信号フローグラフ

一般的に、複雑なシステムにおける変数の選択方法は複数存在する。それぞれの選択に対応して方程式系を記述することができ、各方程式系はグラフで表現できる。対象システムの概略図から直接グラフを描画できる技術を利用できれば、方程式の定式化は直接的かつ自動的に行える。このようにして得られるグラフの構造は概略図のトポロジーと単純な関係にあり、グラフを得るために方程式を暗黙的に考慮する必要さえなくなる。場合によっては、概略図にフローグラフをイメージするだけで、フローグラフを描画することなく必要な答えが得られることもある。

Robichaud らは次のように書いています。「信号の流れグラフには、それが導出された方程式と同じ情報が含まれていますが、グラフと方程式系の間には 1 対 1 の対応関係はありません。1 つのシステムでは、左辺に記述された変数を定義するために方程式を使用する順序に応じて、異なるグラフが生成されます。」^{[ 9 ]}すべての方程式がすべての従属変数に関係している場合、選択できる SFG はn ! 通りあります。 ^{[ 11 ]}

線形信号フローグラフは、次の形式の線形方程式系^{[ 15 ]に関連付けられています。}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }t_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle t_{jk}}$= 透過率（または利得）${\displaystyle x_{k}}$に${\displaystyle x_{j}}$。

右の図は、信号フローグラフ（SFG）のさまざまな要素と構造を示しています。^{[ 16 ]}

図(a)はノードです。この場合、ノードにはラベルが付けられています。${\displaystyle x}$ノードとは、変数または信号を表す頂点のことです。

ソースノードは、出力枝のみを持ちます（独立変数を表します）。入力ノードは特殊なケースとして、ノードから外向きの矢印が1本以上あり、ノード内向きの矢印がないという特徴を持ちます。開いた完全なSFGには、少なくとも1つの入力ノードが存在します。

出力ノードまたはシンクノードには、入力ブランチ（従属変数を表す）のみがあります。どのノードも出力ノードになり得ますが、明確さを保つために明示的な出力ノードがよく使用されます。明示的な出力ノードは、ノードに向かう矢印が1つ以上あり、ノードから離れる矢印がないという特徴があります。明示的な出力ノードは必須ではありません。

混合ノードは、入力ブランチと出力ブランチの両方を持つ。

図(b)は乗法的な利得を持つ分岐であり、${\displaystyle m}$つまり、矢印の先端の出力は${\displaystyle m}$矢印の末尾の入力の倍数。ゲインは単純な定数または関数（たとえば、変換変数などの関数）にすることができます。${\displaystyle s}$、${\displaystyle \omega }$、 または${\displaystyle z}$（ラプラス変換、フーリエ変換、またはZ変換の関係について）。

図(c)は、乗法ゲインが1の分岐回路です。ゲインが省略されている場合は、ゲインは1であるとみなされます。

証拠資料（d）${\displaystyle V_{\text{in}}}$は入力ノードです。この場合、${\displaystyle V_{\text{in}}}$ゲインを掛け合わせる${\displaystyle m}$。

証拠資料（e）${\displaystyle I_{\text{out}}}$は明示的な出力ノードであり、入力エッジのゲインは${\displaystyle m}$。

