脈動流

流体力学では、周期的に変化する流れは脈動流、またはウォマーズリー流として知られています。この流れのプロファイルは、ジョン・R・ウォマーズリー（1907-1958）が動脈内の血流に関する研究で初めて導き出しました。^[1]脊索動物の心血管系は脈動流が見られる非常に良い例ですが、脈動流は、流体を汲み上げる 回転機構の結果として、エンジンや油圧システムでも観察されています。

脈動流プロファイルは直管内で次のように表される。

${\displaystyle u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,,}$

どこ：

脈動流プロファイルはウォマーズリー数に応じて形状が変化する。

${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{1/2}\,.}$

の場合、粘性力が流れを支配し、脈動は放物線状のプロファイルを持つ準静的であると考えられます。 の場合、中心核では慣性力が支配的であるのに対し、境界層の近くでは粘性力が支配的です。したがって、速度プロファイルは平坦になり、圧力波と速度波の間の位相は中心に向かってシフトします。^{[引用が必要]}${\displaystyle \alpha \lesssim 2}$${\displaystyle \alpha \gtrsim 2}$

ベッセル関数の下限値は^[2]となる。

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z)=1-{\frac {z^{2}}{4}}\,,}$

これは定常流の ハーゲン・ポアズイユ流れプロファイルに収束する。

${\displaystyle \lim _{n\to 0}u(r,t)=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,,}$

または、放物線状のプロファイルを持つ 準静的パルスに

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu}}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu}}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.}$

この場合、圧力波と速度波は同位相なので、関数は実数になります。

ベッセル関数の上限は^[2]

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z\,i)={\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi \,z}}}\,, }$

これは次のように収束する

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\,i^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]\sin(n\,\omega \,t)\,.}$

これは、振動する平板上のストークス層、または電気導体への交流磁場の表皮深さの浸透を非常に彷彿とさせます。表面では、指数項は大きくなり、無視できるようになりますが、速度プロファイルはほぼ一定になり、粘性に依存しなくなります。したがって、流れは圧力勾配に応じて、時間とともにプラグプロファイルとして単純に振動します。 ${\displaystyle u(r=R,t)=0}$${\displaystyle \alpha (1-r/R)}$

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\sum _{n=0}^{N}P'_{n}\,.}$

しかし、壁の近くの厚さの層では、速度は急速にゼロに調整されます。さらに、時間振動の位相は層全体の位置によって急速に変化します。高周波数の指数関数的減衰はより速くなります。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\alpha ^{-1})}$

この非定常流速プロファイルの解析解を導くために、以下の仮定がとられる：^{[3] [4]}

• 流体は均質、非圧縮性、ニュートン流体です。
• チューブの壁は硬く円形です。
• 運動は層流、軸対称、チューブの軸に平行です。
• 境界条件は、中心で軸対称、壁面で滑りなしの条件です。
• 圧力勾配は流体を駆動する周期関数です。
• 重力は流体に影響を与えません。

したがって、ナビエ・ストークス方程式と連続方程式は次のように簡略化される。

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,}$

そして

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,,}$

脈動流を駆動する圧力勾配はフーリエ級数に分解され、

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}(t)=\sum _{n=0}^{N}P'_{n}e^{in\omega t}\,,}$

ここで、 は虚数、は第 1調波の角周波数(つまり)、 は各調波の振幅です。 （ を表す）は定常圧力勾配であり、その符号は定常速度と反対であることに注意してください(つまり、負の圧力勾配は正の流れを生み出します)。同様に、流体は非圧縮性であるため、速度プロファイルも圧力勾配と 位相を合わせてフーリエ級数に分解されます。${\displaystyle i}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle P'_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P'_{0}}$${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t}\,,}$

ここで、は周期関数の各高調波の振幅であり、定常成分（）は単にポアズイユ流れである。${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle U_{0}=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,.}$

したがって、各高調波に対するナビエ・ストークス方程式は次のように表される。

${\displaystyle i\rho n\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}U_{n}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{n}}{\partial r}}\right)\,.}$

境界条件が満たされると、この常微分方程式の振動部分（） の一般解は${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,}$

ここで、は第1種で0次のベッセル関数、は第2種で0次のベッセル関数、およびは任意の定数、およびは無次元のウォマーズリー数です。軸対称境界条件（ ）は、導関数とが無限大に近づくにつれて、上式の導関数が有効であることを示すために適用されます。次に、壁の滑り止め境界条件（）により、が得られます。したがって、調和関数の速度プロファイルの振幅は次のようになります 。${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$${\displaystyle Y_{0}(\cdot )}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )}$ ${\displaystyle \partial U_{n}/\partial r|_{r=0}=0}$${\displaystyle B_{n}=0}$${\displaystyle J_{0}'}$${\displaystyle Y_{0}'}$${\displaystyle U_{n}(R)=0}$${\displaystyle A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\,,}$

ここで、は簡略化のために使用されます。速度プロファイル自体は、パルスのすべての高調波の 合計から得られる複素関数の実数部を取ることによって得られます。${\displaystyle \Lambda _{n}=\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

流量は、断面上の速度場を積分することによって得られる。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{p}J_{p}(a\,x)\right]=a\,x^{p}J_{p-1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left[x\,J_{1}(a\,x)\right]=a\,xJ_{0}(a\,x)\,,}$

それから

${\displaystyle Q(t)=\iint u(r,t)\,dA=\mathrm {Re} \left\{\pi \,R^{2}\,\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {2}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

速度プロファイルの形状を比較すると、

${\displaystyle u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}}\,,}$

どこ

${\displaystyle f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{n})}}\right]\right\}}$

は形状関数である。^[5] この定式化では慣性効果が無視されていることに注意することが重要です。速度プロファイルは、低いウォマーズリー数または高いウォマーズリー数に対して、それぞれ放物線プロファイルまたはプラグプロファイルに近似します。

直管の場合、壁面せん断応力は

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}\,.}$

ベッセル関数の導関数は

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{-p}J_{-p}(a\,x)\right]=a\,x^{-p}J_{p+1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial x}}\left[J_{0}(a\,x)\right]=-a\,J_{1}(a\,x)\,.}$

したがって、

${\displaystyle \tau _{w}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}P'_{n}{\frac {R}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}e^{in\omega t}\right\}\,.}$

圧力勾配が測定されていない場合でも、中心線での速度を測定することで圧力勾配を得ることができます。測定された速度は、次の形式の完全な式の実数部のみを持ちます。 ${\displaystyle P'_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(t)=\mathrm {Re} (u(0,t))\equiv \sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\,\cos(n\,\omega \,t)\,.}$

それを指摘すると、完全な物理的表現は ${\displaystyle J_{0}(0)=1}$

${\displaystyle u(0,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}}$

中心線で。測定された速度は、複素数のいくつかの特性を適用して完全な式と比較されます。任意の複素数積（）に対して、振幅と位相はそれぞれ およびの関係を持ちます。したがって、 ${\displaystyle C=AB}$${\displaystyle |C|=|A||B|}$${\displaystyle \phi _{C}=\phi _{A}+\phi _{B}}$

${\displaystyle {\tilde {U}}_{n}=\left|{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\quad \Rightarrow \quad P'_{n}={\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|}$

そして

${\displaystyle {\tilde {\phi }}=0=\phi _{P'_{n}}+\phi _{U_{n}}\quad \Rightarrow \quad \phi _{P'_{n}}=\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\,,}$

最終的に

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\right\}\,.}$

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