サハの電離方程式

物理学において、サハ電離方程式は、熱平衡にあるガスの電離状態を温度と圧力に関連付ける式です。^{[1] [2]}この式は、量子力学と統計力学の考え方を組み合わせた結果であり、星のスペクトル分類を説明するために使用されます。この式は、1920年に物理学者メグナド・サハによって開発されました。 ^{[3] [4]} これは、統計物理学とプラズマ物理学の多くの教科書で説明されています。^[5]

十分に高い温度(ここではエネルギー単位、つまり keV または J で測定) および/または密度のガスの場合、原子の熱衝突により一部の原子がイオン化され、イオン化ガスが生成されます。通常、原子核の周りの軌道で原子に結合している電子のいくつかまたはそれ以上が解放されると、原子イオンと中性原子の周囲のガスと共存する独立した電子ガス雲を形成します。十分にイオン化されると、ガスはプラズマと呼ばれる物質の状態になります。

サハ方程式は、熱平衡状態にある任意のガスのイオン化度を、原子の温度、密度、イオン化エネルギーの関数として表します。サハ方程式は、デバイ長が小さい弱イオン化プラズマにのみ適用されます。これは、イオンと電子のクーロン相互作用が他のイオンと電子によって遮蔽される可能性がごくわずかであることを意味します。したがって、イオン化ポテンシャルの低下と分配関数の「カットオフ」もごくわずかです。

単一の原子種からなる気体の場合、サハ方程式は 次のように表されます。 $${\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{\text{e}}}{n_{i}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}{k_{\text{B}}T}}\right]}$$

• ${\displaystyle n_{i}}$は、 i番目の電離状態、つまりi個の電子が除去された状態にある原子の密度です。
• ${\displaystyle g_{i}}$iイオンの状態の縮退である
• ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$中性原子からi 個の電子を除去してiレベルのイオンを作成するために必要なエネルギーです。
• ${\displaystyle n_{\text{e}}}$電子密度は
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ボルツマン定数である
• ${\displaystyle \lambda _{\text{th}}}$電子の熱ドブロイ波長である$${\displaystyle \lambda _{\text{th}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {h}{\sqrt {2\pi m_{\text{e}}k_{\text{B}}T}}}}$$
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$電子の質量である
• ${\displaystyle T}$ガスの温度です
• ${\displaystyle h}$プランク定数

式は番目の電子を除去するのに必要なエネルギーです。イオン化の 1 つのレベルのみが重要な場合は、 となり、全密度n をと定義すると、Saha 方程式は次のように簡略化されます。 ここで はイオン化エネルギーです。イオン化の度合いを定義して、 ${\displaystyle (\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}$${\displaystyle (i+1)}$${\displaystyle n_{1}=n_{\text{e}}}$${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}}$$${\displaystyle {\frac {n_{\text{e}}^{2}}{n-n_{\text{e}}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x=n_{1}/n}$$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{1-x}}=A={\frac {2}{n\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$

これは閉じた形で解くことができる二次方程式を与えます。 $${\displaystyle x^{2}+Ax-A=0}$$

が小さい場合、密度とともにイオン化は減少します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle x\approx A^{1/2}\propto n^{-1/2}}$

簡単な例として、単原子水素原子のガスを想像し、次のように設定します。${\displaystyle g_{0}=g_{1}}$${\displaystyle \varepsilon }$13.6  eV =158 000  K、水素の基底状態からのイオン化エネルギー。 =${\displaystyle n}$2.69 × 10 ²⁵  m ⁻³はロシュミット定数、つまり標準圧力と標準温度における地球の大気の粒子密度です。 =${\displaystyle T}$300 Kでは、イオン化は実質的にゼロです: =${\displaystyle x}$5 × 10 ⁻¹¹⁵であり、地球の大気の体積内にイオン化された原子はほとんど存在しないであろう。 は とともに急速に増加し、 =では 0.35 に達する${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$20 000  K 。イオン化エネルギーよりはるかに小さいにもかかわらず、かなりのイオン化があります。これらの高エネルギー粒子は、原子をイオン化するのにより効果的です。地球の大気中では、イオン化は実際にはサハ方程式ではなく、非常にエネルギーの高い宇宙線、主にミューオンによって支配されています。これらの粒子は大気と熱平衡状態にないため、大気の温度にはなく、サハの論理は適用されません。${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

