一見無関係な回帰

計量経済学において、一見無関係な回帰( SUR ) ^{[1] : 306  [2] : 279  [3] : 332}または 一見無関係な回帰方程式( SURE ) ^{[4] [5] : 2}モデルは、アーノルド・ゼルナー(1962) によって提唱され、それぞれが独自の従属変数と潜在的に異なる外生説明変数のセットを持つ複数の回帰方程式で構成される線型回帰モデルの一般化です。各方程式は、それ自体で有効な線型回帰であり、個別に推定できるため、このシステムは一見無関係と呼ばれます^{[3] : 332}が、一部の著者は、誤差項が方程式間で相関していると想定されるため、一見関連しているという用語の方が適切であると主張しています^{[1] : 306}。

モデルは、標準的な最小二乗法(OLS) を使用して方程式ごとに推定できます。このような推定は一貫していますが、一般的に、分散共分散行列の特定の形式を使用した実行可能な一般化最小二乗法に相当する SUR 法ほど効率的ではありません。SUR が実際に OLS と同等となる 2 つの重要なケースは、方程式間で誤差項が実際には相関していない場合 (つまり、完全に無関係である場合) と、各方程式の右側にまったく同じ回帰変数のセットが含まれている場合です。

SUR モデルは、行列内の特定の係数が 0 に制限される一般線型モデルの簡略化、または各方程式の右側の回帰変数が異なることが許可される一般線型モデルの一般化として見ることができます。SUR モデルは、右側の回帰変数が内生変数になることも許可される 同時方程式モデルにさらに一般化できます。${\displaystyle \mathrm {B} }$

m個の回帰方程式 があるとする

${\displaystyle y_{ir}=x_{ir}^{\mathsf {T}}\;\!\beta _{i}+\varepsilon _{ir},\quad i=1,\ldots ,m.}$

ここで、i は方程式の番号、r = 1、…、R は個々の観測値を表し、列ベクトルの転置を取っています。観測値の数Rは大きいと想定されるため、分析ではR →を取りますが、方程式の数mは固定のままです。 ${\displaystyle x_{ir}}$${\displaystyle \infty}$

各方程式i には、単一の応答変数y _irと、回帰変数x _irのk _i次元ベクトルがあります。 i番目の方程式に対応する観測値をR次元のベクトルと行列に積み重ねると、モデルはベクトル形式で次のように記述できます。

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\beta _{i}+\varepsilon _{i},\quad i=1,\ldots ,m,}$

ここで、y _iとε _iはR ×1 ベクトル、X _iはR × k _i行列、β _{i は}k _i ×1 ベクトルです。

最後に、これらのm個のベクトル方程式を積み重ねると、システムは^{[4]の形になります。式(2.2)}

このモデルの仮定は、誤差項ε _{ir は}観測値間で独立しているが、観測値内では相互相関関係がある可能性があるというものである。したがって、 r ≠ s の場合は常に E[ ε ir ε ] = 0 であるが、 E[ ε ir ε jr | X ] = σ ij であると仮定する。各観測値の m×m 分散行列を Σ = [ σ ij ]とする_と、_積み重ねられた誤差項_εの_共分散行列は次_の式に等しくなる[ ₄ ] :式( ^{2.4 )  [3] : 332}

${\displaystyle \Omega \equiv \operatorname {E} [\,\varepsilon \varepsilon ^{\mathsf {T}}\,|X\,]=\Sigma \otimes I_{R},}$

ここで、I _{R は}R次元の単位行列であり、⊗ は行列クロネッカー積を表します。

SURモデルは、通常、実行可能一般化最小二乗法（FGLS）を使用して推定されます。これは2段階の方法で、最初のステップでは（ 1 ）の通常の最小二乗回帰を実行します。この回帰からの残差は、行列の要素を推定するために使用されます：^{[6] ：198}${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}={\frac {1}{R}}\,{\hat {\varepsilon }}_{i}^{\mathsf {T}}{\hat {\varepsilon }}_{j}.}$

