漸近的ゲインモデル

漸近的ゲインモデル[ ^{1] [2] （}ローゼンスターク法^[3]とも呼ばれる）は、漸近的ゲイン関係によって与えられる 負帰還増幅器のゲインの表現である。

${\displaystyle G=G_{\infty }\left({\frac {T}{T+1}}\right)+G_{0}\left({\frac {1}{T+1}}\right)\ ,}$

ここで、は入力ソースが無効になっている場合のリターン比（単方向ブロックで構成された単一ループ システムの場合はループ ゲインの負の値に等しい）、G _∞は漸近ゲイン、G ₀は直接伝達項です。ゲインのこの形式により、回路に対する直感的な洞察が得られ、ゲインを直接解析するよりも簡単に導出できることがよくあります。 ${\displaystyle T}$

図 1 は、漸近ゲイン表現を導くブロック図を示しています。漸近ゲイン関係は、信号フロー グラフとして表現することもできます。図 2 を参照してください。漸近ゲイン モデルは、追加要素定理の特殊なケースです。

ゲイン表現の限界ケースから直接わかるように、漸近ゲインG _{∞ は、}リターン率が無限大に近づくときのシステムのゲインにすぎません。

${\displaystyle G_{\infty }=G\ {\Big |}_{T\rightarrow \infty }\ ,}$

直接伝達項G ₀は、戻り率がゼロの場合のシステムのゲインです。

${\displaystyle G_{0}=G\ {\Big |}_{T\rightarrow 0}\ .}$

• このモデルは、負荷効果や増幅器とフィードバック ネットワークの双方向特性など、フィードバック増幅器を完全に特徴付けるため便利です。
• 多くの場合、フィードバック増幅器は、帰還比T が1 よりはるかに大きくなるように設計されます。この場合、直接伝達項G ₀が小さいと仮定すると (多くの場合小さい)、システムのゲインGは漸近ゲインG _∞とほぼ等しくなります。
• 漸近ゲインは（通常）回路内の受動要素のみの関数であり、多くの場合は検査によって見つけることができます。
• 解析はすべてのケースで同じであるため、フィードバック トポロジ (直列-直列、直列-シャントなど) を事前に識別する必要はありません。

モデルを直接適用するには、次の手順に従います。

1. 回路内の従属ソースを選択します。
2. そのソースの返品率を調べます。
3. 回路をT = ∞に対応する回路に置き換えて、回路から直接ゲインG _{∞ を}見つけます。
4. 回路をT = 0に対応する回路に置き換えて、回路から直接ゲインG _{0 を}見つけます。
5. T、G _∞、G ₀の値を漸近ゲイン式に代入します。

これらの手順は、手動解析の小信号回路を使用してSPICEで直接実装できます。このアプローチでは、デバイスの従属ソースに簡単にアクセスできます。対照的に、実際のデバイスを使用した実験測定や、従属ソースにアクセスできない数値生成デバイス モデルを使用した SPICE シミュレーションでは、リターン率を評価するために特別な方法が必要です。

古典的なフィードバック理論ではフィードフォワード（G ₀）は無視されます。フィードフォワードが省略されると、漸近ゲインモデルからのゲインは

${\displaystyle G=G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}={\frac {G_{\infty }T}{1+{\frac {1}{G_{\infty }}}G_{\infty }T}}\ 、}$

一方、古典的なフィードバック理論では、開ループゲインAに関して、フィードバックによるゲイン（閉ループゲイン）は次のようになります。

${\displaystyle A_{\mathrm {FB} }={\frac {A}{1+{\beta }_{\mathrm {FB} }A}}\ .}$

2つの式を比較すると、フィードバック係数β _{FB は}次のようになります。

${\displaystyle \beta _{\mathrm {FB} }={\frac {1}{G_{\infty }}}\ ,}$

一方、オープンループゲインは次のようになります。

${\displaystyle A=G_{\infty }\ T\ .}$

精度が十分であれば（通常は十分です）、これらの式はTの別の評価方法を提案します。つまり、オープンループゲインとG _∞を評価し、これらの式を使用してT を見つけます。多くの場合、これら 2 つの評価はTを直接 評価するよりも簡単です。

