位相的再帰

数学において、位相的再帰とはスペクトル曲線の不変量の再帰的定義です。これは、数え上げ幾何学、ランダム行列理論、数理物理学、弦理論、結び目理論に応用されています。

位相的再帰は代数幾何学における構成である。^{[1]初期データとして}スペクトル曲線、すなわち のデータを取り、ここで:は分岐点を持つリーマン面の被覆である。は上の有理型微分 1 形式であり、分岐点で正則である。は 上の対称有理型双線型微分形式であり、対角線上に二重極を持ち留数がない。 ${\displaystyle \left(\Sigma ,\Sigma _{0},x,\omega _{0,1},\omega _{0,2}\right)}$${\displaystyle x:\Sigma \to \Sigma _{0}}$${\displaystyle \omega_{0,1}}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \omega_{0,2}}$${\displaystyle \Sigma ^{2}}$

位相的再帰は、 2g-2+n>0 となる整数 g≥0 に対して、分岐点のみに極を持つ、上の対称有理型 n 形式の無限列の再帰的定義です。定義は、整数 2g-2+n 上の再帰です。 ${\displaystyle \omega_{g,n}}$${\displaystyle \Sigma ^{n}}$

多くのアプリケーションでは、n 形式は、種数g で境界が n 個の表面のセットを測定する生成関数として解釈されます。再帰は 2g-2+n 上のオイラー特性上にあるため、「位相的再帰」という名前が付けられています。 ${\displaystyle \omega_{g,n}}$

位相的再帰は、ランダム行列で初めて発見されました。ランダム行列理論の主な目標の1つは、n点相関関数の大規模な漸近展開を見つけることであり、適切な場合には、漸近展開はべき級数の形をとります。n形式は 、 n点相関関数の漸近展開におけるg^番目の係数です。係数は常に2g-2+n上で同じ再帰に従うことがわかっています^{[2] [3] [4]}。この普遍的な再帰関係をランダム行列理論を超えて考え、代数曲線不変量の定義として推進するというアイデアは、それらの不変量の主な特性を研究したEynard-Orantin 2007 ^[1]で生まれました。 ${\displaystyle \omega_{g,n}}$${\displaystyle \omega_{g,n}}$

位相的再帰の重要な応用はグロモフ・ウィッテン不変量である。マリノとBKMP ^[5]は、トーリックカラビ・ヤウ3次元多様体のグロモフ・ウィッテン不変量は、の鏡像であるスペクトル曲線のTR不変量であると予想した。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

それ以来、位相的再帰は特に数え上げ幾何学において多くの活動を生み出してきた。ギブンタル形式論やフロベニウス多様体との関連が確立された。^[6]

(単純な分岐点の場合。高次の分岐点については、以下の高次の分岐のセクションを参照してください)

• および の場合:${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle 2g-2+n>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{g,n}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})&=\sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}K(z_{1},z,\sigma _{a}(z)){\Big (}\omega _{g-1,n+1}(z,\sigma _{a}(z),z_{2},\dots ,z_{n})\\&\qquad \qquad \qquad +\mathop {{\sum }'} _{\overset {g_{1}+g_{2}=g}{I_{1}\uplus I_{2}=\{z_{2},\dots 、z_{n}\}}}\omega _{g_{1},1+\#I_{1}}(z,I_{1})\omega _{g_{2},1+\#I_{2}}(\sigma _{a}(z),I_{2}){\Big )}\end{aligned}}}$$ ここで は再帰核と呼ばれ、 は分岐点 付近の局所ガロア反転であり、 が成り立つような値です。プライム付き和は、と の2 つの項を除外することを意味します。 ${\displaystyle K(z_{1},z_{2},z_{3})}$${\displaystyle K(z_{1},z_{2},z_{3})={\frac {{\frac {1}{2}}\int _{z'=z_{3}}^{z_ {2}}\omega _{0,2}(z_{1},z')}{\omega _{0,1}(z_{2})-\omega _{0,1}(z_{3})}}}$
${\displaystyle \sigma_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x(\sigma _{a}(z))=x(z)}$${\displaystyle {\sum }'}$${\displaystyle (g_{1},I_{1})=(0,\emptyset )}$${\displaystyle (g_{2},I_{2})=(0,\emptyset )}$

