ソリッドハーモニクス

物理学と数学において、立体調和関数は球面極座標におけるラプラス方程式の解であり、（滑らかな）関数であると仮定される。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ 2種類あります。通常のソリッドハーモニクス $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )$ 原点で明確に定義され、不規則な固体高調波を持つ $I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )$ これらは原点で特異点を持つ。これらの関数群はどちらもポテンシャル理論において重要な役割を果たし、球面調和関数を適切にスケーリングすることによって得られる。 $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ $I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}$

導出、球面調和関数との関係

3ベクトル $r$ $の球面極座標をr$ 、 $θ$ 、 $φ$ とすると、 $\Phi$ は（滑らかな）関数です $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ラプラス方程式は次のように表すことができます。 $\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {L}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,$ ここで、 $L 2$ は無次元角運動量演算子の二乗である。 $\mathbf {\hat {L}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).$

球面調和関数 $Y$ $m$ $ℓ$ $はL$ $2$ の固有関数であることが知られています。 $\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.}$

$Φ(r) = F (r) Y m ℓ$ をラプラス方程式に代入し、球面調和関数を除算すると、次の動径方程式とその一般解が得られます。

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.$

全ラプラス方程式の特殊解は、正則な固体調和関数である。 $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),$ および 不規則なソリッドハーモニクス： $I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.$ 通常の固体高調波は調和同次多項式、すなわちラプラス方程式の解である同次多項式に対応します。

ラカの正常化

ラカーの正規化（シュミットの半正規化とも呼ばれる）は両方の関数に適用される。 $\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }$ （不規則なソリッドハーモニックについても同様）正規化を1にするのではなく、この方法を用いる。これは、多くの応用例において、導出過程全体を通してラカー正規化係数が変化しないように見えるため、都合が良い。

加法定理

正則ソリッドハーモニックの平行移動は有限の展開を与え、 ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu$ ここで、クレブシュ・ゴルダン係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \langle \lambda ,\mu$

不規則な固体高調波に対する同様の展開は無限級数を与える。 ${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu$ で $|r|\leq |a|\,$ . 角括弧内の量は再びクレブシュ・ゴルダン係数である。 ${\displaystyle \langle \lambda ,\mu$

加法定理は複数の著者によって様々な方法で証明された。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

複合形式

正則固体高調波は、ラプラス方程式の同次多項式解である。 $\Delta R=0$ 不確定なものを分離する $z$ そして執筆 ${\textstyle R=\sum _{a}p_{a}(x,y)z^{a}}$ ラプラス方程式は、再帰式と等価であることが容易にわかる。 $p_{a+2}={\frac {-\left(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}\right)p_{a}}{\left(a+2\right)\left(a+1\right)}}$ したがって、任意の多項式の選択 $p_{0}(x,y)$ 学位 $\ell$ そして $p_{1}(x,y)$ 学位 $\ell -1$ 方程式の解を与える。次数の同次多項式空間 (2 変数) の特定の基底 $k$ は $\left\{(x^{2}+y^{2})^{m}(x\pm iy)^{k-2m}\mid 0\leq m\leq k/2\right\}$ 回転群の固有ベクトルの（正規化を除いて一意な）基底であることに留意してください。 $SO(2)$ : 回転 $\rho _{\alpha }$ 飛行機の $\alpha \in [0,2\pi ]$ 乗算として機能します $e^{\pm i(k-2m)\alpha }$ 基底ベクトルについて $(x^{2}+y^{2})^{m}(x+iy)^{k-2m}$ 。

