量子の傷跡

量子力学において、量子瘢痕とは、古典的にカオス的な量子系の固有状態が不安定な古典周期軌道の経路の周囲で確率密度が高くなる現象である。 ^{[2] [3]}周期軌道の不安定性は、量子瘢痕と、より自明な、安定な周期軌道の近傍で確率密度が高くなるという観察とを区別する決定的なポイントである。後者は純粋に古典的な現象、ボーア対応原理の現れとして理解できるが、前者では量子干渉が不可欠である。そのため、瘢痕は量子古典対応の視覚的な例であると同時に、カオスの（局所的な）量子抑制の例でもある。

古典的カオス系はエルゴード的でもあるため、（ほぼ）すべての軌道は、最終的にはアクセス可能な位相空間全体を均等に探索します。したがって、量子対応物の固有状態は、半古典的極限でのランダムな変動まで、量子位相空間を均一に満たすと予想するのが自然です。ただし、傷跡はこの仮定に対する重要な修正です。したがって、傷跡は、短い周期軌道がランダム行列理論の普遍的なスペクトル統計に修正を提供する方法の固有状態対応物と見なすことができます。エルゴード性の量子的性質に関する厳密な数学的定理があり、^{[4] [5] [6]}演算子の期待値は、半古典的極限で対応するミクロカノニカル古典的平均に収束することを証明しています。ただし、量子エルゴード性定理は、傷跡の量子位相空間の体積が半古典的極限で徐々に消える場合、傷跡を排除しません。

古典的側面では、傷跡の直接的な類似物はありません。量子的側面では、傷跡は、短い周期軌道が普遍ランダム行列理論の固有値統計を修正する方法に対する固有状態の類似物として解釈できます。傷跡は、量子エルゴード性定理によって許可される非エルゴード状態に対応します。特に、傷跡のある状態は、古典的なカオスシステムの固有状態は構造を持たないという仮定に対する印象的な視覚的反例を提供します。従来の量子傷跡に加えて、量子傷跡の分野は、摂動誘起傷跡と多体傷跡の発見によってルネッサンス期を迎えました(以下を参照)。

量子力学的状態密度を対応する古典システムの周期軌道に結び付けるGutzwiller トレース公式^{[7] [8]}に基づくと、傷跡状態の存在はかなり予想外のことである。トレース公式によれば、量子スペクトルはすべての位置にわたるトレースの結果ではなく、すべての周期軌道にわたるトレースのみによって決定される。さらに、すべての周期軌道は、正確に均等ではないにしても、固有値に寄与する。完全にカオス的なシステムでは、周期軌道全体が全位相空間体積のゼロ体積部分を占めるため、特定の周期軌道が特定の固有状態に際立って寄与することはさらにありそうにない。したがって、特定の固有値に対する特定の周期軌道が他の周期軌道と比較して重要な役割を果たす可能性があることを示唆するものは何もないと思われる。それにもかかわらず、量子傷跡はこの仮定が間違っていることを証明している。傷跡は、1983 年に SW McDonald がスタジアム ビリヤードに関する論文で興味深い数値的観察として初めて発見されました。^[9]傷跡は、かなり粗い「ウォーターフォール」プロットであったため、彼の図ではよく見えませんでした。この発見は、スタジアム ビリヤードの波動関数と最近傍準位間隔スペクトルに関する論文の議論では十分に報告されていませんでした。^[10] 1 年後、Eric J. Heller が傷跡のある固有関数の最初の例とその存在の理論的説明を発表しました。^[2]その結果、古典的に混沌とした Bunimovich スタジアムのいくつかの固有状態に影響を与える個々の周期軌道の大きな足跡が明らかになり、Heller はこれを傷跡と名付けました。

