次のような形式の回帰方程式がm 個あると仮定します。
y 私 t = y − 私 、 t ′ γ 私 + x 私 t ′ β 私 + u 私 t 、 私 = 1 、 … 、 m 、 {\displaystyle y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,} ここで、i は方程式番号、t = 1, ..., T x it はk i × 1 の外生変数ベクトル、y it は従属変数、y −i,t はi 番目の 方程式の右辺に入る他のすべての内生変数のn i × 1 ベクトル、 u it は i 」表記は、ベクトルy −i,t に はy it y が含まれる可能性があることを示しています(y it は左辺に既に存在するため)。回帰係数β i γ i は それぞれk i × 1 とn i × 1の次元です。i番目の 方程式 に対応するT 個の 観測値を垂直に積み重ねると、各方程式をベクトル形式で次のように記述できます。
y 私 = Y − 私 γ 私 + X 私 β 私 + u 私 、 私 = 1 、 … 、 m 、 {\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,} ここで、 y i とu i はT× 1 ベクトル、X i は外生回帰変数のT×k i 行列、 Y −i は i 番目 の方程式の右辺にある内生回帰変数のT×n i 行列です。最後に、すべての内生変数を左辺に移動して、m 個の方程式をまとめてベクトル形式で次のように記述できます。
Y Γ = X B + U 。 {\displaystyle Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,} この表現は構造形式 として知られています。この式では、 Y = [ y 1 y 2 ... y m ]は従属変数のT×m 行列です。各行列Y −i は実際にはこのYの n i 列のサブ行列です。従属変数間の関係を表すm×m 行列 Γ は複雑な構造を持っています。対角要素は 1 で、各列iの他のすべての要素は、行列 Y −i に Y のどの列が含まれているかに応じて、ベクトル−γ i ×k 行列 Xには 、 X は フルランクである必要があります)。したがって、各X i はX のk i k×m で、各列は、Xのどの回帰変数が X i β i U = [ u 1 u 2 ... u m ] は誤差項のT×m 行列です。
構造方程式にΓ −1 を右から乗じると、システムは次のように簡約形で表すことができる。
Y = X B Γ − 1 + U Γ − 1 = X Π + V 。 {\displaystyle Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,} これは既に単純な一般線形モデル であり、例えば通常の最小二乗法 で推定できます。残念ながら、推定された行列を分解する作業はΠ ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\Pi }}} Γ −1 に分解するのは非常に複雑であるため、簡略化された形式は予測には適しているが推論には適していない。
前提条件 まず、外生回帰変数の行列Xのランクは、有限サンプルでも T → ∞ の極限でもk に等しくなければなりません(この後者の要件は、極限では式が1 T X ′ X {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X} 行列Γは非退化なk×k 行列に収束するはずです。行列Γも非退化であると仮定します。
第二に、誤差項は系列的に独立かつ同一分布 であると仮定します。つまり、行列Uの t 番目の行を u ( t ) とすると、ベクトル列 { u ( t ) } は、平均がゼロで、共分散行列 Σ (未知) を持つ iid であるはずです。特に、これはE[ U ] = 0 およびE[ U′U ] = T Σ を意味します。
最後に、識別には前提条件が必要となる。
識別 同定条件では、 線形方程式系が 未知のパラメータについて解けることが必要となる。
より具体的には、識別に必要な条件である順序条件 は、各方程式k i + n i ≤ k
ランク条件は 、必要かつ十分なより強い条件であり、Π i 0 ランクが n i Π i 0 Π ( k − k i )× n i
相互方程式制約を使用して識別を実現する 同時方程式モデルでは、識別 を実現する最も一般的な方法は、方程式内のパラメータ制約を課すことです。[ 6 ]
クロス方程式制約が識別にどのように使用できるかを説明するために、Wooldridge [ 6 ]の次の例を考えてみましょう。
y 1 = γ 12 y 2 + δ 11 z 1 + δ 12 z 2 + δ 13 z 3 + u 1 y 2 = γ 21 y 1 + δ 21 z 1 + δ 22 z 2 + u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{整列}}} ここで、z は u と無相関であり、y は内生 変数である。追加の制約がない場合、除外された外生変数がないため、最初の式は識別されない。2 番目の式は、δ 13 ≠0
ここで、 δ 12 = δ 22 δ 12を既知として扱うことができます。すると、1 番目の方程式は次のようになります。
y 1 − δ 12 z 2 = γ 12 y 2 + δ 11 z 1 + δ 13 z 3 + u 1 {\displaystyle y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}} 右辺には内生変数（ y 2 つ （z 1 、z 2 、z 3 ）を操作 変数 として上記の式の係数を推定することができます。したがって、式内制約の代わりに式間制約を用いることで
推定