漸近ゲイン式を使用してゲインを導出する手順を、2 つの負帰還アンプについて以下に概説します。1 つのトランジスタの例では、トランスコンダクタンス アンプでこの方法が原理的にどのように機能するかを示し、2 番目の 2 つのトランジスタの例では、電流アンプを使用したより複雑なケースへのアプローチを示します。

図 3 の単純なFETフィードバック アンプを検討します。目的は、漸近ゲイン モデルを使用し _て、この回路の低周波、オープン サーキット、トランス抵抗ゲインG = v _out / i inを見つけることです。

小信号等価回路を図 4 に示します。ここでは、トランジスタがハイブリッド π モデルに置き換えられています。

まず、リターン比T を見つけることから始めるのが最も簡単です。なぜなら、G ₀とG _{∞ は}、 Tがゼロまたは無限大に近づくにつれてゲインが制限される形式として定義されるからです。これらの制限を取るには、 T がどのパラメータに依存しているかを知る必要があります。この回路には従属ソースが 1 つしかないため、開始点として、このソースに関連するリターン比は、リターン比に関する記事で概説されているように決定されます。

戻り率は図 5 を使用して求められます。図 5 では、入力電流源がゼロに設定されています。回路の出力側から従属ソースを切り離し、その端子を短絡すると、回路の出力側が入力から分離され、フィードバック ループが切断されます。テスト電流i _{t が}従属ソースに置き換わります。次に、テスト電流によって従属ソースに生成される戻り電流が求められます。戻り率はT = − i _r / i _tです。この方法を使用し、 R _{D が}r _Oと並列であることに注目すると、T は次のように決定されます。

${\displaystyle T=g_{\mathrm {m} }\left(R_{\mathrm {D} }\ ||r_{\mathrm {O} }\right)\approx g_{\mathrm {m} }R_{\mathrm {D} }\ ,}$

ここで、 r _O >> R _Dの一般的なケースでは近似は正確です。この関係から、トランスコンダクタンスg _m → 0、または∞にすると、T → 0、または∞の限界が実現されることは明らかです。^[5]

漸近的ゲインG _∞を見つけることで洞察が得られ、通常は検査によって行うことができます。G ∞ を見つけるには、g _m → _∞として、結果として生じるゲインを見つけます。ドレイン電流i _D = g _m v _GSは有限でなければなりません。したがって、g _{m が}無限大に近づくと、v _GSもゼロに近づく必要があります。ソースは接地されているため、v _GS = 0はv _G = 0 も意味します。^[6] v _G = 0であり、すべての入力電流がR _fを流れるという事実（FET は無限大の入力インピーダンスを持つため）により、出力電圧は単純に − i _in R _fです。したがって

${\displaystyle G_{\infty }={\frac {v_{\mathrm {out} }}{i_{\mathrm {in} }}}=-R_{\mathrm {f} }\ .}$

あるいは、G∞_はトランジスタを無限大のゲインを持つ理想的な増幅器（ヌラー）に置き換えて得られるゲインである。^[7]

直接フィードスルーを見つけるには、単にg _m → 0 として、結果のゲインを計算します。したがって、 R _fとR _D || r _Oの並列組み合わせを流れる電流は同じで、i _inに等しくなければなりません。したがって、出力電圧はi _in (R _D || r _O )です。 ${\displaystyle G_{0}}$

したがって

${\displaystyle G_{0}={\frac {v_{out}}{i_{in}}}=R_{D}\|r_{O}\approx R_{D}\ ,}$

ここで、 r _O >> R _Dである一般的なケースでは近似は正確です。

したがって、このアンプ 全体のトランス抵抗ゲインは次のようになります。

${\displaystyle G={\frac {v_{out}}{i_{in}}}=-R_{f}{\frac {g_{m}R_{D}}{1+g_{m}R_{D}}}+R_{D}{\frac {1}{1+g_{m}R_{D}}}={\frac {R_{D}\left(1-g_{m}R_{f}\right)}{1+g_{m}R_{D}}}\ .}$

