ロクリン補題

数学において、ロクリン補題、あるいは角谷–ロクリン補題は、エルゴード理論における重要な結果である。これは、非周期測度保存力学系が、測定可能な集合の任意の高い塔と、任意の小さな測度の剰余に分解できることを述べている。これは、ウラジミール・アブラモビッチ・ロクリンによって証明され、独立に角谷静夫によって証明された。この補題は、例えばオルンスタイン理論などのエルゴード理論で広く使用されており、多くの一般化がある。

ロクリン補題は、集合論におけるゾルンの補題や複素解析におけるシュワルツの補題などの数学的命題のグループに属しますが、これらの命題はそれぞれの分野での役割が基本的なものであるにもかかわらず、伝統的に補題と呼ばれています。

ルベーグ空間は、 2 つの部分から構成される測度空間です。1 つは有限/可算個の原子を持つ原子部分、もう 1 つは 上の区間に同型な連続体部分です。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$${\textstyle \mathbb {R} }$

ここでは測度保存写像のみを考える。測度論では典型的であるが、測度ゼロの集合を可算個だけ自由に捨てることができる。

エルゴード写像とは、（測度ゼロの集合を除く）ならば、またはは測度ゼロになる ような写像である。${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle XA}$

非周期写像とは、周期点の集合が測度 0 であるような写像です。ロクリン塔は互いに素な集合の族です。 は塔の基部と呼ばれ、それぞれは塔の段またはレベルです。 は塔の高さです。塔自体は です。塔の外側の集合は誤差集合です。 $${\displaystyle \mu (\cup _{n\geq 1}\{x=T^{n}x\})=0}$$${\textstyle S,TS,\dots ,T^{N-1}S}$${\textstyle S}$${\textstyle T^{n}S}$${\textstyle N}$${\displaystyle R:=(S\cup TS\cup \dots \cup T^{N-1}S)}$${\textstyle XR}$

Rokhlin の補題はいくつかあります。それぞれは、いくつかの仮定の下で、任意の高さと任意の小さな誤差集合を持つ Rokhlin タワーを構築できることを示しています。

^{[1] [2]}

ロクリン補題はいくつかの定理を証明するために使用できる。例えば、（第2.5節^[2]）

（第4.6節^[2]）

オルンシュタイン同型定理（第6章^[2]）。

をコンパクトな計量空間と同相写像からなる位相的力学系とします。位相的力学系は、適切な空でない閉 -不変部分集合を持たない場合、極小と呼ばれます。周期点を持たない場合、(位相的に)非周期的と呼ばれます (一部の に対して であり、を意味する)。位相的力学系は、同変 である連続射影写像、つまりすべての に対してが存在する場合、の因子と呼ばれます。 ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$${\displaystyle \textstyle (X,T)}$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle T^{k}x=x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \textstyle (Y,S)}$${\displaystyle \textstyle (X,T)}$${\displaystyle \textstyle \varphi :X\rightarrow Y}$${\displaystyle \textstyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)}$${\displaystyle \textstyle x\in X}$

イーロン・リンデンシュトラウスは次の定理を証明した: ^[3]

定理:は非周期的な最小因子を持つ位相的な動的システムとします。すると、整数に対して、集合が満たす連続関数が対ごとに互いに素であるような関数が存在します。 ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle E=\{x\in X\mid f(Tx)\neq f(x)+1\}}$${\displaystyle \textstyle E,TE,\ldots ,T^{n-1}E}$

ガットマンは次の定理を証明した: ^[4]

定理:が、小さな境界特性を持つ非周期因子を持つ位相的力学系であるとします。このとき、任意の に対して、集合がを満たすような連続関数 が存在し、ここで は軌道容量を表します。 ${\displaystyle (X,T)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle E=\{x\in X\mid f(Tx)\neq f(x)+1\}}$${\displaystyle \operatorname {ocap} (\textstyle E)<\varepsilon }$${\displaystyle \operatorname {ocap} }$

