整数点に関するシーゲルの定理

数学において、整数点に関するシーゲルの定理は、種数がゼロより大きい曲線は、任意の数体上で有限個の整数点しか持たないことを述べている。

この定理は1929年にカール・ルートヴィヒ・ジーゲルによって初めて証明され、ディオファントス方程式に関する最初の重要な結果であり、方程式の特別な代数形式ではなく、種数のみに依存していた。g > 1 の場合、この定理は1983年にファルティングスの定理によって取って代わられた。

整数点に関するシーゲルの定理：数体K上で定義された種数gの滑らかな代数曲線 Cを、与えられた座標系でアフィン空間に表現すると、g > 0 の場合、 Kの整数環Oの座標を持つC上の点は有限個しか存在しない。

1926年、シーゲルは特殊な場合において定理を効果的に証明した。${\displaystyle g=1}$つまり、彼はモルデル予想が真であるという条件付きでこの定理を証明したのである。

1929年、シーゲルは、ディオファントス近似からのチュー・シーゲル・ロス定理のバージョンと、ディオファントス幾何学からのモルデル・ワイル定理（ワイルのバージョンではCのヤコビ多様体に適用するために必要）を組み合わせることによって、この定理を無条件に証明した。

2002年、ウンベルト・ザニエールとピエトロ・コルヴァヤは、部分空間定理に基づく新しい方法を用いて新たな証明を与えた。^{[ 1 ]}

シーゲルの結果は、${\displaystyle g\geq 2}$（数論における有効な結果を参照）ディオファントス近似におけるチューの方法も、次数がほぼすべての代数的数の非常に良い有理近似を記述するのに効果的ではないため${\displaystyle d\geq 5}$シーゲルは、特殊な場合にのみそれを効果的に証明した。${\displaystyle g=1}$1926年に。場合によっては、ベイカーの方法から効果的な結果が得られる。

• ディオファントス幾何学

• ボンビエリ、エンリコ；グブラー、ウォルター（2006）。ディオファントス幾何学における高さ。新数学モノグラフ。第 4巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 . 
• ラング、セルジュ(1978)。楕円曲線: ディオファンティン分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  231。128 ～ 153ページ。ISBN  3-540-08489-4. Zbl 0388.10001 . 
• シーゲル、カール・ルートヴィヒ(1929)。 「Über einige Anwendungen diophantischer 近似」。Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (ドイツ語)。