波束解析は、傷跡の存在を証明する鍵であり、現在でも傷跡を理解するための貴重なツールです。ヘラーのオリジナルの研究^[2]では、ガウス波束を周期軌道に沿って伝播させることによって量子スペクトルを抽出しています。今日では、この独創的なアイデアは、傷跡の線形理論として知られています。^{[2] [3] [11] [12]} 傷跡は、古典的なカオスシステムの一部の固有状態では目立ちますが、周期軌道に沿った平均位置と平均運動量の両方を持つ特定のテスト状態（多くの場合、ガウス分布）への固有状態の投影によって定量化されます。これらのテスト状態は、傷跡の必要性を明らかにする証明可能な構造化スペクトルを与えます。 ^[13]しかし、傷跡に関する普遍的な尺度は存在せず、安定指数と傷跡の強度の正確な関係は定義の問題です。それでも、経験則があります。^{[3] [7]}量子瘢痕は のときに顕著であり、強度は に比例します。したがって、強い量子瘢痕は、一般に、中程度に不安定で比較的短い周期軌道に関連しています。理論は、古典的な周期軌道に沿った瘢痕の増強を予測しますが、どの特定の状態がどの程度瘢痕化するかを正確に特定することはできません。むしろ、いくつかの状態は特定のエネルギーゾーン内で、少なくともある程度は瘢痕化しているとしか言えません。 ${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \chi <2\pi }$${\displaystyle \chi^{-1}}$

上で概説した線形瘢痕形成理論は、後に波束が周期軌道の周りの線形動力学領域を離れた後に起こる非線形効果を含むように拡張されました。^[12]長時間にわたって、非線形効果は瘢痕形成を助長する可能性があります。これは、ホモクリニック軌道に関連する非線形回帰に起因します。瘢痕形成に関するさらなる洞察は、EB Bogomolny ^{[14]による実空間アプローチと}Michael V. Berry ^[15]による位相空間代替案によって得られ、Heller と L. Kaplan によって使用された波束と Hussimi 空間法を補完しました。^{[2] [3] [12]}

傷跡の最初の実験的確認は、1990年代初頭にマイクロ波ビリヤードで得られました。^{[16] [17]}傷跡のさらなる実験的証拠は、その後、量子井戸、^{[18] [19] [20]}光空洞^{[21] [22]}および水素原子^[23]での観測によって提供されました。 2000年代初頭には、楕円形のビリヤードで最初の観測が達成されました。^[24]多くの古典的な軌道がこのシステムで収束し、焦点に顕著な傷跡をもたらします。これは一般に量子ミラージュと呼ばれます。^[25]さらに、最近の数値結果は、極低温原子ガスに量子傷跡が存在することを示しました。^[26]

瘢痕化のレベルを測る普遍的な尺度が存在しないのと同様に、瘢痕化の一般に受け入れられている定義も存在しない。当初は、特定の不安定な周期軌道が、余分な密度が周期軌道の領域を取り囲むという意味で、一部の量子固有関数に として永久的な瘢痕化を与えることが示され^ていると述べられていた[2] 。しかし、瘢痕化のより正式な定義は以下のようになる: ^[3] 古典的カオス系の量子固有状態は、その周期付近およびその周期全体にわたる古典的不変多様体上の密度が、その軌道に沿った古典的な統計的に予想される密度よりも系統的に増加している場合、周期によって瘢痕化されている。この増加の興味深い結果は、反瘢痕化である。^{[3] [27]}固有状態の中には強く瘢痕化された状態が存在する可能性があるため、多数の状態にわたって均一な平均​​が必要であることから、「通常の」瘢痕の領域に低確率で反瘢痕が存在することが必要となる。さらに、いくつかの崩壊過程は異常に長い脱出時間を伴う反瘢痕状態を持つこと が認識されている^{[27] 。}${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

量子傷跡に関する研究のほとんどは、粒子エネルギーの運動量への依存性が2次であるシュレーディンガー方程式で記述される非相対論的量子系に限定されている。しかし、傷跡はエネルギーと運動量の関係が線形であるディラック方程式で記述される相対論的量子系でも発生する可能性がある。^{[28] [29] [30]}経験的に、これらの相対論的傷跡は、両方のスピノル成分がヘルムホルツ方程式を満たすという事実の結果であり、これは時間に依存しないシュレーディンガー方程式に類似している。したがって、相対論的傷跡は、EJ ヘラーによって導入された従来の傷跡^[2]と同じ起源を持つ。しかし、エネルギー変化に関する再発の点では違いがある。さらに、傷跡状態は、共鳴透過のメカニズムを介して、対応する開いた量子ドットで強い伝導率変動につながる可能性があることが示された。^[28]

