フローグラフ（数学）

フローグラフは、線形代数方程式または微分方程式の集合に関連付けられた有向グラフの一種である。 ^{[1] [2]}

「シグナルフローグラフは、有向枝によって相互接続されたノード（またはポイント）のネットワークであり、一連の線形代数方程式を表します。フローグラフのノードは変数またはパラメータを表すために使用され、接続枝はこれらの変数を相互に関連付ける係数を表します。フローグラフは、方程式に関連するすべての可能なソリューションを取得できるようにするいくつかの単純なルールに関連付けられています。」^[1]

この定義では「シグナルフローグラフ」と「フローグラフ」という用語を同じ意味で使用していますが、「シグナルフローグラフ」という用語は、メイソンシグナルフローグラフを指すために最もよく使用されます。メイソンは、電気ネットワークに関する研究でこの用語を考案しました。^{[3] [4]}同様に、一部の著者は「フローグラフ」という用語を厳密にコーツフローグラフを指すために使用します。^{[5] [6]}ヘンリーとウィリアムズによると: ^[2]

「命名法は標準化からは程遠く、近い将来に標準化が期待できるものではありません。」

メイソングラフとコーツグラフ、そしてそのようなグラフのさまざまな他の形式^[7]の両方を含む「フローグラフ」という名称は有用であるように思われ、エイブラハムズとカバーリー、およびヘンリーとウィリアムズのアプローチと一致しています。^{[1] [2]}

有向ネットワーク（フローネットワークとも呼ばれる）は、フローグラフの一種です。ネットワークとは、各辺に実数が関連付けられたグラフであり、グラフが有向グラフである場合、その結果は有向ネットワークになります。^{[8]フローグラフは有向ネットワークよりも一般的で、辺は}ゲイン、分岐ゲイン、透過率、さらにはラプラス演算子の関数に関連付けられる場合があり、その場合は伝達関数と呼ばれます。^[2]

グラフと行列、有向グラフと行列の間には密接な関係がある。^[9]「行列の代数理論をグラフ理論に応用することで、エレガントな結果を得ることができる」。逆に、フローグラフに基づくグラフ理論的アプローチは、線形代数方程式の解法に使用される。^[10]

いくつかの初期方程式に接続されたフロー グラフの例を示します。

方程式の集合は一貫性があり、線形独立でなければならない。そのような集合の例は次の通りである: ^[2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\5&-1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\0\end{bmatrix}}}$

係数の行列式がゼロでないため、セット内の方程式の一貫性と独立性が確立され、クラメールの規則を使用して解を見つけることができます。

サブセクション「シグナルフロー グラフの要素」の例を使用して、グラフを作成します。図では、この場合はシグナルフロー グラフです。グラフが指定された方程式を表していることを確認するには、ノードx ₁に移動します。このノードに入ってくる矢印 (強調のために緑色で表示) と、それらに付加された重みを確認します。x ₁の方程式は、入ってくる矢印に付加されたノードの合計に、これらの矢印に付加された重みを掛けたものと等しくすることで満たされます。同様に、赤い矢印とその重みはx ₂の方程式を提供し、青い矢印はx ₃の方程式を提供します。

もう一つの例は、係数が指定されていない3つの同時方程式の一般的なケースである。^[11]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}}$

フロー グラフを設定するには、方程式を書き換えて、各辺に変数を追加して、各変数が 1 つずつ識別されるようにします。例:

${\displaystyle \left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}=x_{1}\ .}$

図を使用し、入射ブランチをx ₁に合計すると 、この式が満たされていることがわかります。

3 つの変数すべてが対称的な形でこれらの再計算された方程式に入るため、各変数を正三角形の角に配置することでグラフの対称性が維持されます。図を 120° 回転すると、インデックスが入れ替わります。この構造は、各変数のノードを、変数と同じ数の頂点を持つ正多角形の頂点に配置することで、より多くの変数に拡張できます。

もちろん、意味を持たせるためには、係数は方程式が独立かつ一貫しているような値に制限されます。

• コーツグラフ
• シグナルフローグラフ

• Richard A. Brualdi、Dragos Cvetkovic (2008)。「行列式」。行列理論への組み合わせ的アプローチとその応用。Chapman & Hall/CRC。63 ページ以降。ISBN 9781420082234。Coates フロー グラフと Mason フロー グラフについて説明します。