図（f）は加算を示しています。2つ以上の矢印がノードに向かっている場合、エッジによって伝送される信号が加算されます。

図(g)は単純なループを示しています。ループゲインは${\displaystyle A\times m}$。

図(h)は表現を示しています${\displaystyle Z=aX+bY}$。

線形SFG理論で使用される用語には、次のものも含まれます。^{[ 16 ]}

• パス。パスとは、分岐矢印で示された方向にたどられる、連続した一連の分岐のことです。
  • パスが開いている状態。ノードが再訪されない場合、パスは開いている状態です。
  • 順方向パス。入力ノード（ソース）から出力ノード（シンク）まで、どのノードも再訪しないパス。
• パスゲイン：パス内のすべての分岐のゲインの積。
• ループ。閉じた経路。（始点と終点が同じノードであり、どのノードも複数回アクセスされない。）
• ループゲイン：ループ内のすべての分岐のゲインの積。
• 非接触ループ。非接触ループには共通のノードがありません。
• グラフ縮小。グラフ変換を用いて、グラフから1つまたは複数のノードを削除すること。
  • 残余ノード。グラフ縮小のあらゆるプロセスにおいて、新しいグラフに残されるノードは残余ノードと呼ばれる。^{[ 2 ]}
• ノードの分割。ノードの分割は、ノードを2つの半分のノードに分割することに対応し、一方はシンク、もう一方はソースとなる。^{[ 17 ]}
• インデックス：グラフのインデックスとは、グラフ内のすべてのループを除去するために分割する必要のあるノードの最小数です。
  • インデックスノード。グラフのインデックスを決定するために分割されるノードはインデックスノードと呼ばれ、一般に一意ではありません。

信号フローグラフは、グラフ変換ルールによって単純化できます。^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}これらの単純化ルールは、信号フローグラフ代数 とも呼ばれます。^{[ 21 ]} この縮小の目的は、関心のある従属変数（残余ノード、シンク）を独立変数（ソース）に関連付けることです。

線形信号フローグラフの体系的な縮小は、線形方程式を解くためのガウス・ジョルダン消去法と同等の図解法である。^{[ 22 ]}

以下に示すルールは、信号フローグラフが「最小残差形式」に縮小されるまで繰り返し適用できます。さらに縮小するには、ループ除去や、従属変数を表すシンクノードを独立変数を表すソースノードに直接接続することを目的とした「縮小式」の使用が必要になる場合があります。このようにして、入力ノード、出力ノード、インデックスノードのみが残るまで内部ノードを順次削除することで、任意の信号フローグラフを単純化できます。^{[ 23 ] [ 24 ]} Robichaud は、この体系的なフローグラフ縮小のプロセスについて説明しました。

グラフの縮小は、特定のノードを削除して、関心のある変数のみを示す残余グラフを得ることによって行われます。このノードの削除は「ノード吸収」と呼ばれます。この方法は、方程式系における不要な変数を順次削除していくというよく知られたプロセスに似ています。グラフ内の対応するノードを削除することで、変数を削除できます。グラフを十分に縮小すれば、任意の変数の解を得ることが可能になり、これがグラフ縮小のさまざまな方法の説明で念頭に置かれる目標です。ただし、実際には、縮小の手法は、いくつかの基本的な関係を表す残余グラフにグラフを変換するためだけに使用されます。完全な解は、メイソンのルールを適用することでより簡単に得られます。^{[ 25 ]} グラフ自体が縮小プロセスをプログラムします。実際、グラフを簡単に調べれば、基本的な変換、ループの削除、または縮小式の使用によって実行される縮小のさまざまなステップが容易にわかります。^{[ 25 ]}

ロビショーは、アルゴリズムを用いてフローグラフをデジタル的に縮小するために、単純フローグラフの概念を一般化フローグラフへと拡張した。

縮小のプロセスを説明する前に、グラフと線形方程式系との対応関係を一般化する必要があります。一般化されたグラフは、変数のグループ間のいくつかの操作関係を表します。一般化されたグラフの各ブランチには、そのブランチの端にあるノードによって表される変数間の関係を示す行列が関連付けられています。^{[ 26 ]} 基本変換[ロビショーが図7.2、p.184で定義]とループ縮小により、縮小式[ロビショーの式7-1で説明]によってグラフの任意のノードjを削除できます。縮小式を使用すると、任意の次数のグラフを常に縮小できます。[縮小後]最終的なグラフは、シンクノードの変数がソースの関数として明示的に表現されるカスケードグラフになります。これは、メイソンのルールが明らかに適用できないため、一般化されたグラフを縮小する唯一の方法です。^{[ 27 ]}

基本変換の定義は著者によって異なる。

• 一部の著者は、並列エッジゲインの加算と直列エッジゲインの乗算のみを基本変換とみなし、自己ループの除去は考慮しない^{[ 22 ] [ 28 ]。}
• 他の著者らは自己ループの除去を基本的な変換とみなしている^{[ 29 ]}

