スミス数

数論において、スミス数は、与えられた基数において、その桁の合計が、同じ基数での素因数分解の桁の合計に等しい合成数です。平方数でない数の場合、因数分解は指数なしで表され、繰り返される因数は必要な回数だけ表されます。

スミス番号は、リーハイ大学のアルバート・ウィランスキーが、義理の兄弟ハロルド・スミスの電話番号 (493-7775) の特性に気付いたことから 命名されました。

4937775 = 3 · 5 · 5 · 65837

その間

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5 + (6 + 5 + 8 + 3 + 7)

10進数では^[1]

を自然数とします。基数 に対して、関数 を基数 におけるの数字の和とします。が素因数分解される 自然数とは、次の場合 スミス数 です。 ここで指数はの素因数としての重複度です(のp進評価とも呼ばれます)。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$${\displaystyle F_{b}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle n=\prod _{\stackrel {p\mid n,}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}}$$$${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{\stackrel {p\mid n,}{p{\text{ prime}}}}v_{p}(n)F_{b}(p).}$$${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

たとえば、10 進数では、378 = 2 ¹ · 3 ³ · 7 ¹は、3 + 7 + 8 = 2 · 1 + 3 · 3 + 7 · 1 であるためスミス数であり、22 = 2 ¹ · 11 ^{1 は}、2 + 2 = 2 · 1 + (1 + 1) · 1 であるためスミス数です。

10進法の最初のいくつかのスミス数は

4、22、27、58、85、94、121、166、202、265、274、319、346、355、378、382、391、438、454、483、517​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、526、535、562、576、588、627、634、636、645、648、654、663、666、690、706、728、729、762、778、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 825、852​​、861、895、913、915、922、958、985。（ OEISの配列A006753）​​​​​​​​​​

WLマクダニエルは1987年にスミス数が無限に存在することを証明した。 ^{[1] [2]} 10進数で¹⁰ⁿ以下 のスミス数の数はn = 1, 2, ...の場合、次のように与えられる。

1、6、49、376、3294、29928、278411、2632758、25154060、241882509、...（OEISの配列A104170）。

連続する2つのスミス数（例えば、728と729、または2964と2965）はスミス兄弟と呼ばれます。^{[3]スミス兄弟が何人いるかはわかっていません}。n = 1、2、...の場合の10進数における 最小のスミスn組（n個の連続するスミス数を意味する）の開始要素は次のとおりです。 ^[4]

4、728、73615、4463535、15966114、2050918644、164736913905、...（OEISの配列A059754）。

スミス数は因数分解されたレプユニットから構成できる。^{[5] [検証が必要]} 2010年現在^{[アップデート]}、10進数で知られている最大のスミス数は

9 × R ₁₀₃₁ × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}

ここで、R ₁₀₃₁は10進数のレプユニット(10 ¹⁰³¹ − 1)/9 である。^{[引用が必要] [更新が必要]}

• 等桁数

• ガードナー、マーティン（1988年）。ペンローズタイルからトラップドア暗号まで。pp.299-300。
• ホフマン、ポール（1998年）。『数字だけを愛した男：ポール・エルデシュの物語と数学的真実の探求』ニューヨーク：ハイペリオン。
• サンダー、ジョゼフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。 32～36ページ。ISBN 1-4020-2546-7.ZBL1079.11001  。​

• Weisstein、Eric W.「スミス数」。MathWorld。
• Copeland, Ed . 「4937775 – Smith Numbers」. Numberphile . Brady Haran . 2021年12月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。