ロイの正体

ロイの恒等式（フランスの 経済学者 ルネ・ロイにちなんで名付けられた）は、消費者の選択や企業理論に応用されているミクロ経済学の主要な成果である。この補題は、通常の（マーシャルの）需要関数を間接効用関数の導関数に関連付けるものである。具体的には、間接効用関数を財に対するマーシャルの需要関数と表記すると、次のように計算できる。 ${\displaystyle v(p,w),}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle x_{i}^{m}(p,w)=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}}$

ここで、は財の価格ベクトル、は所得、^[1]であり、上付き文字はマーシャルの需要を表します。この結果は、間接効用関数がすべての引数で微分可能であるという追加の要件の下で、凸消費集合上の局所的に不飽和で厳密に凸な選好関係を表す連続効用関数に対して成立します。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {}^{m}}$

ロイの恒等式は、支出関数の価格導関数がヒックス需要関数を与えるという結果に似ています。ロイの恒等式で間接効用関数の富の導関数で割るという追加の手順が必要なのは、間接効用関数は支出関数とは異なり、順序的な解釈を持つためです。つまり、元の効用関数の厳密に増加する変換はすべて、同じ好みを表します。

ロイの恒等式は、シェパードの補題を再定式化して、ある間接的な効用関数から 個人と財（）に対するマーシャルの需要関数を取得します。${\displaystyle i}$

最初のステップは、間接効用関数において、富または所得を支出関数に代入して得られる自明な恒等式を考えることです。この場合の効用は です。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v(p,w)}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle v(p,e(p,u))=u}$

これは、一連の価格 (ベクトル) を与えられた場合に特定の効用を達成するためのコストを最小化する方法で評価された間接効用関数が、それらの価格で評価されたときにその効用と等しいことを意味します。 ${\displaystyle p}$

この式の両辺を単一財の価格に関して微分すると（効用レベルは一定）、次の式が得られます。 ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}$。

並べ替えると、望ましい結果が得られます。

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}$

最後から2番目の等式はシェパードの補題から導かれ、最後の等式はヒックス需要の基本特性から導かれます。

説明を簡単にするために、2つの財がある場合を考えてみましょう。間接効用関数は、次のラグランジアンによって特徴付けられる制約付き最適化問題の価値関数です。^[2]${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}$

包絡線定理により、パラメータに関する 値関数の導関数は次のようになります。${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda }$

ここで、最大化関数（つまり、財1に対するマーシャルの需要関数）です。したがって、 ${\displaystyle x_{1}^{m}}$

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}}$

これは、ある消費者の間接効用関数から、その消費者の財のマーシャル需要関数を導出する方法を提供します。これは、スラツキー方程式を導出する上でも基本となります。

• ロイ、ルネ (1947)。 「La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens」。エコノメトリカ。15 (3): 205–225。土井：10.2307/1905479。JSTOR  1905479。
• アンドレウ・マスコレル、マイケル・D・ウィンストン、ジェリー・R・グリーン（1995年）。『ミクロ経済理論』オックスフォード大学出版局、pp.73f。