同時性の相対性

物理学において、同時性の相対性とは、遠隔同時性 （空間的に離れた2つの出来事が同時に起こるかどうか）は絶対的なもの ではなく、観察者の基準フレームに依存するという概念である。この可能性は1900年に数学者アンリ・ポアンカレによって提起され、その後、特殊相対性理論の中心的なアイデアとなった。

アルバート・アインシュタインが提唱した特殊相対性理論によれば、空間的に離れた2 つの異なるイベントが同時に発生すると絶対的に断言することは不可能です。1 つの参照フレームが空間内の異なるポイントにある 2 つのイベントにまったく同じ時間を割り当てる場合、最初の参照フレームに対して移動している参照フレームは、通常、2 つのイベントに異なる時間を割り当てます (唯一の例外は、動きが両方のイベントの位置を結ぶ線に対して正確に垂直である場合)。

たとえば、ロンドンとニューヨークでの自動車事故は、地球上の観測者には同時に起こったように見えますが、ロンドンとニューヨーク間を飛行する飛行機の観測者にはわずかに異なる時間に起こったように見えます。さらに、2 つのイベントを因果的に接続できない場合、運動の状態に応じて、特定のフレームではロンドンの事故が最初に発生したように見え、別のフレームではニューヨークの事故が最初に発生したように見える場合があります。ただし、イベントが因果的に接続できる場合は、すべての参照フレームで優先順位が保持されます。^[1]

1892年と1895年に、ヘンドリック・ローレンツは、負のエーテルドリフト実験を説明するために、「局所時間」 t' = t – vx/c ²と呼ばれる数学的手法を使用しました。 ^[2]しかし、ローレンツはこの効果の物理的な説明をしませんでした。これは、 1898年にすでに同時性の慣習的な性質を強調し、すべての方向で光速度が一定であると仮定するのが便利であると主張したアンリ・ポアンカレによって行われました。しかし、この論文には、ローレンツの理論や、異なる運動状態の観測者に対する同時性の定義の違いの可能性についての議論は含まれていませんでした。^{[3] [4]} これは1900年に行われ、ポアンカレは、光速度がエーテル内で不変であると仮定して局所時間を導きました。 「相対運動の原理」により、エーテル内で移動する観測者も、自分たちは静止しており、光速度は全方向で一定である（v/cの一次のみ）と仮定する。したがって、光信号を使用して時計を同期させる場合、信号の通過時間のみを考慮し、エーテルに対する動きは考慮しない。したがって、移動する時計は同期しておらず、「真の」時間を示していない。ポアンカレは、この同期誤差がローレンツの局所時間に対応すると計算した。^{[5] [6]} 1904年、ポアンカレは相対性原理、「局所時間」、および光速度不変性の関係を強調したが、その論文の推論は定性的かつ推測的な方法で提示された。^{[7] [8]}

アルバート・アインシュタインは1905 年に同様の方法を使用して、v/cのすべてのオーダーの時間変換、つまり完全なローレンツ変換を導出しました。ポアンカレは 1905 年より前に完全な変換を取得しましたが、その年の論文では同期手順については触れていませんでした。この導出は光速不変性と相対性原理に完全に基づいていたため、アインシュタインは運動体の電気力学ではエーテルは不要であると指摘しました。したがって、ローレンツとポアンカレの「真の」時間と「局所的な」時間の区別は消え、すべての時間は等しく有効であり、したがって長さと時間の相対性は自然な帰結です。^{[9] [10] [11]}

1908年、ヘルマン・ミンコフスキーはミンコフスキー空間と呼ばれる宇宙モデルの中で粒子の世界線の概念^{[12]を導入した。ミンコフスキーの見解では、}速度という素朴な概念はラピディティに置き換えられ、同時性の通常の意味はラピディティに関連付けられた世界線に対する空間方向の双曲直交性に依存するようになる。すると、すべての慣性系はラピディティと同時に存在する超平面を持つことになる。

