恒星の脈動

恒星の脈動は、恒星が平衡を保とうとする時の外層の膨張と収縮によって引き起こされます。恒星の半径のこれらの変動は、対応する恒星の光度の変化を引き起こします。天文学者は、スペクトルを測定し、ドップラー効果を観察することでこのメカニズムを推測することができます。^{[1]古典的な}セファイド、こと座RR星、大振幅のたて座デルタ星など、大きな振幅で脈動する多くの固有変光星は、規則的な光度曲線を示します。

この規則的な振る舞いは、ヘルツシュプルング・ラッセル図において古典的変光星の高光度・低温側に平行に位置する恒星の変動とは対照的である。これらの巨大星は、平均的な周期時間または周期を定義できる弱い不規則性（ほとんどのRVタウリ型変光星および半規則性変光星のように）から、不規則性にほとんど反復性がないものまで、さまざまな脈動を起こすことが観測されている。おとめ座W型変光星はその境界面にあり、短周期のものは規則的で、長周期のものは、最初は脈動周期が比較的規則的に交替し、その後、RVタウリ型変光星のように軽度の不規則性が始まり、周期が長くなるにつれて徐々に変化していく。^{[2] [3]}恒星の進化と脈動の理論によると、これらの不規則星ははるかに高い光度対質量比（L/M）を持つことが示唆されている。

多くの恒星は非放射状脈動星であり、標準光源として使用される通常の変光星よりも明るさの変動が小さい。^{[4] [5]}

不規則な変動の前提条件は、恒星が周期の時間スケールで振幅を変更できることです。言い換えると、脈動と熱流の結合が、そのような変化を可能にするのに十分大きくなければなりません。この結合は、 1 脈動サイクル (周期) 内の特定の通常モードの振幅の相対的な線形増加率 κ (カッパ) によって測定されます。通常変光星 (セファイド、RR こと座 RR 星など) の場合、数値恒星モデリングと線形安定性解析により、κ は関連する励起脈動モードで最大で数パーセントのオーダーであることが示されています。一方、同じタイプの解析により、高 L/M モデルでは κ がかなり大きくなる (30% 以上) ことが示されています。

通常の変数の場合、相対成長率 κ が小さいということは、振動の周期と振幅の変化に関連するより長い時間という 2 つの異なる時間スケールがあることを意味します。数学的に言えば、ダイナミクスには中心多様体、より正確には中心に近い多様体があります。さらに、恒星の脈動は、その記述が脈動振幅の限られたべき乗で済むという意味で、弱い非線形性しかないことがわかっています。これら 2 つの特性は非常に一般的であり、人口動態、海洋学、プラズマ物理学など、 他の多くの分野の振動系で発生します。

弱い非線形性と振幅変動の長い時間スケールにより、脈動システムの時間的記述を脈動振幅のみの記述に簡略化することができ、周期の短い時間スケールでの動きを排除することができる。その結果、振幅の低いべき乗に切り捨てられた振幅方程式によるシステムの記述が得られる。このような振幅方程式は、例えばポアンカレ・リンシュテットの永年項消去法や多時間漸近摂動法など、さまざまな手法によって導出されており、^{[6] [7] [8]}、より一般的には正規形理論などである。^{[9] [10] [11]}

例えば、RRリラ変光星で一般的に見られる2つの非共鳴モードの場合、2つの通常モード1と2の振幅A ₁とA ₂の時間的変化は、 Q _{ij が}非共鳴結合係数である次の常微分方程式のセットによって支配されます。^{[12] [13]} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA_{1}}{dt}}&=\kappa _{1}A_{1}+\left(Q_{11}A_{1}^{2}+Q_{12}A_{2}^{2}\right)A_{1}\\[1ex]{\frac {dA_{2}}{dt}}&=\kappa _{2}A_{2}+\left(Q_{21}A_{1}^{2}+Q_{22}A_{2}^{2}\right)A_{2}\end{aligned}}}$$

これらの振幅方程式は、最低次の非自明な非線形性に限定されています。恒星の脈動理論で関心のある解は、漸近解（時間が無限大に向かうにつれて）です。これは、振幅変動の時間スケールが、一般に恒星の進化の時間スケール（核燃焼の時間スケール）に比べて非常に短いためです。上記の方程式には、単一モード（A ₁ 0、A ₂ = 0）または（A ₁ = 0、A ₂ 0）および二重モード（A ₁ 0、A ₂ 0）の解に対応する、一定の振幅を持つ固定点解があります。これらは、恒星の単一周期および二重周期の脈動に対応します。上記の方程式の他の漸近解は、物理的な（つまり、負の）結合係数に対しては存在しません。 ${\displaystyle \neq }$${\displaystyle \neq }$${\displaystyle \neq }$${\displaystyle \neq }$

共鳴モードの場合、適切な振幅方程式には、モード間の共鳴結合を記述する追加の項があります。古典的な（単一周期の）セファイドの光曲線形態におけるヘルツシュプルング進行は、基本脈動モードと第2倍音モード間のよく知られた2：1共鳴の結果です。^[14]振幅方程式は、非放射状の恒星脈動にさらに拡張できます。^{[15] [16]}

脈動星の全体的な解析では、振幅方程式によって、起こり得る脈動状態間の分岐図を描くことができます。この図では、星の進化の過程で脈動が始まる不安定帯の境界がホップ分岐に対応しています。^[17]

中心多様体の存在により、周期の時間スケールでカオス的 (つまり不規則な) 脈動が発生する可能性が排除されます。共鳴振幅方程式はカオス的解も可能にするほど複雑ですが、これは振幅の時間的変化にあり、長い時間スケールで発生するため、非常に異なるカオスです。

