検出理論

検出理論または信号検出理論は、情報を伝えるパターン（生体では刺激、機械では信号と呼ばれる）と、情報から注意をそらすランダムなパターン（背景刺激と検出機械および操作者の神経系のランダムな活動からなるノイズと 呼ばれる）を区別する能力を測定する手段です。

電子工学の分野では、信号回復とは、そのようなパターンを偽装する背景から分離することです。^[1]

理論によれば、検出システムが信号を検出する方法とその閾値レベルを決定する要因は多数あります。この理論は、閾値の変更が識別能力にどのように影響するかを説明でき、多くの場合、システムがその対象とするタスク、目的、目標にどれだけ適応しているかを明らかにします。検出システムが人間である場合、経験、期待、生理的状態（疲労など）などの特性やその他の要因が、適用される閾値に影響を与える可能性があります。たとえば、戦時の歩哨は、基準が低いため、平時の同じ歩哨よりも弱い刺激を検出する可能性がありますが、無害な刺激を脅威として扱う可能性も高くなります。

検出理論の初期の研究の多くはレーダー研究者によって行われました。^{[2] 1954年までに、理論は}ピーターソン、バーズオール、フォックスによって理論的に完全に開発され、 ^[3]心理学的理論の基礎は、同じく1954年にウィルソン・P・タナー、デビッド・M・グリーン、ジョン・A・スウェッツによって作られました。 ^[4] 検出理論は、1966年にジョン・A・スウェッツとデビッド・M・グリーンによって心理物理学に使用されました。^[5]グリーンとスウェッツは、被験者の実際の感度と（潜在的な）反応バイアスを区別できないとして、心理物理学の従来の方法を批判しました。^[6]

検出理論は、あらゆる種類の診断、品質管理、電気通信、心理学など、多くの分野に応用されています。この概念は、科学で使用される信号対雑音比や、人工知能で使用される混同行列に似ています。また、重要なイベントを背景ノイズから分離することが重要なアラーム管理にも使用できます。

信号検出理論（SDT）は、心理学者が不確実な状況下で私たちがどのように意思決定を行うかを測定する際に使用されます。例えば、霧の状況や目撃者の身元確認の際に私たちがどのように距離を知覚するかなどです。 ^{[7] [8]} SDTは、意思決定者が受動的な情報の受信者ではなく、不確実な状況下で難しい知覚判断を行う能動的な意思決定者であると想定しています。霧の状況では、霧によって損なわれた視覚刺激のみに基づいて、物体が自分からどれだけ離れているかを判断せざるを得ません。脳は信号機などの物体の明るさを使って物体までの距離を判別しますが、霧によって物体の明るさが減るため、私たちは物体を実際よりもはるかに遠くにあると知覚します（意思決定理論も参照）。SDTによると、目撃者の身元確認中、目撃者は容疑者との親密度に基づいて、容疑者が犯人かどうかを決定します。

刺激が存在するか存在しないかのデータ セットに信号検出理論を適用し、観察者が各試行を刺激が存在するか存在しないかに分類すると、試行は次の 4 つのカテゴリのいずれかに分類されます。

これらのタイプの試験の割合に基づいて、感度指数d'やA'などの統計を使用して感度の数値推定値を取得できます。 ^[9] また、応答バイアスはcやβなどの統計を使用して推定できます。^[9] βは応答バイアスの尺度です。^[10]

信号検出理論は、記憶実験にも応用できます。記憶実験では、項目が後でテストするために学習リストに提示されます。テスト リストは、これらの「古い」項目と、学習リストに表示されなかった新しい「新しい」項目を組み合わせて作成されます。各テスト試行で、被験者は「はい、これは学習リストにありました」または「いいえ、これは学習リストにありませんでした」と応答します。学習リストに表示された項目はターゲットと呼ばれ、新しい項目はディストラクタと呼ばれます。ターゲットに対して「はい」と言うとヒットとなり、ディストラクタに対して「はい」と言うと誤報となります。

信号検出理論は、人間と動物の両方に幅広く応用されています。トピックには、記憶、強化スケジュールの刺激特性など が含まれます。

概念的には、感度とは、背景の出来事から標的刺激が存在することを検出するのがどれだけ難しいか、または簡単かを指します。たとえば、認識記憶パラダイムでは、覚えるべき単語を長く学習すると、以前に見たり聞いたりした単語を認識しやすくなります。対照的に、5語ではなく30語を覚えなければならないと、識別が難しくなります。感度を計算するために最も一般的に使用される統計の1つは、いわゆる感度指数またはd'です。ROC曲線の下の領域などの非パラメトリックな指標もあります。^[6]

