シーゲルの補題

数学、特に超越数論とディオファントス近似において、シーゲルの補題（シーゲルのきほん、英: Siegel's lemma）は、補助関数の構成によって得られる線型方程式の解の境界を指す。これらの多項式の存在は、アクセル・トゥーによって証明された。^{[1]トゥーの証明には}ディリクレの箱原理が用いられた。カール・ルートヴィヒ・シーゲルは1929年にこの補題を発表した。 ^{[2]これは、}線型方程式系の純粋 存在定理である。

シーゲルの補題は近年改良され、補題によって与えられる推定値の境界がより明確になった。^[3]

N > MとなるようなN個の未知数を持つM 個の線形方程式系が与えられたとします。

${\displaystyle a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0}$

${\displaystyle \cdots}$

${\displaystyle a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0}$

ここで係数は整数であり、すべて0ではなく、Bで制限される。この系は解を持つ。

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$

Xはすべて整数であり、すべて0ではなく、

${\displaystyle (NB)^{M/(NM)}.}$^[4]

Bombieri & Vaaler (1983) は、Xについて次のようなより明確な境界を与えました。

${\displaystyle \max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(NM)}}$

ここで、D は行列AのM  ×  M小行列式の最大公約数であり、A ^{T は}その転置行列である。彼らの証明では、鳩の巣原理を数幾何学の手法に置き換える必要があった。

• ディオファントス近似

• ボンビエリ、E. Vaaler、J. (1983)。 「シーゲルの補題について」。数学の発明。73 (1): 11-32。Bibcode :1983InMat..73...11B。土井：10.1007/BF01393823。S2CID  121274024。
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000)。『ディオファントス幾何学』 。 『 Graduate Texts in Mathematics』。第201巻。ベルリン、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-98981-5. MR  1745599。
• Wolfgang M. Schmidt .ディオファントス近似. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 若干の修正あり]) (125-128 ページおよび 283-285 ページ)
• Wolfgang M. Schmidt. 「第 1 章: ジーゲルの補題と高さ」(1 ～ 33 ページ)。ディオファントス近似とディオファントス方程式、数学講義ノート、Springer Verlag 2000 年。