縮小形

統計学、特に計量経済学では、連立方程式の簡約形は、内生変数について連立方程式を解いた結果です。これにより、外生変数がある場合は、外生変数の関数として方程式が得られます。計量経済学では、構造形式モデルの方程式は理論的に与えられた形式で推定されますが、推定の代替アプローチは、まず理論方程式を内生変数について解いて簡約形方程式を取得し、次に簡約形方程式を推定することです。

Y を統計モデルによって説明される変数（内生変数）のベクトルとし、Xを説明変数（外生変数）のベクトルとします。さらに、を誤差項のベクトルとします。すると、構造形式の一般的な表現は となり、ここでfは関数であり、複数方程式モデルの場合はベクトルからベクトルへの関数となる可能性があります。このモデルの簡約形式は となり、gは関数です。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f(Y,X,\varepsilon )=0}$${\displaystyle Y=g(X,\varepsilon )}$

外生変数はシステムによって決定されない変数である。需要が価格だけでなく外生変数Zによっても影響を受けると仮定すると、構造的供給と需要モデル を考えることができる。

供給：    ${\displaystyle Q=a_{S}+b_{S}P+u_{S},}$

要求：   ${\displaystyle Q=a_{D}+b_{D}P+cZ+u_{D},}$

ここで、項はランダム誤差（各式の残りの部分で示される供給量と需要量の偏差）です。未知数（内生変数）PとQを解くことで、この構造モデルは次の簡約形式で書き直すことができます。 ${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle Q=\pi _{10}+\pi _{11}Z+e_{Q},}$

${\displaystyle P=\pi _{20}+\pi _{21}Z+e_{P},}$

ここで、パラメータは構造モデルのパラメータに依存し、簡約形式の誤差はそれぞれ構造パラメータと両方の構造誤差に依存します。両方の内生変数は外生変数Zに依存することに注意してください。 ${\displaystyle \pi_{ij}}$${\displaystyle a_{i},b_{i},c}$${\displaystyle e_{i}}$

経験的データを使用して簡約形式モデルを推定し、係数の推定値を取得することで、構造パラメータの一部を回復できます。2つの簡約形式方程式を組み合わせてZを除去すると、供給側モデルの構造係数（および）を導出できます。 ${\displaystyle \pi_{ij},}$${\displaystyle a_{S}}$${\displaystyle b_{S}}$

${\displaystyle a_{S}=(\pi _{10}\pi _{21}-\pi _{11}\pi _{20})/\pi _{21},}$

${\displaystyle b_{S}=\pi _{11}/\pi _{21}.}$

ただし、これではまだ需要方程式の構造パラメータを特定できないことに注意してください。そのためには、構造モデルの供給方程式には含まれるが、需要方程式には含まれない外生変数が必要になります。

y をM 個の内生変数の列ベクトルとする。QとPの上記ケースでは、 M = 2であった。z をK 個の外生変数の列ベクトルとする 。上記ケースでは、z はZのみで構成されていた。構造線形モデルは

${\displaystyle Ay=Bz+v,}$

ここで、は構造衝撃のベクトルであり、 AとBは行列です。 Aは正方M  × M行列で、BはM × K行列です。 システムの簡約形は次のようになります。 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle y=A^{-1}Bz+A^{-1}v=\Pi z+w,}$

簡約形式エラーのベクトルはすべての構造エラーに依存し、簡約形式が存在し一意であるためには行列A が非特異でなければなりません。また、各内生変数は潜在的に各外生変数に依存します。 ${\displaystyle w}$

AとBに制約がなければ、 yとzのデータからAとBの係数を識別することはできません。構造モデルの各行は、未知の係数を持つyとzの単なる線形関係です。(これもパラメータ識別問題です。) M 個の簡約形方程式 (上記の行列方程式y = Π zの行) は、それぞれに 1 つの内生変数しか含まれていないため、データから識別できます。

• 連立方程式モデル#構造形式と簡約形式
• 線形方程式のシステム
• 連立方程式
• 「縮小形式」も信用スプレッドモデリングのアプローチの 1 つです。Jarrow -Turnbull モデルを参照してください。

• ドハティ、クリストファー (2011)。「同時方程式推定」。計量経済学入門(第 4 版)。ニューヨーク: オックスフォード大学出版局。pp. 331–353。ISBN 978-0-19-956708-9。
• ゴールドバーガー、アーサー S. (1964)。「縮小形式推定と間接最小二乗法」。計量経済理論。ニューヨーク: ワイリー。pp. 318–329。ISBN 0-471-31101-4。
• Klein, Lawrence R. (1974)。「線形連立方程式の回帰システム」。計量経済学の教科書(第 2 版)。Englewood Cliffs: Prentice-Hall。pp. 131–196。ISBN 0-13-912832-8。
• クメンタ、ヤン(1986)。『計量経済学の要素』（第2版）。ニューヨーク：マクミラン。pp. 651–660。ISBN 0-02-365070-2。
• ウールドリッジ、ジェフリー・M（2002）。クロスセクションとパネルデータの計量分析。ケンブリッジ：MITプレス。pp.211-215。ISBN 0-262-23219-7。

• Thoma, Mark (2011年2月18日). 「計量経済学講義（トピック：構造方程式と簡約形方程式）」.経済学421/521 . オレゴン大学. 2021年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。