空虚な真実

数学と論理学において、空虚な真理とは、前提が満たされないために真となる条件文または普遍 文（条件文に変換できる普遍文）である。^[1] 文は実際には何も言っていないため、空虚に真であると言われることがある。^[2]たとえば、「部屋にある携帯電話はすべてオフになっている」という文は、部屋に携帯電話がない場合は真となる。この場合、「部屋にある携帯電話はすべてオンになっている」という文も空虚に真であり、この2つを結合した「部屋にある携帯電話はすべてオンとオフになっている」も空虚に真であり、そうでなければ矛盾しており偽となる。

より正式には、比較的明確に定義された用法は、誤った先行詞を伴う条件文（または普遍条件文）を指します。^{[1] [3] [2] [4]}このような文の一例は、「東京がスペインにある場合、エッフェル塔はボリビアにある」です。

このようなステートメントは、前提が偽であるという事実により、ステートメントを使用して結果の真理値について何かを推論するのを妨げるため、空虚な真実と見なされます。本質的に、物質的条件に基づく条件ステートメントは、結論または結果(例では「エッフェル塔はボリビアにあります」)が真であるか偽であるかに関係なく、前提 (例では「東京はスペインにあります」) が偽である場合に真になります。これは、物質的条件がそのように定義されているためです。

日常会話でよくある例としては、 「地獄が凍りついたら…」や「豚が空を飛べるようになったら…」など、あり得ないことを表す慣用句として使われる条件句があり、これは与えられた（あり得ない）条件が満たされるまでは話者は何らかの（通常は誤った、または不合理な）命題を受け入れないことを示しています。

純粋数学では、空虚に真である命題は、それ自体では一般に興味深いものではないが、数学的帰納法による証明の基本ケースとして頻繁に現れる。^{[5]この概念は}、純粋数学だけでなく、古典論理を使用する他のあらゆる分野でも関連性がある。

数学以外では、空虚な真実の形の陳述は、論理的には有効であるものの、それでも誤解を招く可能性があります。そのような陳述は、実際には存在しない限定されたオブジェクトについて合理的な主張をします。たとえば、子供が親に「私は自分の皿の上の野菜を全部食べた」と正直に言うかもしれませんが、子供の皿には最初から野菜がありませんでした。この場合、親は子供が実際に野菜を食べたと信じることができますが、それは真実ではありません。

ある文が「空虚に真実」であるとは、その文が、前提が偽であることがわかっている物質的条件文に似ている場合を言う。 ^{[1] [3] [2]}${\displaystyle S}$${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$

適切な変換によってこの基本形式（物質的条件付き）に還元できる空虚に真のステートメントには、次の普遍量化されたステートメントが含まれます。

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)}$、ここでは次のように述べます。^[4]${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$、ここでセットは 空です。 ${\displaystyle A}$
  • この論理形式は、前提を簡単に識別できるように、物質的条件形式に変換できます。上記の例「部屋のすべての携帯電話はオフになっています」は、正式には と記述できます。ここで は部屋のすべての携帯電話の集合であり、は「オフになっています」です。これは、 が部屋のすべてのもの (部屋に携帯電話がある場合は携帯電話も含む) の集合であり、前提が「 は携帯電話です」、結果が「 オフになっています」である物質的条件文に記述できます。${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \forall \xi :Q(\xi )}$ここで、シンボルは、代表値を持たない型に制限されます。${\displaystyle \xi}$

空虚な真理は、古典論理において2 つの真理値とともに最も一般的に現れます。しかし、空虚な真理は、例えば直観主義論理においても、上記と同じ状況で現れることがあります。実際、 が偽である場合、 は物質的条件 を使用するどの論理においても空虚な真理をもたらします。が必然的な偽である場合、 は厳密な条件のもとでも空虚な真理をもたらします。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P\Rightarrow Q}$${\displaystyle P}$

関連性論理などの他の非古典的な論理では、代替の条件文（反事実条件文の場合など）を使用して空虚な真実を回避しようとする場合があります。

多くのプログラミング環境には、アイテムのコレクション内のすべてのアイテムが何らかの述語を満たすかどうかを照会するメカニズムがあります。このようなクエリは、空のコレクションに対して常に true と評価されるのが一般的です。例:

• JavaScriptでは、配列メソッドはevery配列内の各要素に対して提供されたコールバック関数を1回実行し、コールバック関数がfalseを返す要素が見つかった場合にのみ停止します。特に、every空の配列でメソッドを呼び出すと、どのような条件でもtrueが返されます。^[6]
• Pythonでは、組み込み関数は、配列のすべての要素が であるか、配列の長さが0の場合にのみall()を返します。次の例をご覧ください。^{[7]これをより明確に表現するには、}どの要素も False でない場合に True を返すと言うことです。TrueTrueall([1,1])==True; all([1,1,0])==False; all([])==Trueall()
• Rustでは、Iterator::all関数はイテレータと述語を受け入れ、true述語がtrueイテレータによって生成されたすべての項目を返すか、イテレータが項目を生成しない場合にのみ戻ります。^[8]
• SQLでは、関数はNULLをANY_VALUE空虚な真実と関連付けるRDBMSの動作によって異なる場合があります。一部のRDBMSでは、値がない場合でも返される場合があります。^[9]一部のDBMSでは、または句での使用が許可されていない場合があります。nullnullfilter(…)over(…)

以下の例は、数学から 1 つ、自然言語から 1 つと、空虚な真実の概念を示しています。

• 「任意の整数xについて、x > 5ならばx > 3である。」^[10] – この文は空虚ではない形で真である（実際に 5 より大きい整数もあるため）が、その含意のいくつかは空虚な形でしか真ではない。例えば、xが整数 2 のとき、この文は「 2 > 5ならば2 > 3である」という空虚な真理を意味する。
• 「私の子供はみんなヤギです」というのは、子供のいない人が言うと意味のない真実です。同様に、「私の子供は誰もヤギではありません」も同じ人が言うと意味のない真実です。

• 明確な説明
• ド・モルガンの法則– 具体的には、反例が存在しない場合に限り普遍的な命題が真であるという法則:${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x)}$
• 空の合計と空積
• 空の関数
• 物質的含意のパラドックス、特に爆発の原理
• 前提、二重疑問
• 情勢（哲学）
• トートロジー（論理） - 実質的な情報を伝達できない別のタイプの真実の陳述
• 自明性（数学）と退化（数学）