過去の分析

アリストテレスは『分析論前書』の第一巻で、まず基礎となる概念を定義することから始める。

1. 前提とは、ある対象について何かを肯定または否定する陳述のことであり、彼はそれを2つの異なる方法で分類している。
   1. 量（主語の範囲）による:内容の主語のすべてまたはどれにも該当しない場合は普遍的「すべての人間は動物である」、主語の一部である場合は特定的「一部の人間は男性である」、他の分類のいずれにも該当せず、量化子を欠く場合は不定「正義は善である」。
   2. 取得方法によって、証明的であるとは、それが真実であり、基本的な公理に基づいている場合であり、弁証法的であるとは、議論のために矛盾する2つの命題のうち最も妥当な答えを仮定する場合である。これらの定義については、『トピックス』でより詳しく議論されている。
2. 用語前提が分解される構成要素、すなわち述語と述語の対象となる主語。アリストテレスの論理学が範疇論的であることを理解することが重要である。それは彼の範疇の枠組みの中で機能し、主要な対象として「実体」に特別な重点を置いている。アリストテレスにとって、前提は基本的に「AはBである」（または「BはAについて述語される」）という標準形式で構成されている。
3. 三段論法とは、ある前提が提示されると、そこから必然的に結論が導き出されるという、議論または形式的な分析のことである。

これらの定義に基づき、アリストテレスは様々な種類の三段論法を分析します。この分析は、特定の種類の三段論法、すなわち証明を中心に据えた彼の科学哲学を理解する上で不可欠です。本書を通して、アリストテレスは三段論法における様々な様相前提、すなわち問題的（可能）、断言的（事実）、必然的（必然）の前提が持つ意味を詳細に探求しています。また、本書では三段論法の三つの図形という概念も紹介されています。

『分析論前書』第2巻は、三段論法の性質、誤った前提からの結論の導出、およびその他の関連する議論形式に焦点を当てています。特に、2つの異なるタイプの論理的証明に重点が置かれています。

• 循環的（または相互的）証明：これは、結論を用いて前提を証明するものであり、本質的には三段論法の結論を用いて、その元の前提の1つを証明するものです。アリストテレスは、このような証明は主語と述語の関係が完全に逆転できる場合にのみ論理的に妥当であり、つまり、項が同程度（または概念的に等しい）でなければならないと説明しています。しかし、元の三段論法のすべての逆が真であると仮定しなければならない場合、循環的証明は認識論的に自明なものとなり（「AはAである」を証明するのと同様）、したがって、実際の証明的価値や科学的価値は持たないと主張しています。

• 不可能証明（背理法）：現代の背理法に類似したこの方法は、まず矛盾する前提を真と仮定することで、ある命題を証明しようとするものです。この仮定した前提と、既知の真である別の前提を組み合わせることで、不可能証明は明らかに不可能または不合理な結論を導き出し、それによって最初の仮定が誤りであり、望ましい結論が真でなければならないことを証明します。

（直接証明に関する注記）：この間接的な方法は、本書における明示的証明（直接的な証明）とは根本的に対照的です。不可能な証明は論理的な矛盾を無理やり引き起こすことに依拠するのに対し、明示的証明は、矛盾を仮定する必要なく、受け入れられた前提から結論を直接的かつ肯定的に導き出します。一方、普遍的な前提を、単に特定の矛盾する例を提示することによって反駁する場合、それは反例を提示すると呼ばれます。

アリストテレスはまた、部分的な知識や知識の獲得がいかにして可能になるかを、三段論法を用いて説明し、いかにして誤りが生じるかを論じている。彼は、知識の獲得に関するこの解釈方法を、プラトンの著書『メノン』と明確に対比させている。プラトンは『メノン』の中で、すべての知識は、魂がイデアの世界に前世で存在したために既に持っていた知識を思い出すことによって得られると主張している。アリストテレスにとって、誤りは普遍を知らないこと、あるいは個物が普遍の一部であることを認識できないことによって生じるのである。

アリストテレスは帰納法がどのようにして可能になるかについて語っています。それは、変換の可能性を利用して、ある極端な項と中間項の間に別の極端な項を介して関係を確立することによってです。小前提（個々の事物と特性の関係）を変換できれば、個々の事物を中間項として扱うことができます。AがすべてのCについて真であり、BもすべてのCについて真であるが、CがすべてのBについて真であることもわかっている場合（逆）、AがBについて真であるとしか結論付けられません。彼は例を挙げています。Aを「長寿」、Bを「胆汁がない」とし、Cを「馬、人間、ラバなど」（彼はこれをすべての個々の事物の総和として扱います）といった個々の事物とします。AがすべてのCについて真であること（これらの動物は長寿である）、BがすべてのCについて真であること（これらの動物は胆汁がない）を観察します。BとCの関係を変換できれば、つまりCがすべてのBについて真であること（つまり、動物のリストにはすべての胆汁のない生き物が含まれていること）を証明できれば、論理的にギャップを埋めることができます。 AはCについて真であり、CはBと変換可能であるため、AはBについて真であると結論づけることができる。すなわち、胆汁を持たない生物はすべて長寿である。集合論の関係における関係について考えると、証明は次の例と似ている。

