主効果

実験計画法や分散分析において、主効果とは、独立変数が従属変数に及ぼす影響を、他の独立変数の水準全体にわたって平均化したものを指します。この用語は、要因計画法や回帰モデルにおいて、主効果と交互作用効果を区別するために頻繁に用いられます。

要因計画法と比較すると、分散分析では、主効果検定は帰無仮説 H 0 などの期待される仮説を検定します。主_効果の仮説検定を実行すると、異なる処理の効果の証拠があるかどうかを検定します。ただし、主効果検定は非特異的であり、特定の平均ペアワイズ比較（単純効果）の局所化はできません。主効果検定は、全体として特定の要因に違いをもたらす何かがあるかどうかを調べるだけです。言い換えれば、これは単一要因のレベル間の差を調べる検定です（他の要因や複数の要因の平均化）。主効果は基本的に要因の全体的な効果です。

他の要因の影響のすべてのレベルで平均化された要因は、主効果（または限界効果）と呼ばれます。他の要因のすべてのレベルに対するレベル間の要因のコントラストが主効果です。要因のすべてのレベルの限界平均の差が、その要因に対する応答変数の主効果です。^{[ 1 ]}主効果は、実験でテストされた主要な独立変数または要因です。^{[ 2 ]}主効果は、実験内の他のパラメーターに関係なく、要因または独立変数の特定の効果です。^{[ 3 ]}実験計画では、要因と呼ばれますが、回帰分析では、独立変数と呼ばれます。

要因計画では、要因AとBがそれぞれ2つの水準を持つため、2つの要因AとBの主効果を計算できます。Aの主効果は次のように表されます。

${\displaystyle A={1 \over 2n}[ab+ab-1]}$

Bの主な効果は次のように表される。

${\displaystyle B={1 \over 2n}[ab+ba-1]}$

ここで、n は反復の総数です。因子レベル 1 は低レベル、レベル 2 は高レベルを表します。文字「a」は A のレベル 2 と B のレベル 1 の因子の組み合わせを表し、「b」は A のレベル 1 と B のレベル 2 の因子の組み合わせを表します。「ab」は両方の因子がレベル 2 であることを表します。最後に、1 は両方の因子がレベル 1 に設定されている場合を表します。^{[ 2 ]}

因子Aが3つの水準、因子Bが2つの水準を持ち、反復回数が1回のみの2要因要因計画を考えます。処理は6つあり、自由度は5です。この例では、2つの帰無仮説があります。因子Aに関する最初の帰無仮説は次のとおりです。${\displaystyle H_{0}:\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0}$そして因子Bの2つ目は次のとおりです。${\displaystyle H_{0}:\beta _{1}=\beta _{2}=0}$[ ^{4 ]因子Aの主効果は自由度2で計算できます。この変動は、} _{SS A}で表される平方和で要約されます。同様に、因子Bの変動は自由度1でSS _Bとして計算できます。列iの応答の平均の期待値は次のとおりです。${\displaystyle \mu +\beta _{j}}$行 j の応答の平均の期待値は${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$ここで、iは因子Aにおける因子のレベルに対応し、jは因子Bにおける因子のレベルに対応する。$\displaystyle \alpha _{i}}$そして$\displaystyle \beta _{j}}$は主効果です。SS _Aと SS _Bは主効果の平方和です。残りの 2 つの自由度は、2 つの因子の相互作用から生じる変動を記述するために使用でき、SS _ABと表記できます。^{[ 4 ]}表は、主効果 (ここで${\displaystyle x_{ij}}$は、因子Bのi番目のレベルと因子Aのj番目のレベルの観測値です。

取ろう$22$2 つのファストフードレストランのフライドチキンの味のランキングをテストする要因計画 (2 つの要因の 2 つのレベル)。味覚テスターは、要因 X:「辛さ」と要因 Y:「カリカリ感」について、チキンを 1 ～ 10 (最も美味しい) の段階でランク付けします。レベル X1 は「辛くない」チキン、レベル X2 は「辛い」チキンです。レベル Y1 は「カリカリしていない」チキン、レベル Y2 は「カリカリしている」チキンです。5 人 (5 回繰り返し) が 4 種類のチキンすべてを試食し、それぞれに 1 ～ 10 のランクを付けたとします。関心のある仮説は次のとおりです。要因 X は:${\displaystyle H_{0}:X_{1}=X_{2}=0}$そして因子Yについては次のようになります。${\displaystyle H_{0}:Y_{1}=Y_{2}=0}$仮説的な結果の表を以下に示します。

Y1（カリカリしていない状態）におけるX（辛さ）の「主効果」は、次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{1}]}{n}}}$ ここで、nは反復回数である。同様に、Y2（カリカリ）におけるXの「主効果」は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]-[X_{1}Y_{2}]}{n}}}$これによって、これら2つの単純平均を取って因子Xの全体的な主効果を決定することができ、その結果は上記のようになる。

式は、ここに以下のように記述されます。

${\displaystyle A=X={1 \over 2n}[ab+ab-1]}$=${\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]+[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{2}]-[X_{1}Y_{1}]}{2n}}}$

同様に、Y の全体的な主効果は次のようになります。^{[ 5 ]}

${\displaystyle B=Y={1 \over 2n}[ab+ba-1]}$=${\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]+[X_{1}Y_{2}]-[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{1}]}{2n}}}$

鶏肉の味覚実験では、以下のような主効果が得られた。

${\displaystyle X:{\frac {[25]-[21]+[41]-[23]}{2*5}}=2.2}$

${\displaystyle Y:{\frac {[41]-[25]+[23]-[21]}{2*5}}=1.8}$

• McBurney, DM、White, TL (2004).研究方法. CA: Wadsworth Learning.
• ムーク、ダグラス・G. (2001).心理学研究：方法の背後にある考え方. ニューヨーク：WWノートン＆カンパニー.