平行エッジ。平行エッジを、元のゲインの合計に等しいゲインを持つ単一のエッジに置き換えます。

左側のグラフは、ノード間に平行なエッジが配置されています。右側のグラフでは、これらの平行なエッジが、元の各エッジのゲインの合計に等しいゲインを持つ単一のエッジに置き換えられています。

NとノードI1間の削減に対応する方程式は_次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {3} }+...\\N&=I_{\mathrm {1} }(f_{\mathrm {1} }+f_{\mathrm {2} }+f_{\mathrm {3} })+...\\\end{aligned}}}$

流出エッジ。流出エッジを、ノードのソースから直接流れ出るエッジに置き換えます。

左側のグラフは、流入元となるノードと流出先となるノードの間に中間ノードNが存在する。右側のグラフは、これらのノード群間をNを経由せずに直接流れる流れを示している。

簡略化のため、Nとその流入は図示していません。Nからの流出は除外しています。

Nの入力信号と出力信号を直接関連付ける縮約に対応する方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }N\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }N\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }N\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {1} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {1} }\\O_{\mathrm {2} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {2} }\\O_{\mathrm {3} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {3} }\\\end{aligned}}}$

信号ゼロノード。

値がゼロと判定されたノードから流出するエッジを削除します。

ノードの値がゼロの場合、そのノードから出るエッジは削除できる。

流出のないノード。

流出のないノードを削除します。

この場合、Nは関心のある変数ではなく、出力エッジも持っていません。したがって、Nとその入力エッジは削除できます。

自己ループするエッジ。入力エッジのゲインを調整することで、ループするエッジを置き換えます。

左側のグラフは、ノードNにループ状のエッジがあり、そのゲインはgです。右側のグラフでは、ループ状のエッジが削除され、すべての流入エッジのゲインが (1 − g ) で割られています。

Nとすべての入力信号との間の削減に対応する方程式は次のとおりです。

信号フローグラフは、連立一次方程式を解くために使用できます。^{[ 32 ]}方程式のセットは一貫性があり、すべての方程式は線形独立でなければなりません。

方程式を「標準形」に変換する

N 個の未知数を持つM 個の方程式で、各y _jが既知の値であり、各x _jが未知の値である場合、各既知の値に対して次の形式の方程式が存在します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }&=y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$1 ≤ j ≤ Mの連立一次方程式の通常の形式

特に単純なケースでは、この形式の方程式を使用して信号の流れグラフを作成することは可能ですが、いくつかの変更を加えることで、任意の方程式セットに容易に適用できる一般的な手順が可能になります。以下にその手順を示します。まず、方程式を次のように書き換えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=0\end{aligned}}}$

さらに書き換えると

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }+x_{\mathrm {j} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$

そして最終的に次のように書き換えられました

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }(c_{\mathrm {jk} }+\delta _{\mathrm {jk} })x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$信号フローグラフとして表現するのに適した形式。

ここで、δ _kjはクロネッカーのデルタです。

信号フローグラフは、これらの方程式のいずれかを選択し、右側のノードを指定することで作成されます。これは、重みに「+1」を含む分岐でノードが自身に接続され、フローグラフ内で自己ループを形成するノードです。その方程式の他の項は、このノードをまずこの方程式のソースに接続し、次にこのノードに接続する他のすべての分岐に接続します。すべての方程式はこのように処理され、その後、各接続分岐はそれぞれの発信ノードに接続されます。たとえば、3つの変数の場合を図に示します。最初の方程式は次のとおりです。

${\displaystyle x_{1}=\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}\ ,}$

ここで、この等式の右辺は、ノードx ₁に入射する重み付き矢印の合計です。

すべてのノードの扱いには基本的な対称性があるため、簡単な出発点は、各ノードが正多角形の1つの頂点にあるノードの配置です。一般係数{ c _in }を使用して表現すると、各ノードの環境は、インデックスの順列を除いて他のすべてのノードとまったく同じになります。3つの連立方程式のセットに対するこのような実装は図に示されています。^{[ 33 ]}

