乗法的に閉じた集合

抽象代数学では、乗法的に閉じた集合（または乗法的集合）とは、次の 2 つの条件を満たす環Rの部分集合Sのことである。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• ${\displaystyle 1\in S}$、
• ${\displaystyle xy\in S}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in S}$。

言い換えれば、Sは空積1を含む有限積を取ることに関して閉じている。 ^{[ 3 ]} 同様に、乗法集合は環の乗法モノイドのサブモノイドである。

乗法集合は、特に可換代数において重要であり、可換環の局所化を構築するために用いられる。

環Rの部分集合Sは、約数を取る操作に関して閉じている場合、飽和していると呼ばれる。つまり、積xyがSに含まれる場合、要素xとyもSに含まれる。

乗法集合の例としては、以下のようなものがあります。

• 可換環における素イデアルの集合論的補集合。
• 集合{1, x , x ² , x ³ , ...}、ここでxは環の要素である。
• リングを構成する単位の集合。
• 環における零因子でないものの集合。
• 1 + Iは理想値Iを表す。
• ジョルダン・ポリア数、階乗の乗法閉包。

• 可換環RのイデアルPが素イデアルであるのは、その補環R \ Pが乗法的に閉じている場合に限る。
• 可換環RのイデアルPが乗法集合Sと互いに素であるという点において極大である場合、それは素イデアルである (クルル)。実際、イデアルIがSと互いに素であれば、次のような素イデアルPが存在する。${\displaystyle R\setminus S\supseteq P\supseteq I}$。
• 部分集合Sが飽和かつ乗法的に閉じているのは、 S が素イデアルの和集合の補集合である場合に限る。^{[ 4 ]} 特に、素イデアルの補集合は飽和かつ乗法的に閉じている。
• 乗法集合の族の共通部分は乗法集合である。
• 飽和集合の族の共通部分は飽和している。

• リングの位置特定
• 右分母セット

• MF AtiyahおよびIG Macdonald、『可換代数入門』、Addison-Wesley、1969 年。
• David Eisenbud、『代数幾何学への展望を伴う可換代数』、Springer、1995年。
• カプランスキー、アーヴィング（1974）、『可換環（改訂 版）』、シカゴ大学出版局、MR 0345945 
• Serge Lang、代数第 3 版、Springer、2002 年。