この式を調べると、全体のゲインを漸近ゲインに近づけるためにR _{D を}大きくすることが有利であるように思われます。これにより、ゲインはアンプのパラメータ ( g _mとR _D ) の影響を受けなくなります。さらに、最初の項が大きいと、アンプの性能を低下させる直接フィードスルー係数の重要性が低下します。R _{D を}増やす 1 つの方法は、この抵抗器をアクティブ負荷(たとえば、カレントミラー)に置き換えることです。

図 6 は、フィードバック抵抗R _fを備えた 2 トランジスタ アンプを示しています。このアンプは、シャント シリーズ フィードバックアンプと呼ばれることが多く、抵抗R ₂が出力と直列に接続されて出力電流をサンプリングし、R _fが入力とシャント (並列) に接続されて入力電流から減算するという原理に基づいて分析されます。負帰還アンプに関する記事と、Meyer または Sedra の参考文献を参照してください。^{[8] [9]}つまり、アンプは電流フィードバックを使用します。アンプにどのようなタイプのフィードバックが関係しているかはしばしば曖昧であり、漸近ゲイン アプローチには、回路を理解しているかどうかに関係なく機能するという利点と欠点があります。

図 6 は出力ノードを示していますが、出力変数の選択は示していません。以下では、出力変数として、アンプの短絡電流、つまり出力トランジスタのコレクタ電流を選択します。出力の他の選択については後で説明します。

漸近ゲイン モデルを実装するには、いずれかのトランジスタに関連付けられた従属ソースを使用できます。ここでは、最初のトランジスタが選択されます。

戻り率を決定する回路は、図 7 の上部パネルに示されています。ラベルは、オームの法則とキルヒホッフの法則を組み合わせて求めたさまざまな分岐の電流を示しています。抵抗器R ₁ = R _B // r _π1およびR ₃ = R _C2 // R _Lです。R 1のグランドからR ₂のグランドまでの KVL は_、次のようになります。

${\displaystyle i_{\mathrm {B} }=-v_{\pi }{\frac {1+R_{2}/R_{1}+R_{\mathrm {f} }/R_{1}}{(\beta +1)R_{2}}}\ .}$

KVLはR _Cの上部のコレクタ電圧を次のように 提供します。

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }=v_{\pi }\left(1+{\frac {R_{\mathrm {f} }}{R_{1}}}\right)-i_{\mathrm {B} }r_{\pi 2}\ .}$

最後に、このコレクターのKCLは

${\displaystyle i_{\mathrm {T} }=i_{\mathrm {B} }-{\frac {v_{\mathrm {C} }}{R_{\mathrm {C} }}}\ .}$

最初の式を2番目の式に代入し、2番目の式を3番目の式に代入すると、収益率は次のように求められます。

${\displaystyle T=-{\frac {i_{\mathrm {R} }}{i_{\mathrm {T} }}}=-g_{\mathrm {m} }{\frac {v_{\pi }}{i_{\mathrm {T} }}}}$

${\displaystyle ={\frac {g_{\mathrm {m} }R_{\mathrm {C} }}{\left(1+{\frac {R_{\mathrm {f} }}{R_{1}}}\right)\left(1+{\frac {R_{\mathrm {C} }+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{2}}}\right)+{\frac {R_{\mathrm {C} }+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{1}}}}}\ .}$

G _{0 を}決定する回路は、図 7 の中央のパネルに示されています。図 7 では、出力変数は出力電流 β i _B (短絡負荷電流) であり、これはアンプの短絡電流ゲイン、つまり β i _B / i _Sにつながります。