バイアスとは、刺激がある場合とない場合を平均して、ある反応が他の反応よりも起こりやすい程度です。つまり、受信者は、刺激が存在すると反応する可能性が全体的に高いか、または刺激が存在しないと反応する可能性が全体的に高い可能性があります。バイアスは感度とは無関係です。誤報と見逃しが異なるコストにつながる場合、バイアスは望ましい場合があります。たとえば、刺激が爆弾犯である場合、見逃し (爆弾犯を検出できないこと) は誤報 (爆弾犯がいないのに報告すること) よりもコストがかかる可能性があるため、寛大な反応バイアスが望ましいものになります。対照的に、誤報を頻繁に行うと (狼少年を泣き叫ぶ)、人々は反応する可能性が低くなる可能性がありますが、この問題は保守的な反応バイアスによって軽減できます。

信号検出理論と密接に関連する別の分野は、圧縮センシング（または圧縮センシング）と呼ばれます。圧縮センシングの目的は、高次元でありながら複雑性の低いエンティティを、わずか数回の測定から回復することです。したがって、圧縮センシングの最も重要な用途の 1 つは、わずか数回の線形測定でスパース（またはほぼスパース）であることが知られている高次元信号の回復です。信号がスパースである、つまり、信号に非ゼロ要素がいくつか含まれているだけであれば、信号の回復に必要な測定の数は、ナイキストのサンプリング定理で要求される数よりもはるかに少なくなります。圧縮センシングには、基底追求、エキスパンダー回復アルゴリズム^[11] 、CoSaMP ^{[12] 、}高速 非反復アルゴリズム^[13]など、さまざまな信号回復方法があります。上記のすべての回復方法において、確率的構成または決定論的構成を使用して適切な測定行列を選択することが非常に重要です。言い換えれば、堅牢なスパース回復を実現するには、 測定行列がRIP (制限等長特性) やヌル空間特性などの特定の条件を満たす必要があります。

特定の観測値yに対して、2 つの仮説H1（存在しない）とH2 （存在する）の間で決定を下す場合、古典的なアプローチは、p(H1|y) > p(H2|y)の場合はH1 を選択し、その逆の場合はH2 を選択することです。 ^{[14] 2 つの}事後確率が等しい場合は、デフォルトで単一の選択肢（常にH1 を選択するか、常にH2 を選択する）を選択するか、H1またはH2のいずれかをランダムに選択することができます。H1とH2の事前確率は、常に事前確率の高い仮説を選択するなど、この選択を導くことができます。

このアプローチを取る場合、通常、条件付き確率p(y|H1)とp(y|H2)、および事前確率とが分かっています。この場合、 ${\displaystyle p(H1)=\pi _{1}}$${\displaystyle p(H2)=\pi _{2}}$

${\displaystyle p(H1|y)={\frac {p(y|H1)\cdot \pi _{1}}{p(y)}}}$、

${\displaystyle p(H2|y)={\frac {p(y|H2)\cdot \pi _{2}}{p(y)}}}$

ここでp(y)は事象yの全確率であり、

${\displaystyle p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}$。

H2が選ばれる場合

${\displaystyle {\frac {p(y|H2)\cdot \pi _{2}}{p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}}\geq {\frac {p(y|H1)\cdot \pi _{1}}{p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}\geq {\frac {\pi _{1}}{\pi _{2}}}}$

それ以外の場合はH1です。

多くの場合、比率はと呼ばれ、 は尤度比 と呼ばれます。 ${\displaystyle {\frac {\pi _{1}}{\pi _{2}}}}$${\displaystyle \tau_{MAP}}$${\displaystyle {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}}$${\displaystyle L(y)}$

この用語を使用すると、の場合にH2 が選択されます。これは MAP テストと呼ばれ、MAP は「最大事後確率」 の略です。${\displaystyle L(y)\geq \tau _{MAP}}$