2番目のステップでは、分散行列を使用して（1 ）の一般化最小二乗回帰を実行します。 ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\Omega }}\;=\;{\hat {\Sigma }}\,\otimes \,I_{R}}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\Big (}X^{\mathsf {T}}({\hat {\Sigma }}^{-1}\otimes I_{R})X{\Big )}^{\!-1}X^{\mathsf {T}}({\hat {\Sigma }}^{-1}\otimes I_{R})\,y.}$

この推定量は、誤差項εir_が対称分布を持つと仮定すると、小さなサンプルでは偏りがなく、大きなサンプルでは限界分布と整合し、漸近的に正規分布となる^{[6] : 198}

${\displaystyle {\sqrt {R}}({\hat {\beta }}-\beta )\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}{\Big (}\,0,\;{\Big (}{\tfrac {1}{R}}X^{\mathsf {T}}(\Sigma ^{-1}\otimes I_{R})X{\Big )}^{\!-1}\,{\Big )}.}$

SURモデルには、FGLS以外の推定技術も提案されている：^[7]誤差が正規分布していると仮定した最大尤度（ML）法、反復一般化最小二乗法（IGLS）では、FGLSの2番目のステップからの残差を使用して行列を再計算し、GLSを使用して再度推定するなど、収束が達成されるまで繰り返し実行される、反復一般化最小二乗法（IOLS）スキームでは、推定は方程式ごとに実行されるが、各方程式には、相互方程式相関を考慮するために、以前に推定された方程式からの残差が追加の回帰変数として含まれており、収束が達成されるまで推定が反復的に実行される。 KmentaとGilbert（1968）はモンテカルロ研究を行い、IGLS、IOLS、MLの3つの方法すべてが数値的に同等の結果をもたらすことを明らかにしました。また、これらの推定値の漸近分布はFGLS推定値の分布と同じであることがわかりましたが、小さなサンプルでは、​​どちらの推定値も他の推定値よりも優れているわけではありませんでした。^[8] ZellnerとAndo（2010）は、SURモデルのベイズ分析のための直接モンテカルロ法を開発しました。^[9]${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\Sigma }}}$${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\beta }}}$

SUR 推定値が方程式ごとの OLS と同等になる重要なケースが 2 つあります。これらのケースは次のとおりです。

1. 行列 Σ が対角行列であることが分かっている場合、つまり、誤差項間に相互方程式の相関関係がない場合、システムは一見無関係になるのではなく、実際に無関係になります。
2. 各方程式にまったく同じ回帰変数のセットが含まれている場合、X ₁ = X ₂ = … = X _mとなります。推定値が数値的にOLS推定値と同じになることは、クラスカルの木定理^{[1] : 313}に従うか、直接計算によって示されます。^{[6] : 197}

• Rでは、SURはパッケージ「systemfit」を使用して推定することができます。^{[10] [11] [12] [13]}
• SASでは、SURは手順を使用して推定することができますsyslin。^[14]
• Stataでは、SURはコマンドsuregとコマンドを使用して推定することができますsuest。^{[15] [16] [17]}
• Limdepでは、SURはsureコマンド^[18]を使用して推定できる。
• Pythonでは、 SUR「linearmodels」パッケージのコマンドを使用してSURを推定することができます。 ^[19]
• gretlでは、コマンドを使用して SUR を推定できますsystem。

• 一般線形モデル
• 同時方程式モデル

• デイビッドソン、ジェームズ（2000年）計量経済理論オックスフォード：ブラックウェルpp.308-314。ISBN 978-0-631-17837-8。
• Fiebig, Denzil G. (2001)。「一見無関係な回帰」。Baltagi, Badi H. (編)。理論計量経済学入門。オックスフォード: ブラックウェル。pp . 101–121。ISBN 978-0-631-21254-6。
• グリーン、ウィリアム H. (2012)。計量経済分析（第 7 版）。アッパー サドル リバー: ピアソン プレンティス ホール。pp. 332–344。ISBN 978-0-273-75356-8。