多くの場合、既知の値y _jは主要な原因、未知の値x _jは結果とみなされますが、この解釈に関わらず、一連の方程式の最後の形式は信号フローグラフとして表現できます。この点については、 「因果関係の解釈」の項でさらに詳しく説明します。

動的システムのモデルを構築する際の手順のリストは、Dorf & Bishop によって提供されています: ^{[ 39 ]}

• システムとその構成要素を定義する。
• 数理モデルを定式化し、必要な仮定を列挙してください。
• このモデルを記述する微分方程式を記述してください。
• 目的とする出力変数について、方程式を解いてください。
• 解決策と前提条件を検証する。
• 必要に応じて、システムを再分析または再設計する。

—RC Dorf および RH Bishop、『現代制御システム』、第 2 章、p. 2

このワークフローでは、物理システムの数理モデルの式を用いて、信号フローグラフの式を導出します。

信号フローグラフは、設計空間探索 (DSE)において、物理実装への中間表現として使用されてきました。DSE プロセスでは、さまざまな選択肢の中から適切なソリューションを探します。対象となるシステムを最初にその構成要素の物理方程式でモデル化する典型的な解析ワークフローとは対照的に、設計を合成するための仕様は、望ましい伝達関数である可能性があります。たとえば、さまざまな戦略によって、実装が導き出されるさまざまな信号フローグラフが作成されます。^{[ 40 ]} 別の例では、注釈付き SFG を連続時間動作の表現として使用し、アーキテクチャジェネレータへの入力として使用しています。^{[ 41 ]}

ゲインa ₁₂を持つ増幅器による信号V ₁の増幅は、数学的に次のように表される。

${\displaystyle V_{2}=a_{12}V_{1}\,.}$

図1の信号フローグラフで表されるこの関係は、V2_がV1に依存しているが、 V1が_V2に依存していないことを意味する。Kouの57ページを_参照。^{[ 45 ]}

負帰還増幅器の漸近利得モデルに対する可能なSFGを図3に示し、この増幅器の利得の式を次のように導出する。

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$${\displaystyle =G_{\infty }\left({\frac {T}{T+1}}\right)+G_{0}\left({\frac {1}{T+1}}\right)\ .}$

パラメータの解釈は次のとおりです。T =リターン比、G _∞ = 直接増幅器ゲイン、G 0 ₌フィードフォワード（フィードバックの双方向性を示し、フィードフォワード補償の場合のように意図的な場合もあります）。図 3 は、追加のフィードバック関係x ₂ = Ty ₁を追加した 2 ポート ネットワークの図 2 に似ているという興味深い側面があります。

このゲイン式から、パラメータG ₀とG _∞の解釈が明らかになる。すなわち、次のようになる。

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G\$ ;\ G_{0}=\lim _{T\to 0}G\ .}

特定のゲイン関係には、多くの可能なSFGが関連付けられています。図4は、回路の観点から解釈しやすい漸近ゲインモデルの別のSFGを示しています。このグラフでは、パラメータβはフィードバック係数として、Aは「制御パラメータ」として解釈され、おそらく回路内の従属ソースに関連しています。このグラフを使用すると、ゲインは

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$${\displaystyle =G_{0}+{\frac {A}{1-\beta A}}\ .}$

漸近利得モデルに接続するには、パラメータAとβは任意の回路パラメータであってはならず、以下の式でリターン比Tと関連付けられる必要があります。

${\displaystyle T=-\beta A\ ,}$

そして漸近利得は次のようになる。

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G=G_{0}-{\frac {1}{\beta }}\ .}$

これらの結果をゲイン式に代入すると、

${\displaystyle G=G_{0}+{\frac {1}{\beta }}{\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{0}+(G_{0}-G_{\infty }){\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}+G_{0}{\frac {1}{1+T}}\ ,}$