同時方程式モデルの最も単純で一般的な推定方法は、いわゆる2段階最小二乗 法[ 7 ] であり、これはTheil（1953） とBasmann（1957） によって独立に開発された。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] X で操作される。この方法は、推定を2つのステップで行うため「2段階」と呼ばれる。[ 7 ]
ステップ1 ：Y −iを X に対して回帰分析し、予測値を取得する。Y ^ − 私 {\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}} ステップ2 ：y i を γ iとβ i 最小二乗 回帰分析することで、γ i とβ iを推定する。 Y ^ − 私 {\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}} X i 。モデルのi 番目の 方程式が次のように書かれている場合
y 私 = （ Y − 私 X 私 ） （ γ 私 β 私 ） + u 私 ≡ Z 私 δ 私 + u 私 、 {\displaystyle y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},} ここで、Z i はi 番目の 方程式の内生変数と外生変数の両方のT× ( n i + k i ) 行列であり、δ i n i + k i ) 次元ベクトルである。このとき、 δ i [ 7 ]
δ ^ 私 = （ Z ^ 私 ′ Z ^ 私 ） − 1 Z ^ 私 ′ y 私 = （ Z 私 ′ P Z 私 ） − 1 Z 私 ′ P y 私 、 {\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},} ここで、P = X ( X ′ X ) −1 X ′は外生回帰変数X によって張られる線形空間への射影行列です。
「限定情報」最尤法は、1947年にMA Girshickによって提案され [ 13 ] TW Anderson とH. Rubin によって形式化されました[ 14 ]。
y 私 = Y − 私 γ 私 + X 私 β 私 + u 私 ≡ Z 私 δ 私 + u 私 {\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}} 残りの内生変数 Y −i の構造方程式は明記されておらず、簡略化された形で示されている。
Y − 私 = X Π + U − 私 {\displaystyle Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}} この文脈における表記法は、単純なIV の場合とは異なります。以下のようになります。
Y − 私 {\displaystyle Y_{-i}} X − 私 {\displaystyle X_{-i}} X {\displaystyle X} Z {\displaystyle Z} LIMLの明示的な式は次のとおりです。[ 15 ]
δ ^ 私 = （ Z 私 ′ （ 私 − λ M ） Z 私 ） − 1 Z 私 ′ （ 私 − λ M ） y 私 、 {\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},} ここで、M = I − X ( X ′ X ) −1 X ′λ は行列の最小特性根である。
（ [ y 私 Y − 私 ] M 私 [ y 私 Y − 私 ] ） （ [ y 私 Y − 私 ] M [ y 私 Y − 私 ] ） − 1 {\displaystyle {\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}} 同様に、 M i = I − X i ( X i ′ X i ) −1 X i ′
言い換えれば、λは 一般化固有値問題 の最小解である（ Theil (1971 , p. 503) を参照） 。
| [ y 私 Y − 私 ] ′ M 私 [ y 私 Y − 私 ] − λ [ y 私 Y − 私 ] ′ M [ y 私 Y − 私 ] | = 0 {\displaystyle {\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0}
Kクラス推定器 LIMLはKクラス推定量の特殊なケースです。[ 16 ]
δ ^ = （ Z ′ （ 私 − κ M ） Z ） − 1 Z ′ （ 私 − κ M ） y 、 {\displaystyle {\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,} と：
δ = [ β 私 γ 私 ] {\displaystyle \delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}} Z = [ X 私 Y − 私 ] {\displaystyle Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}} この分類に属する推定器は複数存在する。
κ=0: OLS κ=1: 2SLS。この場合、私 − κ M = 私 − M = P {\displaystyle I-\kappa M=I-M=P} κ=λ: LIML κ=λ - α / (nK): Fuller (1977) 推定量。[ 17 ] [ 16 ]
社会科学における応用 分野や学問領域を超えて、同時方程式モデルはさまざまな観測現象に適用されています。これらの方程式は、現象が相互に因果関係にあると仮定される場合に適用されます。古典的な例は、経済学 における需要と供給です。他の分野では、候補者の評価と政党支持[ 21 ] 、政治学 における世論と社会政策[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] 、社会学 や人口統計学 における教育達成度と親になることなどが例となっています [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]
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