振幅方程式が適用される場合、脈動振幅の時間的変化における長期的な不規則な動作は可能ですが、これは一般的な状況ではありません。実際、ほとんどの観測とモデリングでは、これらの星の脈動は一定のフーリエ振幅で発生し、周期的または多重周期的 (数学文献では準周期的) な規則的な脈動につながります。

振幅の大きい固有変光星の光度曲線は、古典的なセファイド変光星やこと座RR星のような極めて規則的な性質から、いわゆる不規則変光星のような極めて不規則な性質まで変化する性質を示すことが何世紀にもわたって知られてきました。種族IIの星では、この不規則性は、周期の低いおとめ座W型変光星からおうし座RV型変光星を経て、半規則変光星の領域へと徐々に増加します。恒星の脈動における低次元カオスは、この確立された現象の現在の解釈です。

セファイド変光星の規則的な振る舞いは、1960年代から数値流体力学によってうまくモデル化されており、^{[18] [19]}理論的観点からは、力学系の弱い散逸特性によって生じる中心多様体の存在によるものとして容易に理解できる。^[20]このことと、脈動が弱い非線形であるという事実により、振幅方程式によるシステムの記述が可能となり^{[21] [22] 、}基本モード脈動、第1または第2倍音脈動、またはより複雑な、複数のモードが一定振幅で励起される二重モード脈動などの、考えられる脈動の種類（またはリミットサイクル）の分岐図（分岐理論も参照）の構築が可能となる。星の進化の過程で脈動が始まる不安定帯の境界は、ホップ分岐に対応する。

対照的に、振幅の大きい種族 II の恒星の不規則性は、説明がより困難です。1 周期にわたる脈動振幅の変動は大きな散逸を意味し、したがって中心多様体は存在しません。さまざまなメカニズムが提案されていますが、不十分であることがわかりました。1 つは、互いに打ち勝ついくつかの近接した脈動周波数の存在を示唆していますが、適切な恒星モデルにはそのような周波数は存在しません。もう 1 つの、より興味深い示唆は、変動が確率的な性質であるというものですが、^[23]観測されるそのような大きな振幅変動のエネルギーを提供できるメカニズムは提案されておらず、存在していません。現在では、不規則な光曲線の背後にあるメカニズムは、基礎にある低次元のカオス的ダイナミクスであることが確立されています (カオス理論も参照)。この結論は 2 種類の研究に基づいています。

計算流体力学によるW Virginis 恒星モデルの脈動の数値予測では、低次元カオスの明確な特徴である不規則な動作に対する 2 つのアプローチが示されています。最初の兆候は、最大半径またはその他の適切な変数を次の半径に対してプロットした最初のリターン マップから得られます。モデルのシーケンスは、カオスにつながる周期倍加分岐、またはカスケードを示しています。マップのほぼ二次曲線の形状はカオスを示しており、基礎にある馬蹄形マップを暗示しています。^{[24] [25]}他のモデルのシーケンスは、やや異なるルートをたどりますが、カオスに至ります。つまり、ポモー–マンネヴィルまたは接線分岐ルートです。^{[26] [27]}

以下は、平均表面温度 T が異なる一連の恒星モデルについて、周期倍増カスケードからカオスへの同様の視覚化を示しています。グラフには、恒星の半径の値 (R _i、R _i+1、R _i+2 ) の 3 つ組が表示されており、インデックス_i、_i+1、_{i+2 は}連続する時間間隔を示しています。

低次元カオスの存在は、最も不安定な周期軌道を抽出し、その位相組織（ねじれ）を調べる、より洗練されたモデル脈動解析によっても確認されている。基礎となるアトラクターは、ロースラーアトラクターのように帯状になっているが、帯状に追加のねじれがあることが判明している。^[28]

グローバルフロー再構成法^[29]では、単一の観測信号 {s _i } を使用して、それを生成した動的システムの特性を推測します。最初に N 次元の「ベクトル」が構築されます。次のステップは、システムを時間 から時間 まで取る非線形進化演算子の式、つまり を見つけることです。Takens の定理は、埋め込み次元N が十分に大きい場合、非常に一般的な状況では、この再構成された進化演算子の位相特性が物理システムの位相特性と同じになることを保証します。したがって、単一の観測変数の知識から、多数の独立変数によって制御される実際の物理システムに関する特性を推測できます。 ${\displaystyle S_{i}=s_{i},s_{i-1},s_{i-2},...s_{i-N+1}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle S_{i+1}=M(S_{i})}$

このアプローチは、たてがみ座R星のAAVSOデータに適用されている^{[30] [31]。} この星の不規則な脈動は、根底にある4次元の力学から生じていると推測できる。言い換えれば、任意の4つの隣接する観測から次の観測を予測できるということである。物理的な観点からは、システムの力学を記述する4つの独立変数があるということである。偽近傍法は、埋め込み次元が4であることを裏付ける。計算されたリャプノフ指数から推測されるたてがみ座R星の力学のフラクタル次元は、3.1と3.2の間にある。

発展演算子の不動点の解析から、シルニコフの定理で説明されるシナリオである、不安定な脈動モードの励起から脈動が発生し、それが2:1の共鳴関係にある2番目の安定した脈動モードに非線形に結合するという物理的な描像を推測することができる。^[32]

この共鳴メカニズムはR Scutiに限られたものではなく、観測データが十分に良好な他のいくつかの星にも当てはまることがわかっています。^[33]

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