同時方程式モデル

同時方程式モデルは、従属変数が単なる独立変数ではなく、他の従属変数の関数であるタイプの統計モデルです。 ^[1]これは、説明変数の一部が従属変数と共同で決定されることを意味します。これは通常、経済学では何らかの基礎となる均衡メカニズムの結果です。典型的な需要と供給のモデルを取り上げます。通常、供給量と需要量は市場によって設定された価格の関数として決定されますが、その逆、つまり生産者が消費者の需要量を観察し、価格を設定することも可能になります。^[2]

同時性は、回帰変数の厳密な外生性に関するガウス・マルコフの仮定に反するため、関心のある統計パラメータの推定に課題をもたらします。すべての同時方程式を一度に推定するのが自然ですが、これは多くの場合、最も単純な線形方程式のシステムであっても、計算コストのかかる非線形最適化問題につながります。^[3]この状況により、 1940年代と1950年代にCowles委員会が先頭に立って、モデル内の各方程式を順番に推定するさまざまな手法の開発が促進されました。 ^[4]最も有名なのは、限定情報最大尤度法と2段階最小二乗法です。^[5]

次のような回帰方程式が m個あるとする。

${\displaystyle y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,}$

ここで、iは方程式の番号、t = 1, ..., Tは観測インデックスです。これらの方程式では、x _itは外生変数のk _i × 1 ベクトル、 y _itは従属変数、y _−i,tは右辺のi^番目の方程式に入る他のすべての内生変数のn _i × 1 ベクトル、 u _{it は}誤差項です。「− i」という表記は、ベクトルy _−i,tにはy _it (左辺に既に存在するため) 以外のy のいずれかが含まれる可能性があることを示しています。回帰係数β _iとγ _iは、それぞれk _i × 1 とn _i × 1の次元です。i^番目の方程式に対応するT 個の観測値を垂直に積み重ねると、各方程式をベクトル形式で次のように記述できます 。

${\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,}$

ここで、y _iとu _iはT× 1ベクトル、X _iは外生回帰変数のT×k _i行列、Y _{−i は}i^番目の式の右側にある内生回帰変数のT×n _i行列である。最後に、すべての内生変数を左側に移動し、 m個の式をベクトル形式でまとめて次のように 書くことができる。

${\displaystyle Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,}$

この表現は構造形式として知られています。この方程式で、Y = [ y ₁ y ₂ ... y _m ]は従属変数のT×m行列です。各行列Y _−iは、実際にはこのYのn _i列の部分行列です。従属変数間の関係を記述するm×m行列 Γ は複雑な構造になっています。対角線上に 1 が含まれ、各列iの他のすべての要素は、行列 Y −iにどのYの列が含まれていたかに応じて、ベクトル−γ _iの成分かゼロのいずれかになります。T ×k行列Xには、すべての方程式のすべての外生回帰変数が含まれますが、重複_はありません (つまり、行列X はフルランクである必要があります)。したがって、各X _{i は}Xのk _i列の部分行列です。行列 Β のサイズはk×mで、各列はベクトルβ _iの要素とゼロで構成されます。これは、 Xのどの回帰変数がX _iに含まれたか、または除外されたかによって異なります。最後に、U = [ u ₁ u ₂ ... u _m ]は誤差項の T×m行列です。

構造方程式にΓ ⁻¹を掛けると、系は次のように 簡約された形で表すことができる。

${\displaystyle Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,}$

これはすでに単純な一般線形モデルであり、たとえば通常の最小二乗法で推定できます。残念ながら、推定された行列を個々の因子 Β とΓ ⁻¹に分解する作業は非常に複雑であるため、簡約された形式は予測には適していますが、推論には適していません。 ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\Pi }}}$

まず、外生回帰変数の行列Xの階数は、有限サンプルとT → ∞の極限の両方でkに等しくなければなりません(この後者の要件は、極限で式が非退化k×k行列に収束する必要があることを意味します)。行列 Γ も非退化であると想定されます。 ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X}$

第二に、誤差項は直列独立かつ同一に分布していると仮定します。つまり、行列Uのt^{番目の行が}u _{( t )}で表される場合、ベクトルのシーケンス { u _{( t )} } は iid で、平均はゼロで共分散行列 Σ (未知) を持ちます。特に、これはE[ U ] = 0、およびE[ U′U ] = T  Σであることを意味します。

