クロン削減

電力工学において、クロン削減法はガウス消去法のように手順を繰り返すことなく目的のノードを削減または削除するために使用される方法です。^[1]

アメリカの電気技師 ガブリエル・クロンにちなんで名付けられました。

クロン削減は、 Yパラメータ行列内の未使用のノードを削除するのに便利なツールです。^{[2] [3]}たとえば、各端にポートを持つ直列に接続された3つの線形要素は、Yパラメータの4X4ノードアドミタンス行列として簡単にモデル化できますが、通常、モデリングとシミュレーションでは2つのポートノードのみを考慮する必要があります。クロン削減を使用して内部ノードを削除し、4次Yパラメータ行列を2次Yパラメータ行列に削減することができます。2次Yパラメータ行列は、必要に応じてZパラメータ行列またはSパラメータ行列に簡単に変換できます。

行列演算

2 つの内部ノードが存在するように構築された線形要素の組み合わせから作成される一般的な Y パラメータ マトリックスを考えます。

${\displaystyle Y{_{4}}{_{X}}{_{4}}={\begin{bmatrix}Y{_{1}}{_{1}}&Y{_{1}}{_{2 }}&Y{_{1 }}{_{3}}&Y{_{1}}{_{4}}\\Y{_{2}}{_{1}}&Y{_{2}}{_{2}}&Y {_{2}}{_{3}}&Y{_{ 2}}{_{4}}\\Y{_{3}}{_{1}}&Y{_{3}}{_{2}}&Y{_{3}}{_{3}} &Y{_{3}}{_{4}}\\Y{ _{4}}{_{1}}&Y{_{4}}{_{2}}&Y{_{4}}{_{3}}&Y{_{4}}{_{4}} \\\end{bmatrix}}}$

シミュレーションで 4X4 マトリックスを使用したり、4X4 S パラメータ マトリックスを構築したりすることも可能ですが、Kron 削減によって 2 つの内部ノードを削除して Y パラメータ マトリックスを 2X2 に削減し、2X2 マトリックスでシミュレーションしたり、2X2 S パラメータ マトリックスまたは Z パラメータ マトリックスに変換したりする方が簡単な場合があります。

${\displaystyle Y'{_{2}}{_{X}}{_{2}}={\begin{bmatrix}Y'{_{1}}{_{1}}&Y'{_{1}}{_{2}}\\Y'{_{2}}{_{1}}&Y'{_{2}}{_{2}}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {ここで\ Y'\ は\ Kron\ 縮小\ 行列です} }$

クロン還元を実行するプロセスは以下のとおりです。^[4]

不要な内部ノードをモデル化するために使用する K 番目の行/列を選択して削除します。K 番目の行と列に存在しない他のすべてのマトリックス エントリに以下の式を適用します。次に、マトリックスの K 番目の行と列を削除するだけで、マトリックスのサイズが 1 つ小さくなります。

NxN 行列の K 番目の行/列の Kron 縮小:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}Y'{_{i}}{_{j}}=Y{_{i}}{_{j}}-{\frac {Y{_{i}}{_{k}}Y{_{j}}{_{k}}}{Y{_{k}}{_{k}}}},&\qquad for\ i\neq k,,j\neq k\\&\qquad \mathrm {ここで\ Y'\ は\ 置換\ マトリックス\ エントリ} \\\end{aligned}}}$

受動的な線形要素は常に対称な Y パラメータ マトリックスを形成します。つまり、すべての場合においてです。以下の式に示すように、この対称性を利用することで、Kron 削減の計算回数を減らすことができます。 ${\displaystyle Y{_{i}}{_{j}}=Y{_{j}}{_{i}}}$

対称NxN行列のクロン縮約:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=i}^{N}Y'{_{i}}{_{j}}=Y{_{i}}{_{j}}-{\frac {Y{_{i}}{_{k}}Y{_{j}}{_{k}}}{Y{_{k}}{_{k}}}},\qquad for\ i\neq k,j\neq k\\&Y{_{j}}{_{i}}=Y{_{i}}{_{j}},\qquad for\ i\neq j\\\end{aligned}}}$

