の予測変数や、通常の最小二乗法以外の多くの代替仕様や推定戦略に対応できるため、非常に汎用的です。ロバストモデル、分位点モデル、混合効果モデル（マルチレベルモデル）などがその例で、カテゴリ変数、順序変数、計数変数、その他の限定された従属変数の幅広い範囲を包含する一般化線形モデルもその一つです。グラフは、調査データの確率加重ロジット回帰分析による教育*政治の相互作用を示しています。 ^{[ 15 ]}

さまざまな気温（華氏）における、異なる種の体温を調べた研究を考えてみましょう。データは以下の表に示されています。

相互作用プロットでは、x軸として気温または種のいずれかを使用できます。2番目の要因は、相互作用プロット上の線で表されます。

気温と種という2つの要因が反応（体温）に及ぼす影響には相互作用が存在する。なぜなら、気温の影響は種によって異なるからである。グラフ上の線が平行でないことから、この相互作用が示唆される。

2つ目の例として、脳卒中の重症度と薬剤の患者生存率への有効性との相互作用に関する臨床試験を考えてみましょう。データは以下の表に示されています。

相互作用プロットでは、軽度および中等度の脳卒中グループの線は平行であり、これは薬剤が両グループで同じ効果を発揮し、相互作用がないことを示しています。重度の脳卒中グループの線は他の線と平行ではなく、これは脳卒中の重症度と薬剤の生存効果との間に相互作用があることを示しています。重度の脳卒中グループの線は水平であり、これはこれらの患者において、薬剤治療とプラセボ治療の間で生存率に差がないことを示しています。対照的に、軽度および中等度の脳卒中グループの線は右下がりになっており、これはこれらの患者において、プラセボグループの生存率が薬剤治療グループよりも低いことを示しています。

焼き温度と焼き時間は、良質なクッキーの出来上がりに影響するのでしょうか？以下の表は、8バッチのクッキーのデータを示しています。

データによると、良質なクッキーの出来上がりは、（i）オーブンの温度が高く、焼き時間が短い場合、または（ii）オーブンの温度が低く、焼き時間が長い場合に最も良いことが示されています。クッキーを高温で長時間オーブンに入れておくと、焦げたクッキーができ、出来上がり量も少なくなります。

グラフとデータから、線が平行ではないことが明らかであり、これは相互作用が存在することを示しています。これは分散分析（ANOVA）を用いて検証できます。最初のANOVAモデルには相互作用項は含まれません。つまり、最初のANOVAモデルは相互作用の可能性を無視します。2番目のANOVAモデルには相互作用項が含まれます。つまり、2番目のANOVAモデルは相互作用に関する仮説検定を明示的に実行します。