上で説明した瘢痕形成に加えて、理論または外観で結びついた類似の現象がいくつかあります。まず、瘢痕が視覚的に識別されると、いくつかの状態は、量子瘢痕から除外されて独自のカテゴリに分類された古典的な「バウンドするボール」の動きを思い起こさせる場合があります。たとえば、スタジアムのビリヤードは、これらの高度に非エルゴードな固有状態をサポートし、まっすぐな壁の間に閉じ込められたバウンドする動きを反映しています。^[3]バウンドする状態は極限で持続することが示されているが、同時にこの結果は、Alexander Schnirelman、Yves Colin de Verdière、およびSteven Zelditchの量子エルゴード性定理と一致するすべての状態の割合が減少することを示唆しています。^{[4] [5] [6]}第二に、瘢痕形成を統計的変動と混同しないでください。確率密度が向上した同様の構造は、ベリー予想の意味での平面波のランダムな重ね合わせとしても発生します。 ^{[31] [32] [33]}さらに、実際の周期軌道によって引き起こされるのではなく、その残骸であるゴーストと呼ばれる傷跡のジャンルがあります。これは、調整可能な外部システムパラメータの意味で、近くのシステムで見つかった周期軌道を指します。^{[34] [35]}この種の傷跡は、ほぼ周期的な軌道に関連付けられています。^[36]ゴーストの別のサブクラスは、分岐点の近くにある複雑な周期軌道に由来します。^{[37] [38]}${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

乱れた2次元ナノ構造で、新しい種類の量子傷跡が発見された。^{[39] [40] [1] [41] [42]}前述の通常の量子傷跡と見た目は似ているが、これらの傷跡は根本的に異なる起源を持つ。この場合、小さな摂動から生じる乱れ（図の赤い点を参照）は、古典的な長期安定性を破壊するのに十分である。したがって、通常の傷跡理論で傷跡が対応する、古典的な対応物には中程度に不安定な周期は存在しない。代わりに、傷跡は、対応する摂動を受けていないシステムの周期軌道の周りに形成される。通常の傷跡理論は、乱れの強さの関数としての傷跡の挙動によってさらに除外される。潜在的な隆起を他の部分を変えずに強くすると、傷跡は強くなり、その後、方向を変えずに消えていく。対照的に、従来の理論によって引き起こされる傷跡は、乱れが増加するにつれて周期軌道の安定指数が増加するため、急速に弱くなるはずである。さらに、異なるエネルギーでの傷跡を比較すると、傷跡はいくつかの異なる方向にのみ発生することがわかります。これも、通常の傷跡理論の予測と矛盾しています。

量子多体傷跡の分野は活発に研究されている。^{[43] [44]}

傷跡は、リュードベリ状態の量子コンピューティングへの潜在的な応用、特に量子シミュレーションの量子ビットとしての役割を果たす研究で発生しました。^{[45] [46]交互}基底状態-リュードベリ状態構成のシステムの粒子は、エンタングルメントを維持して熱化を起こすのではなく、継続的にエンタングルメントとエンタングルメントの解除を起こします。^{[45] [46] [47]} 他の初期状態で準備された同じ原子のシステムは、予想どおりに熱化しました。^{[46] [47]} 研究者はこの現象を「量子多体傷跡」と名付けました。^{[48] [49]}

量子瘢痕の原因はよくわかっていない。^[45]提案されている説明の1つは、量子瘢痕は積分可能なシステム、またはそれに近いシステムを表し、これが熱化の発生を妨げる可能性があるというものである。 ^[50] これは、積分不可能なハミルトニアンが理論の基礎にあると主張する批判を引き起こした。^[51]最近、一連の研究^{[52] [53]}は、量子瘢痕の存在を動的対称性として知られる代数構造に関連付けた。^{[54] [55]}

量子ビットの状態への摂動は状態を熱化させ、量子情報の損失につながる可能性があるため、フォールトトレラントな量子コンピュータが望まれている。^{[45]量子ビットの状態の瘢痕化は、}デコヒーレンスや情報損失 につながる外部からの擾乱から量子ビットの状態を保護する潜在的な方法と考えられている。

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