最後に、識別には仮定が必要です。

識別条件では、線形方程式系が未知のパラメータに対して解けることが 必要です。

より具体的には、識別に必要な条件である順序条件は、各方程式k _i + n _i ≤ kについて、「除外された外生変数の数が、含まれる内生変数の数以上である」というものです。

ランク条件は、_必要かつ十分なより強い条件であり、Π _{i 0}のランクがn _{i に}等しいというものです。ここで、Π _{i 0は、除外された内生変数に対応する列と、含まれる外生変数に対応する行を消去することによって}Πから得られる( k − k _i )× n i 行列です。

同時方程式モデルでは、同定を達成するための最も一般的な方法は、方程式内のパラメータ制約を課すことです。^[6] しかし、方程式間の制約を使用して同定することも可能です。

交差方程式制約が識別にどのように使用されるかを説明するために、Wooldridge ^{[6]の次の例を考えてみましょう。}

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}}$

ここで、z は u と無相関であり、y は内生変数です。さらに制限がなければ、除外される外生変数がないため、最初の式は特定されません。2 番目の式は、δ ₁₃ ≠0の場合にのみ特定され、これは残りの議論では真であると仮定されます。

ここで、 δ ₁₂ = δ ₂₂の交差方程式制限を課します。2番目の方程式は識別されているので、識別の目的で δ _{12 を}既知として扱うことができます。すると、最初の方程式は次のようになります。

${\displaystyle y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}}$

次に、右辺に1つの内生変数（ y ₂）と1つの除外外生変数（z ₂ ）があるため、（z ₁、z ₂、z ₃）を道具として使用して、上記の式の係数を推定することができます。したがって、式内制約の代わりに式間制約を使用すると、識別を実現できます。

同時方程式モデルの最も単純で一般的な推定法は、いわゆる2段階最小二乗法であり、^[7] Theil (1953) と Basmann (1957) によって独立に開発されました。^{[8] [9] [10]}これは方程式ごとの手法であり、各方程式の右側の内生的回帰変数には、他のすべての方程式の回帰変数Xが組み込まれています。この方法は、推定を2段階で行うため、「2段階」と呼ばれています。^[7]

ステップ1 : Y _−iをXに回帰し、予測値を取得します。${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}$

ステップ2 : y _i onとX _iの通常の最小二乗回帰によってγ _i、β _{i を}推定します。${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}$

モデル内の i^番目の方程式が次のように書かれるとする。

${\displaystyle y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},}$

ここで、Z _iはi^番目の方程式における内生的および外生的回帰変数のT× ( n _i  + k _i )行列であり、δ _iは回帰係数の( n _i  + k _i )次元ベクトルである場合、 δ _iの2SLS推定量は^[7]で与えられる。

${\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},}$

ここでP = X  ( X  ′ X ) ⁻¹ X  ′は外生回帰変数Xによって張られる線形空間への射影行列である。

間接最小二乗法は、同時方程式モデルの係数を通常の最小二乗法を使用して簡約形式モデルから推定する計量経済学のアプローチです。[ ^{11] [12]} このために、構造方程式系は最初に簡約形式に変換されます。係数が推定されると、モデルは構造形式に戻されます。

「限定情報」最大尤度法は、1947年にMA Girshickによって提案され、 ^[13] 1949年にTW AndersonとH. Rubinによって形式化されました。 ^[14]これは、一度に1つの構造方程式を推定することに関心がある場合（そのため、限定情報という名前が付けられています）、たとえば観測値iに対して使用されます。

${\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}}$

_{残りの内生変数Y −i}の構造方程式は指定されておらず、簡約された形で与えられている。

${\displaystyle Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}}$

このコンテキストでの表記は、単純なIV の場合とは異なります。次のようになります。

• ${\displaystyle Y_{-i}}$: 内生変数。
• ${\displaystyle X_{-i}}$: 外生変数
• ${\displaystyle X}$: 楽器（多くの場合 と表記される）${\displaystyle Z}$

LIMLの明示的な式は以下の通りである: ^[15]