• および の場合:${\displaystyle n=0}$${\displaystyle 2g-2>0}$

${\displaystyle F_{g}=\omega _{g,0}={\frac {1}{2-2g}}\ \sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}F_{0,1}(z)\omega _{g,1}(z)}$
の任意の原始関数 で。 ${\displaystyle dF_{0,1}=\omega _{0,1}}$${\displaystyle \omega_{0,1}}$

• との定義はより複雑であり、Eynard-Orantinの原著論文に記載されています。^[1]${\displaystyle F_{0}=\omega _{0,0}}$${\displaystyle F_{1}=\omega _{1,0}}$

• 対称性:それぞれは上の対称 -形式です。${\displaystyle \omega_{g,n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Sigma ^{n}}$
• 極:それぞれは有理型であり、分岐点にのみ極を持ち、剰余は消失します。${\displaystyle \omega_{g,n}}$
• 同次性: は次数 の同次性です。変化により、 となります 。${\displaystyle \omega_{g,n}}$${\displaystyle 2-2g-n}$${\displaystyle \omega _{0,1}\to \lambda \omega _{0,1}}$${\displaystyle \omega _{g,n}\to \lambda ^{2-2g-n}\omega _{g,n}}$
• ディラトン方程式:

${\displaystyle \sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}F_{0,1}(z)\ \omega _{g,n+1}(z_{1},\dots ,z_{n},z)=(2g-2+n)\omega _{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})}$
どこ。 ${\displaystyle dF_{0,1}=\omega _{0,1}}$

• ループ方程式：次の形式は分岐点に極を持たない

${\displaystyle \sum _{z\in x^{-1}(x)}\omega _{g,n+1}(z,z_{1},\dots ,z_{n})}$
${\displaystyle \sum _{\{z\neq z'\}\subset x^{-1}(x)}{\Big (}\omega _{g,n+1}(z,z',z_{2},\dots ,z_{n})+\sum _{\overset {g_{1}+g_{2}=g}{I_{1}\uplus I_{2}=\{z_{2},\dots ,z_{n}\}}}\omega _{g_{1},1+\#I_{1}}(z,I_{1})\omega _{g_{2},1+\#I_{2}}(z',I_{2}){\Big )}}$
ここで、和には素数が含まれず、つまり除外される項はありません。

• 変形：変形方程式を満たす${\displaystyle \omega _{g,n}}$
• 極限:スペクトル曲線の族 が与えられ、その極限が としての特異曲線であり、 の累乗で再スケーリングすることによって解決される場合、 となります。${\displaystyle {\mathcal {S}}_{t}}$${\displaystyle t\to 0}$${\displaystyle t^{\mu }}$${\displaystyle \lim _{t\to 0}t^{(2-2g-n)\mu }\omega _{g,n}({\mathcal {S}}_{t})=\omega _{g,n}(\lim _{t\to 0}t^{\mu }{\mathcal {S}}_{t})}$
• シンプレクティック不変性:がサイクルのシンプレクティック基底のマークを持つコンパクトな代数曲線であり、が有理型であり、が有理型であり、が マーク上で正規化された第 2 種基本微分である場合、スペクトル曲線およびは、いくつかの項によってシフトされた同じものを持ちます。${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \omega _{0,1}=ydx}$${\displaystyle \omega _{0,2}=B}$${\displaystyle {\mathcal {S}}=(\Sigma ,\mathbb {C} ,x,ydx,B)}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {S}}}=(\Sigma ,\mathbb {C} ,y,-xdy,B)}$${\displaystyle F_{g}}$
• モジュラー特性:がサイクルのシンプレクティック基底のマークを持つコンパクトな代数曲線であり、が マーク上で正規化された基本的な第 2 種微分である場合、不変量はマーク変更のモジュラー群の下で準モジュラー形式になります。不変量はBCOV 方程式を満たします。^{[説明が必要]}${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \omega _{0,2}=B}$${\displaystyle \omega _{g,n}}$${\displaystyle \omega _{g,n}}$

