スクエア1（パズル）

スクエア1は3つの層から構成されています。上層と下層には、それぞれ凧形ピースと三角形ピースが含まれています。これらは、それぞれ角ピースと端ピースとも呼ばれます。凧形ピースと三角形ピースは全部で8個ずつあります。凧形ピースの幅は層の中心を基準として60度、三角形ピースの幅は30度です。

中間層には2つの台形片が含まれており、これらを組み合わせると不規則な六角形または正方形を形成することができる。

各層は自由に回転させることができ、すべての層のピースの境界が一致すると、パズルを垂直方向にねじって、上層の半分と下層の半分を入れ替えることができます。このようにして、パズルのピースをシャッフルすることができます。凧形のピースは三角形のピースの角幅のちょうど2倍であるため、2つのピースを自由に混ぜ合わせることができ、2つの三角形のピースを1つの凧形のピースの代わりに入れ替えたり、その逆も可能です。これにより、パズルのどの部分でも奇妙な形状変化が生じます。

パズルが立方体の形になるためには、上層と下層に凧形と三角形のピースが交互に配置され、各層に凧形と三角形のピースがそれぞれ4個ずつ必要で、中間層は正方形でなければなりません。しかし、中間層の形状は2種類しか存在しないため、パズルの他の部分に影響を与えることなく、中間層の形状を素早くひねることで変更できます。

パズルが立方体の形になったら、上層と下層を鉄十字のような方法で、あるいは同等に、互いに角度をなす2つの同心円状の（標準的な）十字で切断します。

ルービックキューブと同様に、ピースには色がついています。パズルを解くには、立方体の形をしているだけでなく、各面が均一な色でなければなりません。完成した状態（または元の状態）では、「Square-1」と書かれた面から見ると、色は上面が白、下面が緑、前面が黄色、左側が赤、右側がオレンジ、背面が青となっています。Square-1の別バージョンでは、配色や素材が異なる場合もあります。

このパズルの解法はインターネット上に数多く存在します。古典的な層ごとの解法を用いるものもあれば、角のピースを先に配置してから縁のピースを配置する、あるいはその逆を行うものもあります。これらの方法を組み合わせた解法もあります。これらの解法はそれぞれ異なるアプローチを用いていますが、そのほとんどは、ピースの配置や中間層のパリティに関係なく、まずパズルの立方体の形状を復元し、その後、立方体の形状を維持しながらピースを正しい位置に配置していくというものです。形状を最初に復元するのは、一度に最も多くの動きが可能になるためです。他の形状では、可能な動きが少なくなります。

ほとんどの解法は、多数のアルゴリズムを提供します。これらは、パズルの残りの部分をそのままにして、少数のピースを再配置する一連の操作です。例えば、2つのピースを入れ替えたり、3つのピースを順番に並べ替えたりといった操作が挙げられます。上層と下層を入れ替えるなど、より大規模なアルゴリズムも可能です。これらのアルゴリズムを体系的に使用することで、パズルは徐々に解かれていきます。

ルービックキューブの解法と同様に、スクエア1の解法も、試行錯誤またはコンピュータ検索によって発見されたアルゴリズムの使用に依存しています。ただし、ルービックキューブの解法は終盤でこれらのアルゴリズムに依存することが多いのに対し、スクエア1の解法では、アルゴリズムは全過程を通して多用されます。これは、ルービックキューブのピースの形状が均一であるため、少なくとも解法の初期段階では、少数のピースの配置に集中し、残りのピースを無視できるためです。しかし、スクエア1では、コーナーピースとエッジピースが自由に混在するため、特定の操作が物理的に妨げられることがあります。そのため、最初からすべてのピースを考慮に入れる必要があります。スクエア1の解法の中には、アルゴリズムの使用のみに依存するものもあります。

与えられた順列の異なる回転を一度だけ数え、鏡映を個別に数えると、170 × 2 × 8! × 8! = 552,738,816,000 通りの位置があります。

回転と鏡映の両方を一度だけ数えると、位置の数は 15! ÷ 3 = 435,891,456,000 に減少します。また、常に最大 13 回の回転で解くことができます。^{[ 1 ]}

代わりに、半分をねじる際にコーナーピースが邪魔にならない位置だけを数えると、3678·2·8!·8! = 11,958,666,854,400 通りのねじれる位置があり、常に最大 31 回の面回転で解決できます。^{[ 2 ]}

オリジナルのスクエア1記法は、ヤープ・シェルプハイスによって考案されました。

(x,y)/(x,y)

スラッシュ（/）は、パズルの右半分全体を180°回転させることを示します。最初の数字（x）は、上層を時計回りに30°回転させる回数を表します。2番目の数字（y）は、下層を時計回りに30°回転させる回数を表します。負の数は反時計回りに回転させることを意味します。したがって、たとえば「(-4,5)」という操作は、上面を反時計回りに120°回転させ、同時に下面を時計回りに150°回転させることを意味します。これらの操作は常に-5から6の間であり、両方とも0であってはなりません。

カルナウク記法（カルノテーションとも呼ばれる）は、ダニエル・カルナウクによって考案されました。これは、元の記法をベースに、括弧とスラッシュを削除し、スラッシュをスペースに置き換え、一般的なムーブセットに文字を割り当てたものです。この記法は、スピードソルビングアルゴリズムの記述、学習、共有を容易にする方法として提案されました。スクエア1をスクランブルするために使用することを意図したものではありませんでした。完全な記法はここにありますが、これは簡略版です。^{[ 3 ]}

スクエア2は、スーパースクエア1と同様に、スクエア1と比べてそれほど難しくはありません。上下の層の位置に関係なくスライスを回転させることができるため、多くの点で実際にはより簡単です。基本的にはオリジナルと同じように解くことができ、コーナーウェッジを組み合わせるという追加の手順が必要なだけです。その後は、スクエア1とまったく同じように解くことができます。

パズルには全部で24個のくさび形のピースがあります。

ウェッジピースの順列は、偶数順列と奇数順列を含め、すべて可能です。つまり、これらのピースの順列は 24! = 620,448,401,733,239,439,360,000 (約620垓) 通り存在することになります。

しかし、中間層では各位置に2つの向きが可能であり、位置の数が2倍になる。

理論上、このパズルには合計で (24!)*2=1,240,896,803,466,478,878,720,000 (≈1.2セプティリオン) 通りの配置が可能となるが、各配置には 12 通りの向きがあるため、一部の配置は重複してカウントされている。そのため、配置の数は 12^2 だけ減少する。

最終的なカウントは (24!)/72=8,617,338,912,961,658,880,000 (約8.6垓) 通りの可能な位置です。