クロン縮約方程式によってすべての行列要素が変更されると、K番目の行/列が削除され、行列の順序が1つ減ります。削除したいすべての内部ノードに対してこれを繰り返します。

クロン削減の概念は非常に単純です。Y パラメータは接地に短絡されたノードを使用して測定されますが、未使用のノード、つまりポートのないノードは必ずしも接地されているわけではなく、その状態は外部に直接通知されません。したがって、完全なネットワークの Y パラメータ マトリックスは、モデル化されているネットワークの Y パラメータを適切に表さず、一部のノードにポートがない場合には無関係なエントリが含まれます。

等しい値の 2 つの集中素子が直列に接続されている場合、たとえば、抵抗値が等しい 2 つの抵抗器を考えてみましょう。両方の抵抗器のアドミタンスが で、直列ネットワークのアドミタンスが の場合、ネットワーク内の 3 つのノードすべてを考慮した完全なアドミタンス マトリックスは、標準的な Y パラメータ マトリックス構築手法を使用すると、次のようになります。 ${\textstyle Y_{R}}$${\textstyle Y_{R}/2}$

${\displaystyle Y_{FULL}={\begin{bmatrix}0&-Y_{R}&Y_{R}\\-Y_{R}&2Y_{R}&-Y_{R}\\Y_{R}&-Y_{R}&0\end{bmatrix}}}$

ただし、それぞれに割り当てられたアドミタンス Y を持つ直列の 2 つの抵抗器の正味アドミタンスは であり、抵抗器は接地に電流を漏らさないため、ネットワーク Y12 は YR11 と等しく反対であること、つまり YR12 = -YR11 であることが簡単にわかります。中間ノードのない 2 ポート ネットワークは検査によって作成でき、以下に示すようになります。 ${\textstyle Y_{R}/2}$

${\displaystyle Y_{PORTS}={\begin{bmatrix}-Y_{R}/2&Y_{R}/2\\Y_{R}/2&-Y_{R}/2\end{bmatrix}}}$

行列の 2 行目と 2 列目を削除する必要があるため、2 行目と 2 列目を除いた行列を書き直すことができます。この書き直された行列を と呼びます。 ${\textstyle Y_{FULL}}$${\textstyle Y_{FULL}}$${\textstyle Y'_{FULL}}$

${\displaystyle Y'_{FULL}={\begin{bmatrix}0&Y_{R}\\Y_{R}&0\end{bmatrix}}}$

これで、 の各エントリをの対応するエントリに変換する方程式を見つけることで、変換方程式を作成するための基礎が得られました。 ${\textstyle Y'_{FULL}}$${\textstyle Y_{ポート}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\Rightarrow -Y_{R}/2&Y_{R}\Rightarrow Y_{R}/2\\Y_{R}\Rightarrow Y_{R}/2&0\Rightarrow -Y_{R }/2\end{bmatrix}}}$

4 つのエントリのそれぞれについて、矢印の左側の値から を引くと、変換が正常に実行されることがわかります。 はと同一である ため、 の各ケースは、一般的な変換方程式に示されている条件を満たします 。 ${\displaystyle Y_{R}/2}$${\displaystyle Y_{R}/2}$${\displaystyle {Y_{R}}^{2}/(2Y_{R})}$${\textstyle Y'_{FULL}}$${\displaystyle Y'_{ij}=Y_{ij}-Y_{ij}Y_{ji}/Y_{kk}}$

同じプロセスは、任意のアドミタンス (など) の要素や任意のサイズのネットワークにも使用できますが、代数はより複雑になります。秘訣は、元の行列のエントリを縮小された行列のエントリに変換する式を推測および/または計算することです。 ${\displaystyle Y_{11}\neq -Y_{12},Y_{ij}\neq Y_{ji}}$

• シュア補数
• 電力フロー調査