分岐点が単純でない場合は、定義は次のように修正される^[7]（単純な分岐点はk=2に対応する）。

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{g,n}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=&\sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}\sum _{k=2}^{{\rm {order}}_{x}(a)}\sum _{J\subset x^{-1}(x(z))\setminus \{z\},\,\#J=k-1}K_{k}(z_{1},z,J)\\&\qquad \cdot \sum _{J_{1},\dots ,J_{\ell }\vdash J\cup \{z\}}\sum '_{\overset {g_{1}+\dots +g_{\ell }=g+\ell -k}{I_{1}\uplus \dots I_{\ell }=\{z_{2},\dots ,z_{n}\}}}\prod _{i=1}^{l}\omega _{g_{i},\#J_{i}+\#I_{i}}(J_{i},I_{i})\end{aligned}}}$

最初の和は、 の空でない部分を持つ分割についてであり、2 番目の和では、プライムは となるすべての項を除外することを意味します。 ${\displaystyle J_{1},\dots ,J_{\ell }}$${\displaystyle J\cup \{z\}}$${\displaystyle J_{i}\neq \emptyset }$${\displaystyle (g_{i},\#J_{i}+\#I_{i})=(0,1)}$

${\displaystyle K_{k}}$は再帰カーネルと呼ばれます。 分子の積分の基点 * は分岐点の近傍で任意に選択でき、不変量はそれに依存しません。
${\displaystyle K_{k}(z_{0},z_{1},\dots ,z_{k})={\frac {\int _{z'=*}^{z_{1}}\omega _{0,2}(z_{0},z')}{\prod _{i=2}^{k}(\omega _{0,1}(z_{1})-\omega _{0,1}(z_{i}))}}}$
${\displaystyle \omega _{g,n}}$

不変量は、トートロジー類の交差数で表すことができる。^[8] (*) ここで、和は、全数論的種数 の安定な節点リーマン面の双対グラフ、および滑らかなラベル付きマーク付き点にわたっており、マップ を備えている。 は、における余接平面をファイバーとする余接線束のチャーン類である。 は^番目のMumford のカッパ類である。係数、、、は、次のように分岐点の近傍におけるおよびのテイラー展開係数である。分岐点(単純と仮定) の近傍では、局所座標は である。近傍の分岐点 、のテイラー展開は、係数 を定義する。 、 におけるテイラー展開は、 分岐点の近傍でのテイラー展開が である1 形式係数を定義する。 のテイラー展開も書き表す。 同様に、係数はラプラス変換の展開係数から見つけることができ、係数はラプラス変換 の対数の展開係数である。 ${\displaystyle \omega _{g,n}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=2^{3g-3+n}&\sum _{G={\text{Graphs}}}{\frac {1}{\#{\text{Aut}}(G)}}\int _{\left(\prod _{v={\text{vertices}}}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}\right)}\,\,\prod _{v={\text{vertices}}}e^{\sum _{k}{\hat {t}}_{\sigma (v),k}\kappa _{k}}\\&\prod _{(p,p')={\text{nodal points}}}\left(\sum _{d,d'}B_{\sigma (p),2d;\sigma (p'),2d'}\psi _{p}^{d}\psi _{p'}^{d'}\right)\prod _{p_{i}={\text{marked points}}\,i=1,\dots ,n}\left(\sum _{d_{i}}\psi _{p_{i}}^{d_{i}}d\xi _{\sigma (p_{i}),d_{i}}(z_{i})\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$${\displaystyle \sigma :\{{\text{vertices}}\}\to \{{\text{branchpoints}}\}}$${\displaystyle \psi _{p}=c_{1}({\mathcal {L}}_{p})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \kappa _{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\hat {t}}_{a,k}}$${\displaystyle B_{a,k;a',k'}}$${\displaystyle d\xi _{a,k}(z)}$${\displaystyle \omega _{0,1}}$${\displaystyle \omega _{0,2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \zeta _{a}(z)={\sqrt {x(z)-a}}}$${\displaystyle \omega _{0,2}(z,z')}$${\displaystyle z\to a}$${\displaystyle z'\to a'}$${\displaystyle B_{a,d;a',d'}}$
${\displaystyle \omega _{0,2}(z,z')\mathop {\sim } _{z\to a,\ z'\to a'}\left({\frac {\delta _{a,a'}}{(\zeta _{a}(z)-\zeta _{a'}(z'))^{2}}}+2\pi \sum _{d,d'=0}^{\infty }{\frac {B_{a,d;a',d'}}{\Gamma ({\frac {d+1}{2}})\Gamma ({\frac {d'+1}{2}})}}\,\zeta _{a}(z)^{d}\zeta _{a'}(z')^{d'}\right)d\zeta _{a}(z)d\zeta _{a'}(z')}$
${\displaystyle z'\to a}$${\displaystyle d\xi _{a,d}(z)}$
${\displaystyle d\xi _{a,d}(z)={\frac {-\Gamma (d+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\operatorname {Res} _{z'\to a}(x(z')-a)^{-d-{\frac {1}{2}}}\omega _{0,2}(z,z')}$${\displaystyle a'}$
${\displaystyle d\xi _{a,d}(z)\mathop {\sim } _{z\to a'}{\frac {-\delta _{a,a'}(2d+1)!!d\zeta _{a}(z)}{2^{d}\zeta _{a}(z)^{2d+2}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{a,2d;a',2k}2^{k+1}}{(2k-1)!!}}\zeta _{a'}(z)^{2k}d\zeta _{a'}(z)}$
${\displaystyle \omega _{0,1}}$
${\displaystyle \omega _{0,1}(z)\mathop {\sim } _{z\to a}\sum _{k=0}^{\infty }t_{a,k}\ {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{(k+1)\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}}\ \zeta _{a}(z)^{k}d\zeta _{a}(z)}$
${\displaystyle t_{a,k}}$${\displaystyle {\hat {t}}_{a,k}}$
${\displaystyle \int _{x(z)-x(a)\in \mathbb {R} _{+}}\omega _{0,1}(z)e^{-ux(z)}={\frac {e^{-ux(a)}{\sqrt {\pi }}}{2u^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }t_{a,k}u^{-k}={\frac {e^{-ux(a)}{\sqrt {\pi }}}{2u^{3/2}}}e^{-\sum _{k=0}^{\infty }{\hat {t}}_{a,k}u^{-k}}}$