1. 最初の前提条件：
   • ${\displaystyle C\subseteq A}$;
   • ${\displaystyle C\subseteq B}$。
2. その逆：
   • ${\displaystyle B\subseteq C}$したがって${\displaystyle B=C}$;
3. 結論：
   • ${\displaystyle B(=C)\subseteq A}$

アリストテレスはまた、議論のさらに4つの基本的な要素についても述べている。

• パラダイムとは、極項が中間項に適用できることを、もう一方の極項に似たものを証明/例として用いることで示すことです。たとえば、A がすべての B に対して真であり、B がすべての C に対して真である場合、A はすべての C に対して真ですが、A がすべての B に対して真であることを示すために、C に似た D が例として与えられます。これは三段論法ではなく、類似しているとはいえ帰納法とは決定的に異なります。パラダイムは可逆性に依存しません。つまり、A と B の関係を証明するために、D は「すべての個別事例の総和」にはなりません。
• 縮小とは、中間項を追加することで、両極端の項間の関係に対する確信度を高めることができる場合を指します。AがすべてのCに対して真であるかどうか確信が持てないが、AがすべてのBに対して真であることはわかっており、BがすべてのCに対して真であると考える理由が、AがすべてのCに対して真であると考える理由よりも大きい場合、中間項を追加することで、AがすべてのCに対して真であるという主張に対する確信度が高まります。
• 反論とは、他の前提と矛盾するか、あるいは反対する前提のことである。
• 省略三段論法は、記号と確率に基づいて不確実性の下で分析を行う三段論法である。

西暦3世紀のアレクサンダー・オブ・アフロディシアスによる『分析論前書』の注釈は、現存する最古のものであり、古代の伝統の中でも最も優れたものの1つで、英語でも入手可能である。^{[ 7 ]}

6世紀にボエティウスは『分析論前書』の最初のラテン語訳を著したが、この翻訳は現存しておらず、『分析論前書』は11世紀にユトレヒトのベルナルドが引用するまで西ヨーロッパでは入手不可能だった可能性がある。^{[ 8 ]}

いわゆる12世紀後半のアノニムス・アウレリアネンシス3世は、現存する最初のラテン語注釈書、あるいは注釈書の断片である。 ^{[ 9 ]}

アリストテレスの論理学に関する現代の研究は、1951年にヤン・ウカシェヴィチが革新的なパラダイムを確立したことから始まった伝統に基づいている。彼のアプローチは、1970年代初頭にジョン・コーコランとティモシー・スマイリーによる一連の論文^{[ 10 ]}によって取って代わられ、1989年のロビン・スミスと2009年のギゼラ・ストライカーによる『分析論前書』の現代版翻訳に影響を与えた^{[ 11 ]。}

アリストテレスの『分析論前書』の研究において意味上の問題が生じるのは、アリストテレスが一般的に用いた「三段論法」という言葉が、現在のような狭義の意味合いを持たないためである。アリストテレスはこの用語を、幅広い有効な議論に適用できるような形で定義している。『分析論前書』において、アリストテレスは三段論法を「ある事柄を仮定すると、それらの事柄がそうであるゆえに、仮定されたものとは異なる事柄が必然的に導き出されるような、議論における演繹」と定義している。現代では、この定義によって「三段論法」という言葉の解釈をめぐる議論が巻き起こっている。現在では、三段論法は、伝統的な論理学の教科書における「三段論法」に酷似した結論に至るための方法としてのみ用いられている。すなわち、2つの前提に続いて結論があり、それぞれの結論は、結論に現れる2つの極端な項と、両方の前提に現れるが結論には現れない1つの中間項という、合計3つの項を含む定言命題である。一部の学者は、アリストテレスがギリシャ語のsyllogismos（συλλογισμός）に与えた意味として、「演繹」という言葉を使うことを好む。ヤン・ルカシェヴィチ、ユゼフ・マリア・ボヘンスキ、ギュンター・パツィヒはプロタシスとアポドーシスの二分法を支持しているが、ジョン・コーコランは三段論法を単なる演繹と考えることを好む。^{[ 12 ]}