• 非可逆な測度保存変換のバージョンもある。^{[5] [6]}
• ドナルド・オーンスタインとベンジャミン・ワイスは可算離散群による自由行為のバージョンを証明した。^[7]
• カール リンダーホルムは、周期的な非特異変換のバージョンを証明しました。^[8]

^証拠は[2]から引用した。

命題。原子のないルベーグ空間上のエルゴード写像は非周期的である。

証明。写像が非周期的でない場合、周期の周期点の集合が正の測度を持つような数 が存在します。集合を と呼びます。測度は保存されるため、 の外側の点はに写像されず、その逆も同様です。空間には原子がないため、2 つの半分に分割でき、それぞれがそれ自体に写像されるため、 はエルゴードではありません。 ${\textstyle n}$${\textstyle n}$${\textstyle S}$${\textstyle S}$${\textstyle S}$${\textstyle T}$${\textstyle T}$

命題。測度 1 のルベーグ空間上に非周期写像が存在する場合、その空間は原子を持たない。

証明。原子が存在する場合、測定保存により、各原子はより大きいか等しい測定の別の原子にのみマッピングできます。より大きな測定の原子にマッピングすると、より軽い原子から測定がなくなるため、各原子は等しい測定の別の原子にマッピングされます。空間の総測定は有限であるため、特定の測定の原子は有限の数しか存在せず、最終的には開始点に戻る必要があります。

命題。がエルゴード的である場合、任意の集合は（空集合を除いて） を満たします。 証明。は のサブセットであるため、測度保存によりそれらは等しくなります。 したがって はの因数であり、 を含むため のすべてです。 ${\textstyle T}$${\textstyle A>0}$$${\displaystyle X=\cup _{k\geq 0}T^{k}A=\cup _{k\leq 0}T^{k}A}$$ ${\textstyle T^{-1}(\cup _{k\leq 0}T^{k}A)}$${\textstyle \cup _{k\leq 0}T^{k}A}$${\textstyle \cup _{k\leq 0}T^{k}A}$${\textstyle T}$${\textstyle A>0}$${\textstyle X}$

同様に、は のサブセットなので、測度保存によりそれらは等しい、などとなります。 ${\textstyle T(\cup _{k\leq 0}T^{k}A)}$${\textstyle \cup _{k\leq 0}T^{k}A}$

を測度 の集合とします。 はエルゴードなので、ほぼすべての点は遅かれ早かれ に該当します。そこで、「到着までの時間」関数を定義します。 で、に該当しない場合はとなります。 の集合はnull です。 ${\textstyle A}$${\textstyle <\epsilon }$${\textstyle T}$${\textstyle X=\cup _{k\leq 0}T^{k}A}$${\textstyle A}$$${\displaystyle f(x):=\min\{n\geq 0:T^{n}x\in A\}}$$${\textstyle f(x):=+\infty }$${\textstyle x}$${\textstyle A}$${\textstyle \{f(x)=+\infty \}}$

さて、 としましょう。 ${\textstyle S=\{x:f(x)\in \{N,2N,3N,\dots \}\}}$

前の命題により、は原子を持たないので、これを単位区間 にマッピングできます。 ${\displaystyle X}$${\textstyle (0,1)}$

ほぼ完全なカバレッジを持つほぼゼロの集合、つまり となるような集合を選択できる場合、 となるようなが存在し、各 について、次が成り立ちます。ここで、 を用いて前述の構築を繰り返すと、高さおよびカバレッジの Rokhlin タワーが得られます。 ${\textstyle A=O(\epsilon )}$${\textstyle X-\cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A=O(\epsilon )}$${\textstyle n}$${\textstyle X-\cup _{k\leq n}T^{k}A=O(\epsilon )}$${\displaystyle T^{-i}(T^{n}A)\supset T^{n-i}A}$${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$$${\displaystyle X-\cup _{k\leq 0}T^{k}(T^{n}A)=O(\epsilon )}$$${\displaystyle T^{n}A}$${\textstyle N}$${\textstyle 1-O(\epsilon )}$