1990年、ロバート・ゴールドブラットは『直交性と時空幾何学』を執筆し、ミンコフスキーが同時性のために構築した構造に直接言及した。^[13] 2006年、マックス・ジャマーはプロジェクトMUSEを通じて『同時性の概念：古代からアインシュタインまで、そしてそれ以降』を出版した。この本は第6章「同時性の相対論的概念への移行」で最高潮に達している。ジャマーは、エルンスト・マッハがニュートン物理学の絶対時間の神話性を脱神話化したことを指摘している。

当然のことながら、数学的概念は物理的解釈に先行します。たとえば、共役双曲線の共役直径は空間と時間として関連しています。相対性原理は、平面上の空間と時間を表すためにどのペアを取るかの任意性として表現できます。^[14]

アインシュタインの実験^[15]では、列車が通過するときに、1人の観察者が高速で走行する車両の中央に座り、もう1人がプラットフォームに立っていると仮定しました。立っている観察者によって測定されたように、列車は同時に2つの雷に打たれましたが、列車の移動軸に沿った異なる位置（車両の後部と前部）でした。立っている観察者の慣性系では、空間的にずれているが同時に発生する3つのイベントがあります。動いている観察者（つまり、列車の中心）に面している立っている観察者、列車の前方に落ちる雷、および車両の後部に落ちる雷です。

イベントは列車の移動軸に沿って配置されているため、その時間座標は、移動中の列車の慣性系内の異なる時間座標に投影されます。列車の移動方向の空間座標で発生したイベントは、列車の移動方向と反対の座標でのイベントよりも早く発生します。移動中の列車の慣性系では、これは、 2 人の観測者が一列に並ぶ (互いに向き合う) 前に、雷が列車の車両の前面に落ちることを意味します。

この考え方を理解するための一般的な図式は、1910年にダニエル・フロスト・コムストック^[16]や1917年にアインシュタイン^{[17] [15]}が提案したものに似た思考実験によって提供されています。この思考実験も、高速で走行する列車の車内に1人の観察者がいて、列車が通過するときにもう1人の観察者がプラットフォームに立っているというものです。

2 人の観測者がすれ違う瞬間、車両の中央で閃光が放たれます。列車に乗っている観測者にとって、車両の前部と後部は光源から一定の距離にあるため、この観測者によると、光は車両の前部と後部に同時に届くことになります。

一方、プラットホームに立っている観測者にとっては、車両の後部は閃光が放たれた地点に向かって（追いついて）動いており、車両の前部はそこから遠ざかっています。光の速度は有限であり、すべての観測者にとってどの方向でも同じであるため、列車の後部に向かう光は、前部に向かう光よりも移動距離が短くなります。したがって、閃光は車両の端に異なるタイミングで当たります。

この状況を時空図を使って視覚化すると分かりやすいかもしれません。ある観測者にとって、t軸は空間座標xの原点によって時間的に描かれた点として定義され、垂直に描かれます。x軸は、時刻t = 0 における空間内のすべての点の集合として定義され、水平に描かれます。光の速度はすべての観測者にとって同じであるという主張は、光源の速度と観測者の速度の相対関係に関わらず、光線を 45° の線として描くことで表現されます。

最初の図では、列車の両端が灰色の線で描かれています。列車の両端は列車に乗っている観測者に対して静止しているため、これらの線は単なる垂直線であり、時間の流れは示しますが、空間の流れは示しません。光の閃光は 45° の赤い線で示されています。2 つの光の閃光が列車の両端に当たる点は、図の中で同じ高さにあります。これは、イベントが同時に発生していることを意味します。

2 番目の図では、右方向に移動する列車の両端が平行線で示されています。閃光は列車の両端のちょうど中間の地点で発せられ、再び 2 本の 45° 線を形成し、光速度の不変を表現しています。ただし、この図では、閃光が列車の両端に当たる点は同じ高さではなく、同時でもありません。

