レッジェ理論

量子物理学において、レッジェ理論（/ ˈ r ɛ dʒ eɪ / REJ -ay、イタリア語: [ˈrɛddʒe] ）は、角運動量の関数としての散乱の解析的性質を研究する理論であり、角運動量はħの整数倍に制限されず、任意の複素数値を取ることができる。非相対論的理論は、1959年にトゥリオ・レッジェによって開発された。^[1]

レッジェ極の最も単純な例は、クーロンポテンシャル の量子力学的処理によって提供される。言い換えれば、質量と電荷の電子が質量と電荷の陽子に結合または散乱される量子力学的処理によって提供される。電子が陽子に結合するエネルギーは負であるのに対し、散乱エネルギーは正である。結合エネルギーの式は、次の式である。 ${\displaystyle V(r)=-e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}r)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -e}$${\displaystyle M}$${\displaystyle +e}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle E\rightarrow E_{N}=-{\frac {2m'\pi ^{2}e^{4}}{h^{2}N^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}=-{\frac {13.6\,\mathrm {eV} }{N^{2}}},\;\;\;m^{'}={\frac {mM}{M+m}},}$

ここで、はプランク定数、 は真空の誘電率です。主量子数は量子力学では（ラジアルシュレーディンガー方程式の解により） で与えられます。ここで、はラジアル量子数、 は軌道角運動量の量子数です。上記の式を について解くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle N=1,2,3,...}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=n+l+1}$${\displaystyle n=0,1,2,...}$${\displaystyle l=0,1,2,3,...}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle l\rightarrow l(E)=-n+g(E),\;\;g(E)=-1+i{\frac {\pi e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}h}}(2m'/E)^{1/2}.}$

この式を複素関数として考えると、複素平面上でレッジェ軌道と呼ばれる経路が記述されます。したがって、この考察では、軌道運動量は複素数値をとることができます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle l}$

レッジェ軌道は他の多くのポテンシャル、特に湯川ポテンシャルに対しても得られる。^{[2] [3] [4]}

レッジェ軌道は散乱振幅の極として、または関連する - 行列に現れます。上で検討したクーロンポテンシャルの場合、この- 行列は量子力学の教科書を参照して確認できるように、次の式で与えられます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\frac {\Gamma (l-g(E))}{\Gamma (l+g(E))}}e^{-i\pi l},}$

ここで、 はガンマ関数であり、階乗 の一般化です。このガンマ関数は、に単純な極を持つ引数の有理型関数です。したがって、 （分子のガンマ関数）の式は、上記の Regge 軌道の式で与えられる点に正確に極を持ちます。これが Regge 極と呼ばれる理由です。 ${\displaystyle \Gamma (x)}$${\displaystyle (x-1)!}$${\displaystyle x=-n,n=0,1,2,...}$${\displaystyle S}$

理論の主な結果は、潜在的な散乱の散乱振幅は、散乱エネルギーが変化するにつれて変化する累乗として、散乱角の余弦の関数として増加するというものです。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle A(z)\propto z^{l(E^{2})}}$

ここで、 はエネルギー を持つ束縛状態となるべき状態の角運動量の非整数値です。これは、ラジアルシュレーディンガー方程式を解くことによって決定され、角運動量は異なるが同じラジアル励起数を持つ波動関数のエネルギーを滑らかに補間します。軌道関数は、相対論的一般化のための の関数です。この式はレッジェ軌道関数として知られ、 が整数の場合、粒子はこの角運動量を持つ実際の束縛状態を形成します。漸近形は、が 1 よりはるかに大きい場合に適用されますが、これは非相対論的散乱における物理的限界ではありません。 ${\displaystyle l(E^{2})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle s=E^{2}}$${\displaystyle l(s)}$${\displaystyle z}$