例えば、
${\displaystyle \omega _{0,3}(z_{1},z_{2},z_{3})=\sum _{a}e^{{\hat {t}}_{a,0}}d\xi _{a,0}(z_{1})d\xi _{a,0}(z_{2})d\xi _{a,0}(z_{3}).}$

${\displaystyle \omega _{1,1}(z)=2\sum _{a}e^{{\hat {t}}_{a,0}}\left({\frac {1}{24}}d\xi _{a,1}(z)+{\frac {{\hat {t}}_{a,1}}{24}}d\xi _{a,0}(z)+{\frac {1}{2}}B_{a,0;a,0}d\xi _{a,0}(z)\right).}$

式 (*) は、ELSV式だけでなく、Mumfordの式や Mariño- Vafa式も一般化します。

モジュライ空間の双曲的体積に対するM. ミルザハニの再帰は、位相的再帰の一例です。スペクトル曲線の選択では、 n 形式は、それぞれの長さ の n 測地線境界を持つ種数 g の双曲面のモジュライ空間である Weil -Petersson 体積のラプラス変換であり、は Weil-Petersson 体積形式です。n 形式 の位相的再帰は、ミルザハニの再帰と同等です。 ${\displaystyle \left(\mathbb {C} ;\ \mathbb {C} ;\ x:z\mapsto z^{2};\ \omega _{0,1}(z)={\frac {4}{\pi }}z\sin {(\pi z)}dz;\,\omega _{0,2}(z_{1},z_{2})={\frac {dz_{1}dz_{2}}{(z_{1}-z_{2})^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \omega _{g,n}=d_{1}\dots d_{n}F_{g,n}}$
${\displaystyle F_{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=\int _{0}^{\infty }e^{-z_{1}L_{1}}dL_{1}\dots \int _{0}^{\infty }e^{-z_{n}L_{n}}dL_{n}\quad \int _{{\mathcal {M}}_{g,n}(L_{1},\dots ,L_{n})}w}$
${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}(L_{1},\dots ,L_{n})}$${\displaystyle L_{1},\dots ,L_{n}}$${\displaystyle w}$
${\displaystyle \omega _{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})}$

