ハランのダイヤモンド定理

数学において、ハランダイヤモンド定理は、ヒルベルト体の可分拡大がヒルベルト体となるため の一般的な十分条件を与えます。

K をヒルベルト体、L をKの可分拡大とする。 Kの2 つのガロア拡大NとM が存在し 、L は合成体NMに含まれるが、N にもMにも含まれないとする。このとき、L はヒルベルト体である。

この定理の名前は、体の図に由来し、ジャーデンによって造られました。

この定理は、最初にヴァイサウアーによって非標準的な方法を使用して証明されました。これは、標準的な方法を使用してフリードによって再証明されました。後者の証明により、ハランはダイヤモンド定理を導きました。

ヴァイサウアーの定理

K をヒルベルト体、N をKのガロア拡大、L をNの有限固有拡大とします。このとき、Lはヒルベルト体です。

ダイヤモンド定理を用いた証明

L がK上有限であればヒルベルト的であるため、L/K は無限であると仮定します。x をL/Nの原始元、つまりL = N ( x ) とします。

M をK ( x )のガロア閉包とします。ダイヤモンド定理のすべての仮定が満たされるため、L はヒルベルト閉包です。

ダイヤモンド定理に先立って、Haran–Jarden によって十分な永続性条件が与えられました 。定理。K をヒルベルト体とし、N、M をKの 2 つのガロア拡大と します。どちらも他方を含まないものとします。その場合、それらの合成体NMはヒルベルト体です。

この定理には非常に良い結果があります。有理数体Qはヒルベルト体 (ヒルベルトの既約定理) なので、 Qの代数閉包は2 つの適切なガロア拡大の合成物ではないこと がわかります。

• Haran, Dan (1999)、「分離可能な代数的拡大の下でのヒルベルト体」、Inventiones Mathematicae、137 (1): 113–126、Bibcode :1999InMat.137..113H、doi :10.1007/s002220050325、MR  1702139、S2CID  120002473、Zbl  0933.12003。
• フリード、マイケル D. Jarden、Moshe (2008)、Field Arithmetic、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3 フォルゲ、vol. 11 (第 3 改訂版)、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-77269-9、MR  2445111、Zbl  1145.12001。