したがって、私たちのタスクは、ほぼ完全なカバレッジを持つほぼゼロのセットを選択することに縮小されます。

を選びます。が互いに素であるような集合の族であるとします。 は測度を保存するので、任意の のサイズは です。 ${\textstyle M>1/\epsilon }$${\textstyle S}$${\textstyle A}$${\textstyle A,T^{-1}A,\dots ,T^{-M}A}$${\textstyle T}$${\textstyle A\in S}$${\textstyle <\epsilon }$

集合はであるため、空ではありません。 によって事前順序付けされる場合、その場合のみです。 完全に順序付けられたチェーンには上限が含まれます。 したがって、単純なZorn-lemmaのような議論により、その中には最大要素が存在します。 これが目的の集合です。 ${\textstyle S}$${\textstyle \emptyset \in S}$${\textstyle A<B}$${\textstyle \mu (B-A)=0}$${\textstyle A}$

背理法によって を証明します。 を仮定しないと、 とは素な集合 を構築しますが、は最大要素ではなくなり、矛盾が 生じます。${\textstyle X=\cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A}$${\textstyle I\cap E>0}$${\textstyle A}$${\textstyle A\cup (I\cap E)\in S}$${\textstyle A}$

と仮定したので、正の確率で、 となります。 ${\textstyle X-\cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A=\epsilon '>0}$${\displaystyle x\not \in \cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A}$

は非周期的であるため、確率 1 です。したがって、 が十分に小さい場合、確率 です。したがって、 が十分に小さい場合、確率 で、これら 2 つのイベントが同時に発生します。イベントを とします。 ${\textstyle T}$$${\displaystyle (x\neq Tx)\wedge (x\neq T^{2}x)\wedge \dots \wedge (x\neq T^{M}x)}$$${\textstyle \delta }$${\textstyle >1-\epsilon '/2}$$${\displaystyle (|x-Tx|>\delta )\wedge (|x-T^{2}x|>\delta )\wedge \dots \wedge (|x-T^{M}x|>\delta )}$$${\textstyle \delta }$${\textstyle >\epsilon '/2}$${\textstyle E}$

塔の基部のみがパーティションから確率的に独立している場合を証明すれば十分です。その場合が証明されると、基本ケースをパーティションに適用できます。 ${\textstyle P\vee T^{-1}P\vee \dots \vee T^{-N+1}P}$

確率がゼロのイベントは無視できるため、各イベントの確率が正であるパー​​ティションのみを考慮します。 ${\textstyle P_{k}}$

目標は、各 に対して となるような、底辺 を持つRokhlin タワーを構築することです。 ${\textstyle R'}$${\textstyle S'}$${\displaystyle \mu (S'\cap P_{i})={\frac {1-\epsilon }{N}}\mu (P_{i})}$${\textstyle i\in 0:K-1}$

分割とマップ が与えられれば、各点の軌道を記号 の文字列としてトレースすることができます。つまり、までたどり、どの分割にたどり着いたかを確認し、その分割の名前を と書きます。 ${\textstyle P}$${\textstyle T}$${\textstyle x}$${\textstyle a_{0}(x),a_{1}(x),a_{2}(x),\dots }$${\textstyle T^{i}x\in P_{a_{i}(x)}}$${\textstyle x}$${\textstyle T^{i}x}$${\textstyle a_{i}(x)}$

高さ の任意の Rokhlin タワーについて、そのベース を取って、同値類に分割できます。同値性は次のように定義されます。2 つの要素が同値であるのは、それらの名前の最初の記号が同じである場合のみです。 ${\textstyle N}$${\textstyle S}$${\textstyle K^{N}}$ ${\textstyle N}$