${\displaystyle G_{0}={\frac {\beta i_{B}}{i_{S}}}\ .}$

オームの法則を用いると、 R ₁の上部の電圧は次のように求められる。

${\displaystyle (i_{S}-i_{R})R_{1}=i_{R}R_{f}+v_{E}\ \ ,}$

あるいは、用語を並べ替えると、

${\displaystyle i_{S}=i_{R}\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)+{\frac {v_{E}}{R_{1}}}\ .}$

R ₂の上部で KCL を使用する:

${\displaystyle i_{R}={\frac {v_{E}}{R_{2}}}+(\beta +1)i_{B}\ .}$

エミッタ電圧v _{E は、}図 7 の図からi _Bに関してすでにわかっています。2番目の式を最初の式に代入すると、 i _{B は}i _Sのみに関して決定され、G _{0 は}次のようになります。

${\displaystyle G_{0}={\frac {\beta }{(\beta +1)\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)+(r_{\pi 2}+R_{C})\left[{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)\right]}}}$

ゲインG ₀はフィードバック ネットワークを介したフィードフォワードを表し、通常は無視できます。

G _∞を決定する回路を図 7 の下のパネルに示します。この回路での理想的なオペアンプ (ヌラー)の導入は、次のように説明されます。T → ∞ のとき、アンプのゲインも無限大になり、そのような場合、アンプを駆動する差動電圧 (入力トランジスタr _{π1 の}両端の電圧) はゼロになり、(電圧がない場合のオームの法則に従って) 入力電流は流れません。一方、出力電流と出力電圧は、回路が要求するとおりになります。この動作はヌラーに似ているため、無限ゲイン トランジスタを表すためにヌラーを導入できます。

現在のゲインは回路図から直接読み取られます。

${\displaystyle G_{\infty }={\frac {\beta i_{B}}{i_{S}}}=\left({\frac {\beta }{\beta +1}}\right)\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}}\right)\ .}$

古典的なモデルを使用すると、フィードフォワードは無視され、フィードバック係数 β _{FB は}次のようになります (トランジスタ β >> 1 と仮定)。

${\displaystyle \beta _{FB}={\frac {1}{G_{\infty }}}\approx {\frac {1}{(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}})}}={\frac {R_{2}}{(R_{f}+R_{2})}}\ ,}$

オープンループゲインAは次のようになります。

${\displaystyle A=G_{\infty }T\approx {\frac {\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}}\right)g_{m}R_{C}}{\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)\left(1+{\frac {R_{C}+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{2}}}\right)+{\frac {R_{C}+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{1}}}}}\ .}$

上記の式を漸近ゲイン モデル方程式に代入すると、全体のゲイン G を見つけることができます。結果として得られるゲインは、短絡負荷を持つアンプの 現在のゲインです。

図6のアンプでは、R _LとR _{C2 が}並列になっています。トランス抵抗ゲイン、つまり電圧を出力変数として使用するゲインA _{ρ を}得るには、短絡電流ゲインGにオームの法則に従ってR _C2 // R _Lを掛けます。

${\displaystyle A_{\rho }=G\left(R_{\mathrm {C2} }//R_{\mathrm {L} }\right)\ .}$

開放電圧利得は、 R _L → ∞ に設定することによりA _ρから求められます。

負荷抵抗R _{Lの負荷電流}i _Lが出力変数、たとえばA _iである場合の電流利得を得るには、電流分割の式を使用します: i _L = i _out × R _C2 / ( R _C2 + R _L )短絡電流利得Gにこの負荷係数を掛けます:

${\displaystyle A_{i}=G\left({\frac {R_{C2}}{R_{C2}+R_{L}}}\right)\ .}$

もちろん、 R _L = 0 Ωに設定することで短絡電流ゲインは回復されます。

• ブラックマンの定理
• 余剰要素定理
• メイソンのゲイン公式
• フィードバックアンプ
• リターン率
• シグナルフローグラフ

• 漸近ゲインモデルに関する講義ノート