乱流モデリング

流体力学において、乱流モデリングとは、乱流の影響を予測するための数学モデルの構築と使用を指します。乱流は、ほとんどの現実のシナリオでよく見られます。何十年にもわたる研究にもかかわらず、これらの乱流の進化を予測する解析理論は存在しません。乱流を支配する方程式は、単純な流れの場合のみ直接解くことができます。ほとんどの現実の乱流の場合、CFD シミュレーションでは乱流モデルを使用して乱流の進化を予測します。これらの乱流モデルは、乱流の統計的進化を予測する簡略化された構成方程式です。^[1]

ナビエ・ストークス方程式は、流体の流れの速度と圧力を支配します。乱流では、これらの各量は平均部分と変動部分に分解できます。方程式を平均化すると、平均流を支配しているレイノルズ平均ナビエ・ストークス (RANS) 方程式が得られます。ただし、ナビエ・ストークス方程式の非線形性により、対流加速からの非線形項として、速度変動が依然として RANS 方程式に現れます。この項はレイノルズ応力、として知られています。^[2]平均流に対するその影響は、圧力や粘性などの応力項の影響に似ています。 ${\displaystyle -\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}}$${\displaystyle R_{ij}}$

平均速度と圧力のみを含む方程式を得るには、レイノルズ応力項を平均流量の関数としてモデル化し、速度の変動部分への参照をすべて削除して、RANS方程式を閉じる必要があります。これが閉じる問題です。 ${\displaystyle R_{ij}}$

ジョセフ・ヴァレンティン・ブシネスクは渦粘性の概念を導入することで、初めてこの閉包問題に取り組みました^[3]。1877年にブシネスクは、乱流応力を平均流に関連付けて方程式系を閉じることを提案しました。ここで、ブシネスク仮説はレイノルズ応力項をモデル化するために適用されています。新しい比例定数である（運動学的）乱流渦粘性が導入されていることに注意してください。このタイプのモデルは、渦粘性モデル（EVM）として知られています。 ${\displaystyle \nu_{t}>0}$

$${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {v_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {v_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}}$$ これは次の ように簡単に書くことができる 。$${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=2\nu _{t}S_{ij}-{\tfrac {2}{3} }k\デルタ_{ij}}$$

• ${\displaystyle S_{ij}}$平均ひずみ速度テンソル
• ${\displaystyle \nu _{t}}$（運動学的）乱流渦粘性である
• ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}}$乱流の運動エネルギーは
• クロネッカーのデルタです。${\displaystyle \delta _{ij}}$

このモデルでは、分子粘性に渦粘性を加えることで、追加の乱流応力が与えられます。 ^[4]これは単純な一定の渦粘性です（軸対称ジェット、2次元ジェット、混合層などの一部の自由せん断流に適しています）。

ブシネスク仮説は、当時ブシネスク自身が明示的に述べていなかったが、実質的にはレイノルズ応力テンソルが平均流のひずみテンソルと一致するという仮定から成り立っている（つまり、乱流によるせん断応力は平均流によって生じるせん断応力と同じ方向に作用する）。その後、この仮説はほとんどの専門家が想定するよりもはるかに精度が低いことが判明した。^[5]それでも、ブシネスク仮説を採用した乱流モデルは大きな実用的価値を示している。せん断層が明確に定義されているケースでは、これは流れ方向のせん断成分が優勢なためである可能性が高く、そのため流れ法線成分の相対誤差は絶対値で無視できるほど小さい。さらに、ほとんどの渦粘性乱流モデルには測定値に対して較正された係数が含まれており、そのため較正に使用されたものと同様のタイプの流れ場に対して全体的にかなり正確な結果が得られる。

その後、ルートヴィヒ・プラントルは境界層の概念とともに混合長という概念^[6]を導入した。壁で囲まれた乱流の場合、渦粘性は壁からの距離に応じて変化するため、「混合長」という概念が追加された。最も単純な壁で囲まれた流れモデルでは、渦粘性は次の式で与えられる。 ここで $${\displaystyle \nu _{t}=\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|l_{m}^{2}}$$

• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$は、壁法線方向（y）に対する流れ方向速度（u）の偏微分である。
• ${\displaystyle l_{m}}$混合長さです。

この単純なモデルは、「壁の法則」の基礎であり、圧力勾配が小さく、壁で囲まれ、付着した（分離していない）流れ場に対する驚くほど正確なモデルです。

より一般的な乱流モデルは時間の経過とともに進化しており、現代の乱流モデルのほとんどはナビエ・ストークス方程式に似た場の方程式によって与えられます。

ジョセフ・スマゴリンスキーは、速度場の局所微分と局所グリッドサイズに基づいて、 ラージエディシミュレーションモデルにおける渦粘性の式を最初に提案した人物である^{[7] 。}

${\displaystyle \nu _{t}=\Delta x\Delta y{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}}}}$

ラージ エディ シミュレーションのコンテキストでは、乱流モデリングとは、フィルタリングされた速度場の特性に基づいてサブグリッド スケールの応力をパラメータ化する必要があることを意味します。この分野はサブグリッド スケール モデリングと呼ばれます。

ブシネスク仮説は、Spalart–Allmaras (S–A)、k –ε ( k –イプシロン)、およびk –ω ( k –オメガ) モデルで採用されており、乱流粘性の計算コストが比較的低く抑えられます。S–A モデルでは、乱流粘性輸送をモデル化するために 1 つの追加方程式のみを使用しますが、k –ε モデルとk –ω モデルでは 2 つの方程式を使用します。 ${\displaystyle \nu _{t}}$

以下は、現代のエンジニアリング アプリケーションで一般的に使用されているモデルの簡単な概要です。

• Absi, R. (2019)「完全に発達した乱流チャネル流における渦粘性および速度プロファイル」Fluid Dyn (2019) 54: 137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014
• Absi, R. (2021)「自由表面流の放物線状渦粘性プロファイルの再調査」Hydrology 2021、8(3)、126。https://doi.org/10.3390/hydrology8030126
• タウンゼント、AA (1980)「乱流せん断流の構造」第 2 版 (ケンブリッジ力学モノグラフ)、ISBN 0521298199 
• ブラッドショー、P. (1971)「乱流とその測定入門」(Pergamon Press)、ISBN 0080166210 
• Wilcox, CD (1998)、「CFD のための乱流モデリング」第 2 版 (DCW Industries、La Cañada)、ISBN 0963605100