をそのような同値類の 1 つとすると、それをRokhlin タワーの 列と呼びます。${\textstyle E\subset S}$${\textstyle E,TE,\dots ,T^{N-1}E}$

各単語 に対して、対応する同値クラスを とします。 ${\textstyle a_{0:N-1}\in (0:K-1)^{N}}$${\textstyle E_{a}}$

は可逆なので、塔は柱で区切られます。ストリングチーズでできた塔を想像し、塔のベースを同値類に切り分け、それを柱 に引き離すことができます。${\textstyle T}$${\textstyle K^{N}}$${\textstyle K^{N}}$

を非常に小さくし、を非常に大きくします。レベル と誤差集合のサイズの Rokhlin タワーを構築します。そのベースを とします。タワーの質量は です。 ${\textstyle \delta \ll \epsilon }$${\textstyle M\gg N}$${\textstyle M}$${\textstyle \delta }$${\textstyle S}$${\textstyle R=S\cup TS\cup \dots \cup T^{M-1}S}$${\textstyle 1-\delta }$

前述のように、基底を同値類に分割します。これにより、可能な単語の範囲が列に分割されます。 ${\textstyle K^{N}}$${\textstyle K^{N}}$${\textstyle \{E_{a}\}_{a}}$${\textstyle a}$${\textstyle (0:K-1)^{N}}$

同値クラスを定義した方法により、各列の各レベルは、パーティション の 1 つに完全に含まれます。したがって、列レベルは、サイズ のエラー セットを除いて、パーティション の改良をほぼ構成します。 ${\textstyle T^{n}E_{a}}$${\textstyle P_{0},\dots ,P_{K-1}}$${\textstyle \{T^{n}E_{a}\}_{a,n}}$ ${\textstyle P}$${\textstyle \delta }$

つまり、重要なアイデアは、それぞれを均等に分割し、1つを新しいロクリンタワーのベースに配置すると、$${\displaystyle \mu (R\cap P_{i})=\sum _{a\in (0:K-1)^{N},\;n\in 0:M-1}\mu (T^{n}E_{a})=\mu (P_{i})+O(\delta )}$$${\textstyle T^{n}E_{a}}$${\textstyle N}$${\textstyle S'}$$${\displaystyle \mu (S'\cap P_{i})={\frac {1}{N}}\mu (P_{i})+O(\delta )}$$

ここで、次のようにして新しいベースを構築します。 に基づく各列について、 を階段状にに追加し、セットを最初に戻します。 これを、列がなくなるまで繰り返します。新しい Rokhlin タワー ベースはほぼ正しいですが、別のセット に少しトリミングする必要があります。このセットは、各 について を満たし、構築が完了します。(ここでのみ、パーティションの数は有限個しかないという仮定を使用します。パーティションの数が可算数である場合、トリミングは実行できません。) ${\textstyle S'}$${\textstyle E_{a}}$${\textstyle S'}$$${\displaystyle E_{a,0},TE_{a,1},\dots ,T^{N-1}E_{a,N-1}}$$$${\displaystyle T^{N}E_{a,0},T^{N+1}E_{a,1},\dots ,T^{2N-1}E_{a,N-1}}$$${\textstyle S'}$${\displaystyle S''}$${\displaystyle \mu (S''\cap P_{i})={\frac {1-\epsilon }{N}}\mu (P_{i})}$${\textstyle i\in 0:K-1}$

• ウラジミール・ロクリン。「一般的な」測度保持変換は、混合ではありません。 Doklady Akademii Nauk SSSR (NS)、60:349–351、1948。
• 角谷静夫.誘導測度保存変換. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19:635–641, 1943.
• ベンジャミン・ワイス. VAロクリンによるエルゴード理論の研究について.エルゴード理論と動的システム, 9(4):619–627, 1989.
• アイザック・コーンフェルド [de] . 「ロクリン塔の新旧」現代数学、356:145、2004年。