度を組み合わせると $\ell$ 基礎と学位 $\ell -1$ 再帰式を用いて基底を得ると、次数の調和同次多項式空間の基底 (今回は 3 変数) が得られる。 $\ell$ の固有ベクトルから構成される $SO(2)$ （再帰式は互換性があることに注意してください） $SO(2)$ （ラプラス演算子は回転不変であるため）これらは複素固体高調波です。 ${\begin{aligned}R_{\ell }^{\pm \ell }&=(x\pm iy)^{\ell }z^{0}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -1)}&=(x\pm iy)^{\ell -1}z^{1}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -2)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -3)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -4)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}z^{4}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -5)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}z^{5}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}$ そして一般的に $R_{\ell }^{\pm m}={\begin{cases}\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}&\ell -m{\text{ is even}}\\\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -1-m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\ell -m{\text{ is odd}}\end{cases}}$ のために $0\leq m\leq \ell$ 。

球面座標を入力する $x=r\cos(\theta )\sin(\varphi )$ 、 $y=r\sin(\theta )\sin(\varphi )$ 、 $z=r\cos(\varphi )$ そして使用する $x^{2}+y^{2}=r^{2}\sin(\varphi )^{2}=r^{2}(1-\cos(\varphi )^{2})$ 球面調和関数との通常の関係が見られる $R_{\ell }^{m}=r^{\ell }e^{im\phi }P_{\ell }^{m}(\cos(\vartheta ))$ 多項式を用いて $P_{\ell }^{m}$ これは（正規化を除いて）関連するルジャンドル多項式であり、したがって $R_{\ell }^{m}=r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ （これもまた、正規化の具体的な選択次第です。）

実形

$\pm m$ の固体高調波の単純な線形結合により、これらの関数は実関数、すなわち関数に変換されます。 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 実数正則ソリッドハーモニックは、デカルト座標で表すと、次数の実数値同次多項式となる。 $\ell$ x、y、zにおいて。これらの多項式の明示的な形式は、ある程度重要です。例えば、球面原子軌道や実多重極モーメントの形で現れます。実正則調和関数の明示的なデカルト表現をこれから導出します。

線形結合

私たちは、先の定義に同意して記述します。 $R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,$ と $\Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,$ どこ $P_{\ell }(\cos \theta )$ $は次数ℓ$ のルジャンドル多項式である。m $に依存する位相は$ コンドン・ショートリー位相として知られている。

以下の式は、実数正則ソリッドハーモニクスを定義するものです。 ${\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.$ そして $m = 0$ の場合： $C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.$ 変換はユニタリ行列によって行われるため、実数および複素数のソリッドハーモニクスの正規化は同じになります。

z依存部分

$u = cos θ$ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階微分は u に関して次の展開として表すことができ $ます$ $。$ ${\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}$ と $\gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.$ $z = r cos θ$ であることから、この導関数に $rの適切なべき乗を掛けると、$ $z$ に関する単純な多項式になることがわかります。 $\Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$

( x , y )依存部分

次に、 $x = r sin θ cos φ$ および $y = r sin θ sin φ$ を思い出して考えてみましょう。 $r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]$ 同じく $r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].$ さらに遠く $A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}$ そして $B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.$

合計

$C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell$ $S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .$

最低関数のリスト

$ここでは、 ℓ = 5$ までの最低次の関数を明示的に列挙します。 ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).$

${\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}$

最低機能 $A_{m}(x,y)\,$ そして $B_{m}(x,y)\,$ は：

参考文献

↑ RJA Tough および AJ Stone、「J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10、p. 1261 (1977)」
↑ MJ Caola、J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11、p. L23 (1978)

Steinborn, EO; Ruedenberg, K. (1973). 「正則および不規則な固体球面調和関数の回転と並進」。Lowdin , Per-Olov (編) 『量子化学の進歩』第7巻、Academic Press、pp. 1–82。ISBN 9780080582320。
トンプソン、ウィリアム・J. (2004).角運動量：物理系における回転対称性に関する図解ガイド. ヴァインハイム：Wiley-VCH. pp. 143–148 . ISBN 9783527617838。

[1] RJA Tough および AJ Stone、「J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10、p. 1261 (1977)」

[2] MJ Caola、J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11、p. L23 (1978)

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