これは漸近利得モデルの公式である。

右の図は、y パラメータ 2 ポート ネットワークを含む回路を示しています。V inは回路_の入力、V ₂は出力です。2 ポート方程式は、ポート電圧と電流の間に一連の線形制約を課します。端子方程式は、他の制約を課します。これらの制約はすべて、回路の下にある SFG (信号フロー グラフ) に表されています。入力から出力へのパスは 1 つだけで、これは異なる色で示されており、(電圧) ゲインは − R _L y _{21です。また、−} R _in y ₁₁、− R _L y ₂₂、R _in y ₂₁ R _L y ₁₂の3 つのループがあります。ループは意図的なフィードバックを示す場合もありますが、2 つの変数の関係に対する制約を示す場合もあります。たとえば、抵抗を表す方程式は、抵抗の両端の電圧と抵抗を流れる電流の比が抵抗と呼ばれる定数であることを示しています。これは、電圧が入力で電流が出力である、あるいは電流が入力で電圧が出力である、あるいは単に電圧と電流が線形関係にある、と解釈できます。回路内のほぼすべての受動的な2端子デバイスは、SFG上ではループとして現れます。

SFGと回路図は同じ回路を表していますが、回路図は回路の目的も示唆しています。回路図と比較するとSFGは扱いにくいですが、メイソンの法則を用いて入力から出力へのゲインを目視で書き出すことができるという利点があります。

この例は、サーボ制御システムを表すために使用されるSFG（信号フローグラフ）の代表例であり、SFGのいくつかの特徴を示しています。ループの一部（ループ3、ループ4、ループ5）は、意図的に設計された外部フィードバックループです。これらは点線で示されています。また、意図的なフィードバックループではないものの、あたかもフィードバックループであるかのように解析できる内部ループ（ループ0、ループ1、ループ2）もあります。これらのループは実線で示されています。ループ3とループ4は、より大きなループの内側にあるため、マイナーループとも呼ばれます。

• 順方向の経路は、目標位置指令θ _{Cから始まります。これは}、定数または周波数の関数である K _{Pで乗算されます。K P}には、DAC の変換ゲインと DAC 出力のフィルタリングが含まれます。K P の出力は速度_指令V ωC であり、_{定数または周波数の関数である K V}で乗算されます。K _Vの出力は電流指令V _ICであり、定数または周波数の関数であるK _Cで乗算されます。K _Cの出力はアンプの出力電圧V _Aです。モータ巻線を流れる電流I _Mは、インダクタンスに印加される電圧の積分です。モータはI _Mに比例するトルクTを発生させます。永久磁石モータは、電流とトルクの関係が線形になる傾向があります。電流からトルクへの変換定数はK _Mです。トルクTを負荷の慣性モーメントMで割ったものが加速度αであり、これを積分すると負荷速度ωが得られ、これを積分すると負荷位置θ _{LC が}得られます。
• ループ0の順方向経路は、加速度がトルクに比例し、速度が加速度の時間積分であると主張する。逆方向経路は、速度が増加するにつれて、トルクに抵抗する摩擦または抗力が生じると述べている。負荷にかかるトルクは負荷の速度に比例して減少し、最終的にすべてのトルクが摩擦を克服するために使用され、加速度がゼロになる点に達する。ループ0は本質的なものである。
• Loop1は、インダクタの電流と内部および外部の直列抵抗との相互作用を表します。インダクタンスを流れる電流は、インダクタンスにかかる電圧の時間積分です。電圧が最初に印加されると、そのすべてがインダクタの両端に現れます。これは、順方向経路によって示されます。${\displaystyle {\tfrac {1}{sL_{\mathrm {M} }}}}$電流が増加すると、インダクタの内部抵抗R _Mと外部抵抗R _{S の}両端に電圧降下が生じます。これによりインダクタの両端の電圧が低下し、これはフィードバック経路 −( R _M + R _{S ) で表されます。電流は増加し続けますが、電圧降下が (} R _M + R _S )に達するまで、徐々に減少していきます。ループ 1 は固有のものです。
• ループ2は、モータの逆起電力の影響を表します。永久磁石モータが回転すると、発電機のように動作し、巻線に電圧が発生します。回転の原因が駆動軸に加わるトルクによるものか、巻線に流れる電流によるものかは関係ありません。この電圧は逆起電力と呼ばれます。回転速度から逆起電力への変換利得はG _Mです。逆起電力の極性は、巻線インダクタンスの両端の電圧を減少させるように設定されています。ループ2は固有のものです。
• ループ3は外部回路です。モータ巻線の電流は検出抵抗器を通過します。検出抵抗器の両端に発生する電圧V _{IMは、電力増幅器}K _Cの負極端子にフィードバックされます。このフィードバックにより、電圧増幅器は電圧制御電流源のように動作します。モータのトルクはモータ電流に比例するため、出力トルクへのサブシステムV _ICは電圧制御トルク源のように動作します。このサブシステムは「電流ループ」または「トルクループ」と呼ばれることがあります。ループ3は、ループ1とループ2の影響を効果的に軽減します。
• ループ4は外部フィードバックです。タコメータ（実際には低電力直流発電機）は、角速度に比例する出力電圧VωMを生成します_。この電圧はKVの負入力に供給されます。_このフィードバックにより、 VωCから負荷角速度までのサブシステムが、電圧から速度へのソースのように動作します。このサブシステムは「速度ループ」と呼ばれることがあります。ループ4は_、ループ0とループ3の影響を効果的に軽減します。
• ループ5は外部回路です。これは全体の位置フィードバックループです。フィードバックは角度エンコーダから得られ、デジタル出力が生成されます。出力位置は、デジタルハードウェアによって目標位置から減算され、DACを駆動し、K _Pを駆動します。SFGでは、DACの変換ゲインがK _Pに組み込まれています。