その後まもなく、スタンレー・マンデリシュタムは、相対論において、純粋に形式的な大の限界は、物理的な限界、すなわち大の限界に近いことを指摘した。大とは、交差チャネルにおけるエネルギーが大きいことを意味し、入射粒子の1つがエネルギー運動量を持ち、高エネルギーで出射する反粒子となる。この観察により、レッジェ理論は数学的な好奇心から物理理論へと変化した。レッジェ理論は、高エネルギーでの粒子間散乱の散乱振幅の減衰率を決定する関数が、角運動量の関数として粒子反粒子系の束縛状態エネルギーを決定する関数と同じであることを要求している。^[5]${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

スイッチには、エネルギーの2乗であるマンデルスタム変数 を 、運動量移動の2乗である と交換する必要がありました。これは、同一粒子の弾性ソフト衝突の場合、s×1から散乱角の余弦を引いた値です。交差チャネルの関係は次のようになります。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle A(z)\propto s^{l(t)}}$

これは、振幅は異なる対応する角度でのエネルギーの関数として異なるべき乗法則の減衰を持つことを示しています。ここで、対応する角度とは、同じ値を持つ角度です。べき乗法則を決定する関数は、共鳴が現れるエネルギーを補間する関数と同じであると予測されます。レジェ理論によって散乱を効果的に記述できる角度の範囲は、高エネルギーではビームラインの周囲の狭い円錐に縮小します。 ${\displaystyle t}$

1960 年、ジェフリー・チューとスティーブン・フラウチは、限られたデータから、強く相互作用する粒子は角運動量の 2 乗の質量という非常に単純な依存性を持つと推測しました。つまり、粒子は、すべての軌道で同じ定数を持つ、レッジェ軌道関数が直線になるファミリーに分類されます。直線のレッジェ軌道は、回転する相対論的弦の質量のない端点から生じることが後に理解されました。レッジェ記述は粒子が束縛状態であることを示唆していたため、チューとフラウチは、強く相互作用する粒子はどれも基本粒子ではないと結論付けました。 ${\displaystyle l(s)=ks}$${\displaystyle k}$

実験的には、ビーム近傍での散乱の挙動はレッジェ理論で説明されるように角度とともに減少し、強い相互作用にある粒子は複合粒子であると多くの人が受け入れるに至った。散乱の多くは回折によるもので、つまり粒子はほとんど散乱せず、衝突後もビームラインの近くにとどまる。ウラジミール・グリボフは、フロワサール境界と最大可能散乱の仮定を組み合わせると、対数的に増加する断面積につながるレッジェ軌道（現在ではポメロンとして知られている軌道）が存在することを示唆していると指摘した。彼はさらに、複数のポメロン交換が支配的なビームライン近傍散乱の定量的摂動理論を定式化した。

ハドロンが複合物であるという基本的な観察から、2 つの視点が生まれました。ある人は、今日ではクォークとグルーオンと呼ばれる素粒子が存在し、ハドロンが束縛状態である量子場理論を構成すると正しく主張しました。また、素粒子なしで理論を定式化できると正しく信じる人もいました。その理論では、すべての粒子がレッジェ軌道上に位置し、自己無撞着に散乱する束縛状態です。これはS行列理論と呼ばれました。

最も成功したS行列アプローチは、狭い共鳴近似、つまり直線のレッジェ軌道上の安定した粒子から始まる一貫した展開があるという考えを中心としていました。多くの失敗を経て、リチャード・ドーレン、デビッド・ホーン、クリストフ・シュミットは、ガブリエーレ・ヴェネツィアーノが自己無撞着な散乱振幅、つまり第一弦理論を定式化することにつながる重要な特性を理解しました。マンデリシュタムは、レッジェ軌道が直線である極限は、状態の寿命が長い極限でもあることを指摘しました。

レッジェ理論は、高エネルギーでの強い相互作用の基礎理論として、1960年代に一時期注目を集めましたが、その後、量子色力学に大きく引き継がれました。現象論的理論として、レッジェ理論は、ビームライン近傍の散乱や非常に高いエネルギーでの散乱を理解するために、今でも欠かせないツールとなっています。現代の研究では、摂動論と弦理論の両方との関連に焦点が当てられています。

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