${\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},}$

ここでM = I − X  ( X  ′ X ) ⁻¹ X  ′であり、λは行列の最小の特性根である。

${\displaystyle {\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}}$

ここで、同様に、 M _i = I − X _i  ( X _i ′ X _i ) ⁻¹ X _i ′です。

言い換えれば、λは一般化固有値問題の最小解です。Theil (1971, p. 503)を参照してください。

${\displaystyle {\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0}$

LIMLはKクラス推定量の特別なケースである: ^[16]

${\displaystyle {\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,}$

と：

• ${\displaystyle \delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}}$

いくつかの推定器がこのクラスに属します。

• κ=0: OLS
• κ=1: 2SLS。この場合、2SLSの通常の射影行列は${\displaystyle I-\kappa M=I-M=P}$
• κ=λ: LIML
• κ=λ - α / (nK): Fuller (1977) 推定量。^[17]ここで、Kは機器の数、nはサンプルサイズ、αは指定する正の定数です。α=1の値は、ほぼ偏りのない推定量を生成します。^[16]

3段階最小二乗推定量は、ZellnerとTheil（1962）によって導入されました。^{[18] [19]これは、}操作変数のセットがすべての方程式に共通である多方程式GMM の特殊なケースと見ることができます。^[20]すべての回帰変数が実際に事前に決定されている場合、3SLSは一見無関係な回帰（SUR）に縮小されます。したがって、 2段階最小二乗（2SLS）とSURの組み合わせと見ることもできます。

分野や学問を超えて、同時方程式モデルは様々な観測現象に適用されます。これらの方程式は、現象が相互に因果関係にあると仮定した場合に適用されます。典型的な例は、経済学における需要と供給です。他の分野では、候補者の評価と政党支持^{[21] 、}政治学における世論と社会政策、^{[22] [23]、}地理学における道路投資と旅行需要、^{[24] 、}社会学や人口統計学における教育達成と親になること^[25]などの例があります。同時方程式モデルでは、因果効果が方程式の一方的な「ブロック」ではなく同時フィードバックとして推定される場合、特別な機能を含む相互因果理論が必要です。この場合、研究者は、XのYに対する因果効果に関心があり、YのXに対する因果効果は一定に保たれている場合、または研究者は各因果効果が発生するのにかかる正確な時間、つまり因果ラグの長さを知っている場合です。同時フィードバックとは、遅延効果の代わりに、XとYがお互いに及ぼす同時かつ永続的な影響を推定することを意味します。これには、因果効果が時間的に同時であるか、非常に複雑であるため同時に動作するように見えるという理論が必要です。一般的な例としては、ルームメイトの気分があります。^[26]同時フィードバックモデルを推定するには、均衡理論も必要です。つまり、XとYは比較的安定した状態にあるか、比較的安定した状態にあるシステム（社会、市場、教室）の一部であるということです。^[27]

• 一般線形モデル
• 一見無関係な回帰
• 縮小形
• パラメータ識別問題

• アステリオウ、ディミトリオス、ホール、スティーブン G. (2011)。応用計量経済学 (第 2 版)。ベイジングストーク: パルグレイブ マクミラン。p. 395。ISBN 978-0-230-27182-1。
• チョウ、グレゴリー C. (1983)。計量経済学。ニューヨーク：マグロウヒル。pp. 117–121。ISBN 0-07-010847-1。
• Fomby, Thomas B.; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984) 「同時方程式モデル」高度計量経済学的手法ニューヨーク: Springer. pp. 437–552. ISBN 0-387-90908-7。
• Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009)。「同時方程式モデル」。計量経済学入門(第 4 版)。ニューヨーク: Wiley。pp. 355–400。ISBN 978-0-470-01512-4。
• Ruud, Paul A. (2000) 「同時方程式」古典計量経済理論入門オックスフォード大学出版局 pp. 697–746 ISBN 0-19-511164-8。
• サーガン、デニス(1988)。『上級計量経済理論講義』オックスフォード:バジル・ブラックウェル。pp. 68–89。ISBN 0-631-14956-2。
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013) 「同時方程式モデル」入門計量経済学(第 5 版) サウスウェスタン。pp. 554–582。ISBN 978-1-111-53104-1。

• 2SLS における識別問題と推定に関するYouTubeのMark Thomaによる講義