サハ方程式は、2 つの異なるイオン化レベルの粒子密度の比を決定するのに役立ちます。この目的に最も役立つサハ方程式の形式は、 Z が分配関数を表す 場合です。サハ方程式は、化学ポテンシャルの平衡条件を言い換えたものと見ることができます。 $${\displaystyle {\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}},}$$$${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,}$$

この式は、イオン化状態iの原子がイオン化する電位が、電子とイオン化状態i + 1の原子の電位と同じであることを単純に述べています。電位は等しいため、システムは平衡状態にあり、イオン化の正味の変化は発生しません。

20 年代前半、ラルフ H. ファウラーは(チャールズ ゴルトン ダーウィンと共同で)統計力学の新しい手法を開発し、物質の平衡特性を体系的に計算できるようにしました。彼はこれを使用して、物理化学で分子解離に応用されているヤコブス ヘンリクス ファントホッフの定理を原子のイオン化に拡張し、サハが得たイオン化の公式を厳密に導出しました。また、ファウラーによって導入されたサハの方程式の重要な改良点は、原子とイオンの励起状態の影響を含めることでした。 1923年、エドワード・アーサー・ミルンとRHファウラーが『 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society』に論文を発表し、吸収線の最大強度（中性原子の従属系列に属する）の基準は、吸収線の限界的な出現または消失から成るサハの基準よりも、恒星大気の物理的パラメータに関する情報を得るのにはるかに有益であることを示した。後者の基準には、恒星大気中の関連する圧力に関するある程度の知識が必要であり、当時一般に受け入れられていた見解に従って、サハは1気圧から0.1気圧のオーダーの値を想定した。ミルンは次のように書いている。

サハは、恒星系列における吸収線の周辺部の出現と消失に注目し、恒星大気の圧力をある桁と仮定し、例えば電離の増加によって直列電子の損失により問題の線の吸収がそれ以上抑制される温度を計算した。ある日、ファウラーと私がトリニティの私の部屋を踏み鳴らしながらこのことについて話し合っていたとき、例えば水素のバルマー線の最大強度は、低温では励起原子が少なすぎて吸収が目立たず、高温では中性原子が少なすぎて吸収がまったくないと考えることで簡単に説明できることが突然思いついた。...その夜、私はその効果の大きさの計算を急いで行い、バルマー線が最大となるA0型の恒星の温度10000° [K] と一致させるには、10 −4 気圧のオーダーの圧力が^必要であることを発見した。これは非常に興奮した。なぜなら、線のシフトと線幅から恒星の大気中の圧力を標準的に測定すると、1気圧以上の圧力が示されるはずだったが、私は他の理由からこれを信じなくなっていたからである。^[6]

当時、一般的に受け入れられていた見解では、恒星の組成は地球と似ていると想定されていました。しかし、1925年にセシリア・ペインはサハの電離理論を使用して、恒星の大気の組成は現在知られている通り、主に水素とヘリウムであると計算し、恒星に関する知識を広げました。^[7]

プラズマが局所的な熱力学的平衡にある場合、サハ平衡が成立しますが、これは光学的に薄いコロナでは当てはまりません。ここでは、衝突率と再結合率の詳細な統計計算によって平衡電離状態を推定する必要があります。

サハ方程式で説明される平衡イオン化は、初期宇宙の進化を説明する。ビッグバン後、すべての原子はイオン化され、主に陽子と電子が残った。サハのアプローチによれば、宇宙が膨張して冷え、温度が約3000 Kで電子は陽子と再結合して水素原子を形成した。この時点で宇宙はほとんどの電磁波に対して透明になった。約 1,000 倍赤方偏移した3000 K の表面は、現在宇宙全体に広がる 3 K宇宙マイクロ波背景放射を生成します。

• ヘイル・ブラッドによる導出と議論
• ユタ大学物理学部による詳細な導出
• メリーランド大学天文学部の講義ノート