このアプローチを採用すると、発生するエラーの予想数が最小限に抑えられます。

場合によっては、H2に適切に対応するよりも、H1に適切に対応することのほうがはるかに重要です。たとえば、H1（核兵器を積んだ爆撃機が接近中）を示す警報が鳴った場合、H1 = TRUEであれば爆撃機を撃墜することの方が、誤報（つまり、H1 = FALSE、H2 = TRUE）を調査するために戦闘機隊を派遣することを避けることよりもはるかに重要です（戦闘機隊が多数あると仮定）。ベイズ基準は、このような場合に適したアプローチです。^[14]

ここでは、ユーティリティは次の 4 つの状況のそれぞれに関連付けられています。

• ${\displaystyle U_{11}}$: H1 に適切な行動で応答し、H1 が真である: 戦闘機は爆撃機を破壊し、燃料、メンテナンス、武器のコストが発生し、一部が撃墜されるリスクを負う。
• ${\displaystyle U_{12}}$: H1 に適切な行動で応答し、H2 が真である場合: 戦闘機が派遣され、燃料とメンテナンスのコストが発生し、爆撃機の位置は不明のままです。
• ${\displaystyle U_{21}}$: H2 に適切な行動で応答し、H1 が真である: 都市は破壊される。
• ${\displaystyle U_{22}}$: H2 に適切な行動で応答し、H2 が真である: 戦闘機は家に留まり、爆撃機の位置は不明のままである。

以下に示すように、重要なのは相違点、およびです。 ${\displaystyle U_{11}-U_{21}}$${\displaystyle U_{22}-U_{12}}$

同様に、各ケースには、などの4 つの確率があります(これは意思決定戦略によって異なります)。 ${\displaystyle P_{11}}$${\displaystyle P_{12}}$

ベイズ基準アプローチは期待効用を最大化することです。

${\displaystyle E\{U\}=P_{11}\cdot U_{11}+P_{21}\cdot U_{21}+P_{12}\cdot U_{12}+P_{22}\cdot U_{22}}$

${\displaystyle E\{U\}=P_{11}\cdot U_{11}+(1-P_{11})\cdot U_{21}+P_{12}\cdot U_{12}+(1-P_{12})\cdot U_{22}}$

${\displaystyle E\{U\}=U_{21}+U_{22}+P_{11}\cdot (U_{11}-U_{21})-P_{12}\cdot (U_{22}-U_{12})}$

事実上、合計を最大化することができる。

${\displaystyle U'=P_{11}\cdot (U_{11}-U_{21})-P_{12}\cdot (U_{22}-U_{12})}$、

次のように置き換えます。

${\displaystyle P_{11}=\pi _{1}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H1)\,dy}$

${\displaystyle P_{12}=\pi _{2}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H2)\,dy}$

ここで、およびは事前確率、およびであり、H1が真であるかのように応答される観測イベントyの領域です。 ${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle \pi _{2}}$${\displaystyle P(H1)}$${\displaystyle P(H2)}$${\displaystyle R_{1}}$

${\displaystyle \Rightarrow U'=\int _{R_{1}}\left\{\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)-\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)\right\}\,dy}$

${\displaystyle U'}$そして、その効果は、 ${\displaystyle U}$${\displaystyle R_{1}}$

${\displaystyle \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)-\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)>0}$

これはH2を決定することによって達成される。

${\displaystyle \pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)\geq \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)}$

${\displaystyle \Rightarrow L(y)\equiv {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}\geq {\frac {\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})}{\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})}}\equiv \tau _{B}}$

それ以外の場合はH1となり、ここでL(y)は定義された尤度比となる。

ダスとガイスラー^[15]は、正規分布する刺激に対する信号検出理論の結果を拡張し、 2つ以上のカテゴリから単変量および多変量正規信号を検出および分類するための、理想的な観察者と非理想的な観察者 のエラー率と混同行列を計算する方法を導出した。

• Coren, S., Ward, LM, Enns, JT (1994)感覚と知覚(第 4 版) トロント: Harcourt Brace.
• ケイ、SM.統計信号処理の基礎：検出理論（ISBN 0-13-504135-X） 
• McNichol, D. (1972)信号検出理論入門ロンドン: George Allen & Unwin.
• Van Trees HL.検出、推定、変調理論、パート 1 ( ISBN 0-471-09517-6 ; ウェブサイト) 
• ウィッケンズ、トーマス・D.、(2002) 「初等信号検出理論」ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。( ISBN 0-19-509250-3 ) 

• 信号検出理論の説明
• SDTの安全性への応用
• 信号検出理論、ギャレット・ネスケ著、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト
• スティーブン・ピンカーの講演