同時性の相対性は、ローレンツ変換を使用して実証できます。ローレンツ変換は、1 人の観測者が使用する座標を、最初の観測者に対して等速相対運動している別の観測者が使用する座標に関連付けます。

最初の観測者がt、x、y、z というラベルの付いた座標を使用し、 2 番目の観測者がt′、x′、y′、z′というラベルの付いた座標を使用するとします。ここで、最初の観測者は、 2 番目の観測者がx方向に速度vで移動しているのを見ているとします。また、観測者の座標軸は平行で、原点が同じであるとします。すると、ローレンツ変換によって、座標の関係が次のように表されます。 ここで、c は光速です。最初の観測者のフレームで 2 つのイベントが同時に発生する場合、それらのt座標の値は同一になります。ただし、それらのx座標の値が異なる場合 ( x方向の位置が異なる場合)、それらのt'座標の値は異なるため、そのフレームでは異なる時間に発生します。絶対的な同時性が保たれないことを説明する項は、vx / c ²です。 $${\displaystyle t'={\frac {t-{v\,x/c^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,,}$$ $${\displaystyle x'={\frac {xv\,t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,,}$$ $${\displaystyle y'=y\,,}$$ $${\displaystyle z'=z\,,}$$

t′ = 定数という式は、( x′ , t′ ) 座標系における 2 番目の (移動している) 観測者の「同時性ライン」を定義します。これは、t = 定数という式が、( x , t ) 座標系における最初の (静止している) 観測者の「同時性ライン」を定義するのと同じです。上記のローレンツ変換の式から、t' が一定になるのは、 t − vx / c ² = 定数の場合のみであることがわかります。したがって、 t を一定にする点の集合は、t' を一定にする点の集合とは異なります。つまり、同時と見なされるイベントの集合は、比較を行うために使用される参照フレームによって異なります。

グラフィカルに言えば、これは時空図上で、同時とみなされる点の集合をプロットすると、観測者に依存する線が生成されるという事実によって表すことができます。時空図では、破線は、光速の 1/4 の速度vで移動する観測者によって原点と同時であるとみなされる点の集合を表します。点線の水平線は、静止した観測者によって原点と同時であるとみなされる点の集合を表します。この図は、静止した観測者の ( x , t ) 座標を使用して描画され、光速が 1 になるように、つまり光線がx軸から 45° の角度を持つ線で表されるようにスケールされます。以前の分析から、 v = 0.25 およびc = 1とすると、同時性の破線の方程式はt − 0.25 x = 0 であり、v = 0 の場合、同時性の点線の方程式はt = 0 です。

一般に、2 番目の観測者は、t = x / vで記述される最初の観測者の時空における世界線を描き、2 番目の観測者 (原点) の同時発生イベントのセットは、線t = vxで記述されます。双曲直交性の原理に従って、世界線の傾きと同時発生イベントの乗法逆関係に注意してください。

上記のローレンツ変換の計算では、拡張同時性の定義（つまり、あなたがそこにいなかったイベントがいつどこで発生するか）が使用されています。これは、共動または「接線自由浮遊フレーム」定義とも呼ばれます。この定義は、レーダー時間/距離定義を使用することで、重力で曲がった時空でのイベントや加速された観測者に自然に外挿されます。これは、（加速フレームの接線自由浮遊フレーム定義とは異なり）イベントに固有の時間と位置を割り当てます。^[18]

拡張同時性のレーダー時間定義は、重力物体がない場合に、旅行者の時空が加速度によってどのように湾曲するかをさらに視覚化しやすくします。これは右の図に示されており、一定の固有加速度で往復する旅行者 (赤い軌跡) が経験する平坦な時空でのイベントのレーダー時間/位置等高線を示しています。このアプローチの注意点の 1 つは、遠隔イベントの時間と場所は、そのようなイベントからの光が旅行者に届くまで完全に定義されないことです。

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