スペクトル曲線の選択については、 n 形式は、 n個の滑らかなマークされた点を持つ種数 g のリーマン面のコンパクト化されたモジュライ空間における余接線束のチャーン類のWitten-Kontsevich交差数です。 ${\displaystyle \left(\mathbb {C} ;\ \mathbb {C} ;\ x:z\mapsto z^{2};\ \omega _{0,1}(z)=2z^{2}dz;\,\omega _{0,2}(z_{1},z_{2})={\frac {dz_{1}dz_{2}}{(z_{1}-z_{2})^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \omega _{g,n}=d_{1}\dots d_{n}F_{g,n}}$
${\displaystyle F_{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=2^{2-2g-n}\sum _{d_{1}+\dots +d_{n}=3g-3+n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(2d_{i}-1)!!}{z_{i}^{2d_{i}+1}}}\quad \left\langle \tau _{d_{1}}\dots \tau _{d_{n}}\right\rangle _{g}}$
${\displaystyle \left\langle \tau _{d_{1}}\dots \tau _{d_{n}}\right\rangle _{g}}$

スペクトル曲線の選択については、 n 形式は、 分岐 を持つ種数 g の連結された単純フルビッツ数、つまり、2g-2+n 個の単純分岐点と、分割 によって与えられる分岐プロファイルを持つ 1つの点を持つ、種数 g の連結面によるリーマン球面の枝被覆の数です。 ${\displaystyle \left(\mathbb {C} ;\ \mathbb {C} ;\ x:-z+\ln {z};\ \omega _{0,1}(z)=(1-z)dz;\,\omega _{0,2}(z_{1},z_{2})={\frac {dz_{1}dz_{2}}{(z_{1}-z_{2})^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \omega _{g,n}=d_{1}\dots d_{n}F_{g,n}}$
${\displaystyle F_{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=\sum _{\ell (\mu )\leq n}m_{\mu }(e^{x(z_{1})},\dots ,e^{x(z_{n})})\quad h_{g,\mu _{1},\dots ,\mu _{n}}}$
${\displaystyle h_{g,\mu }}$${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\dots ,\mu _{n})}$${\displaystyle \mu }$

ケーラー係数 を持つ 3 次元トーリックカラビ・ヤウ多様体を考えます。そのミラー多様体は、係数がケーラー係数の関数である 多項式 によって与えられる複素平面曲線上で特異です。上の基本第二種微分を持つスペクトル曲線の選択について、 BKMP ^[5]予想によれば、n 形式は となります 。 ここで は種 数 g のグロモフ・ウィッテン数であり、種数 g の曲面から への正則写像の数を表します。このとき、n 個の境界が特殊なラグランジアン部分多様体 に写像されます。は曲面の像の 2 番目の相対ホモロジー類であり、 は境界像のホモロジー類 (巻き数) です。BKMP ^[5] 予想はそれ以来証明されています。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{b_{2}({\mathfrak {X}})}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle P(e^{x},e^{y})=0}$${\displaystyle \left(\Sigma ;\ \mathbb {C} ^{*};\ x;\ \omega _{0,1}=ydx;\,\omega _{0,2}\right)}$${\displaystyle \omega _{0,2}}$${\displaystyle \Sigma }$
${\displaystyle \omega _{g,n}=d_{1}\dots d_{n}F_{g,n}}$
${\displaystyle F_{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=\sum _{\mathbf {d} \in H_{2}({\mathfrak {X}},\mathbb {Z} )}\sum _{\mu _{1},\dots ,\mu _{n}\in H_{1}({\mathcal {L}},\mathbb {Z} )}t^{d}\prod _{i=1}^{n}e^{x(z_{i})}{\mathcal {N}}_{g}({\mathfrak {X}},{\mathcal {L}};\mathbf {d} ,\mu _{1},\dots ,\mu _{n})}$
${\displaystyle {\mathcal {N}}_{g}({\mathfrak {X}},{\mathcal {L}};\mathbf {d} ,\mu _{1},\dots ,\mu _{n})=\int _{[{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}({\mathfrak {X}},{\mathcal {L}},\mathbf {d} ,\mu _{1},\dots ,\mu _{n})]^{\rm {vir}}}1}$
${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathbf {d} =(d_{1},\dots ,d_{b_{2}({\mathfrak {X}})})}$${\displaystyle \mu _{i}\in H_{1}({\mathcal {L}},\mathbb {Z} )}$

^[1]