準代数的閉体

数学において、体 F は、その変数の数が次数より大きい場合に、F上のすべての非定数斉次多項式P が非自明な零点を持つとき、準代数的に閉じている(またはC ₁ )と呼ばれる。準代数的に閉じた体というアイデアは、エミー・ネーターの学生であったCC ツェンが1936 年の論文 (Tsen 1936) で研究し、その後セルジュ・ラングが1951 年のプリンストン大学の学位論文と 1952 年の論文 (Lang 1952) で研究した。アイデア自体は、ラングの指導教官であったエミール・アルティンによるものとされている。

形式的には、 Pが変数の非定数同次多項式である 場合、

X ₁、...、X _N、

そして、次数dを満たす

d < N

すると、 F上の非自明な零点を持つ。つまり、F内の任意のx _iに対して、全てが 0 ではない場合、

P ( x ₁ , ..., x _N ) = 0 です。

幾何学的な言葉で言えば、N − 2次射影空間においてPによって定義される超曲面は、 F上に点を持ちます。

• 代数的に閉じた体は、準代数的に閉じている。実際、代数的に閉じた体上の少なくとも2つの変数の同次多項式には、非自明な零点が存在する。^[1]
• 任意の有限体は、シュヴァレー・ワーニング定理によって準代数的に閉じている。^{[2] [3] [4]}
• 代数的に閉じた体上の次元1の代数関数体は、ツェンの定理により準代数的に閉じている。^{[3] [5]}
• 離散値と完全剰余体を持つ完全体の最大非分岐拡大は準代数的に閉じている。^[3]
• 離散値と代数的に閉じた剰余体を持つ完備体は、ラングの結果により準代数的に閉じている。^{[3] [6]}
• 特性ゼロの擬代数的閉体は準代数的に閉じている。^[7]

• 準代数的に閉じた体の任意の代数的拡大は準代数的に閉じている。
• 準代数的に閉じた体の有限拡大のブラウアー群は自明である。 ^{[8] [9] [10]}
• 準代数的に閉じた体のコホモロジー次元は最大1である。 ^[10]

準代数的閉体はC ₁とも呼ばれる。C k体とは_、より一般的には、 N変数の次数dの同次多項式が非自明な零点を持つ体であり、

dk < N、^​

k ≥ 1 の場合^。[11] この条件は最初に Lang によって導入され研究されました。^[10] 体がC _iであれば有限拡大も C i です。[ ^{11] [12]} C ₀体はまさに代数的に閉じた体です。^{[13] [14]}

ラングと永田は、体がC _kであれば、超越次数 nの任意の拡大はC _{k + n}であることを証明した。^{[15] [16] [17]} KがC _k体となるような 最小のk（そのような数が存在しない場合）は、Kのディオファントス次元dd( K )と呼ばれる。^[13]${\displaystyle \infty}$

全ての有限体はC ₁である。^[7]

体kがC ₂であると仮定します。

• kを中心とする有限な任意の歪体 Dは、 D ^∗ → k ^∗の縮小ノルムが射影的であるという性質を持つ。^[16]
• k以上の5つ以上の変数を持つすべての二次形式は等方性である。^[16]

アルティンはp進体がC ₂であると予想したが、 ガイ・テルジャニアンはすべてのpに対してp進反例を発見した。^{[18] [19]} アックス・コッヘンの定理はモデル理論 の手法を適用して、アルティンの予想がpが十分に大きい（ dに依存） Q _pに対して正しいことを示した。

体Kが弱C _{k , d}であるとは、 N変数 の次数dの同次多項式が次を満たすときである。

dk < N^​

P ⁿ ( K )のザリスキー閉集合V ( f ) には、K上でザリスキー閉である部分多様体が含まれる。

任意のdに対して弱C _{k , d}である体は弱C _kである。^[2]

• C _k場は弱C _kである。^[2]
• 完全なPAC弱C _k体はC _kである。^[2]
• 体Kが弱Ck _{, dであるための必要十分条件は、条件を満たすすべての形式が}Kの主拡大である体上に定義された点xを持つ場合である。^[20]
• もし体が弱C _kならば、超越次数nの任意の拡大は弱C _{k + n}である。^[17]
• 代数的に閉じた体の任意の拡大は弱C ₁である。^[21]
• プロサイクリック絶対ガロア群を持つ任意の体は弱C1_である。^[21]
• 正の特性を持つ任意の体は弱C ₂である。^[21]
• 有理数体と関数体が弱C ₁ならば、あらゆる体は弱C ₁である。^[21]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}$

• フォームに関するブラウアーの定理
• ツェンランク

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