この例におけるメイソンの利得公式の導出については、メイソンの法則を参照してください。

• IEEE Std 155–1960、IEEE回路規格：線形信号フローグラフの用語の定義、1960年。

このIEEE規格では、信号フローグラフを、依存信号と独立信号をノードとして表す有向分岐のネットワークとして定義しています。入力分岐は、分岐信号を依存ノード信号に伝達します。依存ノード信号は、そのノードにおける入力分岐信号の代数和であり、つまりノードは加算性を持ちます。

状態遷移SFGまたは状態図は、状態の初期条件を含む方程式系のシミュレーション図です。^{[ 48 ]}

閉じたフローグラフは閉じたシステムを記述し、回路解析のトポロジー的手法の厳密な理論的基礎を提供するために利用されてきた。^{[ 42 ]}

• 閉じたフローグラフ理論の用語には以下が含まれる。
  • 寄与ノード。2 つ以上の入力信号を加算し、1つの出力信号を生成するポイント。
  • 分配ノード。1つの入力信号から生成される2つ以上の出力信号のサンプリングポイント。
  • 複合ノード。寄与ノードと分配ノードが縮約したもの。
  • 厳密に依存するノードと厳密に独立するノード。厳密に独立するノードは独立したソースを表し、厳密に依存するノードはメーターを表します。
  • オープンフローグラフとクローズドフローグラフ。オープンフローグラフは、厳密に依存するノードまたは厳密に独立したノードを含みます。それ以外の場合は、クローズドフローグラフです。

ノードjにおける信号をx _jとすると、線形時不変システムに該当しないノード関数の例は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{j}&=x_{k}\times x_{l}\\x_{k}&=\vert x_{j}\vert \\x_{l}&=\log(x_{k})\\x_{m}&=t\times x_{j}{\text{ ,where }}t{\text{ represents time}}\\\end{aligned}}}$

• 一般的に、非線形信号フローグラフは、古典的な制御理論の解析のために時間領域表現と周波数領域表現の間で変換することはできませんが、電気工学の文献には見られます。^{[ 49 ] [ 50 ]}
• 非線形信号フローグラフは生命科学でも見られ、例えばアーサー・ガイトン博士の心血管系のモデルなどがある。^{[ 51 ]}