圧力係数

流体力学において、圧力係数は流れ場全体の相対圧力を表す無次元数です。圧力係数は空気力学と流体力学で使用されます。流体の流れ場の各点には、独自の圧力係数C _{p が}あります。

航空力学や流体力学の多くの状況では、物体の近くの点における圧力係数は物体のサイズとは無関係です。したがって、工学モデルを風洞や水洞でテストし、モデルの周囲の重要な位置における圧力係数を決定することができ、これらの圧力係数を使用して、実物大の航空機やボートの周囲の重要な位置における流体圧力を自信を持って予測できます。

圧力係数は、水や空気などの非圧縮性/圧縮性流体の両方を研究するためのパラメータです。無次元係数と次元数の関係は ^{[1] [2]です。}

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}$

どこ：

${\displaystyle p}$圧力係数が評価される点における静圧である。

${\displaystyle p_{\infty }}$自由流（つまり、いかなる擾乱からも遠い）における静圧である。

${\displaystyle \rho _{\infty }}$は自由流の密度です（海面および15℃の空気は1.225です）${\displaystyle {\rm {kg/m^{3}}}}$

${\displaystyle V_{\infty }}$流体の自由流速度、または流体中を通過する物体の速度である。

ベルヌーイの方程式を用いると、圧力係数はポテンシャル流（非粘性、定常）に対してさらに簡略化できる。 ^[3]

${\displaystyle C_{p}|_{M\,\approx \,0}={p-p_{\infty } \over p_{0}-p_{\infty }}={1-{\bigg (}{\frac {u}{u_{\infty }}}{\bigg )}^{2}}}$

どこ：

${\displaystyle u}$圧力係数が評価される地点における流速である。

${\displaystyle M}$はマッハ数であり、ゼロの極限でとられる。

${\displaystyle p_{0}}$流れのよどみ圧力である

この関係は、速度と圧力の変化が十分に小さく、流体密度の変化が無視できる非圧縮性流体の流れに有効です。この仮定は、マッハ数が約 0.3 未満の場合にエンジニアリングの実践でよく使用されます。

• ${\displaystyle C_{p}}$ゼロは圧力が自由流圧力と同じであることを示します。
• ${\displaystyle C_{p}}$1 はよどみ圧力に対応し、よどみ点を示します。
• 液体の流れにおけるの最小の負の値をキャビテーション数に加算すると、キャビテーション マージンが得られます。このマージンが正の場合、流れは局所的に完全に液体であり、ゼロまたは負の場合、流れはキャビテーションまたはガスです。${\displaystyle C_{p}}$

グライダーの設計において、の位置は重要です。これは、大気の垂直方向の動きには反応しますが、グライダーの垂直方向の操縦には反応しない特殊な垂直速度計であるバリオメーターへの信号圧力を供給するための「総エネルギー」ポートの適切な位置を示しているためです。 ${\displaystyle C_{p}=-1}$

物体の周囲の非圧縮性流体の流れ場には、1 までの正の圧力係数を持つ点と、マイナス 1 未満の係数を含む負の圧力係数を持つ点が存在します。

空気などの圧縮性流体の流れ、特に圧縮性流体の高速流れでは、（動圧）はもはやよどみ点圧力と静圧の差の正確な尺度ではありません。また、よどみ点圧力が全圧に等しいというよく知られた関係は常に成り立つわけではありません。（等エントロピー流れでは常に成り立ちますが、衝撃波の存在により流れが等エントロピーから外れる可能性があります。）その結果、圧縮性流れでは圧力係数が1より大きくなることがあります。^[4]${\displaystyle {{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}}$

圧力係数は、自由流速度で正規化されたポテンシャルと 摂動ポテンシャルを導入することによって、非回転流および等エントロピー流 に対して推定することができる。${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle u_{\infty }}$

${\displaystyle \Phi =u_{\infty }x+\phi (x,y,z)}$

ベルヌーイの方程式を用いると、

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {a^{2}}{\gamma -1}}={\text{constant}}}$

音速は どこですか。${\displaystyle a}$

圧力係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {a}{a_{\infty }}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}({\frac {u_{\infty }^{2}}{2}}-\Phi _{t}-{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}})+1\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx {\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1-{\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}(\phi _{t}+u_{\infty }\phi _{x})\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx -{\frac {2\phi _{t}}{u_{\infty }^{2}}}-{\frac {2\phi _{x}}{u_{\infty }}}\end{aligned}}}$

遠距離音速は どこですか。${\displaystyle a_{\infty }}$

古典的なピストン理論は強力な空気力学ツールです。運動量方程式と等エントロピー摂動の仮定を使用することで、表面圧力に関する次の基本的なピストン理論式が得られます。

${\displaystyle p=p_{\infty }\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}}$

ここで、はダウンウォッシュ速度、は音速です。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle C_{p}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]}$

表面は次のように定義される。

${\displaystyle F(x,y,z,t)=z-f(x,y,t)=0}$

滑り速度境界条件は、

${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}(u_{\infty }+\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z})=V_{\text{wall}}\cdot {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}=-{\frac {\partial F}{\partial t}}{\frac {1}{|\nabla F|}}}$

ダウンウォッシュ速度は次のように近似される。 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w={\frac {\partial f}{\partial t}}+u_{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}}$

極超音速流では、ニュートンの粒子流体理論を用いて車両の圧力係数を正確に計算することができるが、この理論は低速流では不正確であり、次の3つの仮定に依存している。^[5]

1. 流れは直線運動する粒子の流れとしてモデル化できる。
2. 表面に衝突すると、通常の運動量はすべて失われます。
3. すべての接線方向の運動量は保存され、流れは物体に沿って進む。

自由流の速度が、自由流に対して角度で傾斜している面積 の表面に衝突する場合、法線運動量の変化は で、表面に入射する質量流束は で、 は自由流の空気密度です。すると、運動量流束は表面に及ぼされる力に等しく、ニュートンの第 2 法則から次の式に等しくなります。 ${\displaystyle V_{\infty }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle V_{\infty }\sin \theta }$${\displaystyle \rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta }$${\displaystyle \rho _{\infty }}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=(\rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta )(V_{\infty }\sin \theta )=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}A\sin ^{2}\theta }$

表面積で割ると、単位面積あたりの力が表面圧力と自由流圧力の圧力差に等しくなることは明らかであり、次の関係が導かれます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {F}{A}}=p-p_{\infty }=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}\sin ^{2}\theta \implies {\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}=2\sin ^{2}\theta }$

最後の式は圧力係数として識別することができ、ニュートン理論では極超音速流の圧力係数は次のように予測されることを意味します。

${\displaystyle C_{p}=2\sin ^{2}\theta }$

非常に高速の流れや鋭い表面を持つ乗り物の場合、ニュートンの理論は非常にうまく機能します。

ニュートン力学理論の修正、特に鈍体に対する修正はレスター・リースによって提案された。^[6]

${\displaystyle C_{p}=C_{p,\max }\sin ^{2}\theta }$

ここで、通常の衝撃波の後ろのよどみ点における圧力係数の最大値は、 ${\displaystyle C_{p,\max }}$

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {p_{o}-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}={\frac {p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)}$

ここで、はよどみ点圧力、 は比熱比です。最後の関係は、理想気体の法則、マッハ数、および音速から得られます。熱的に完全な垂直衝撃波に対するレイリーピトー管の式によると、よどみ点圧力と自由流圧力の比は次のようになります。 ${\displaystyle p_{o}}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p=\rho RT}$${\displaystyle M=V/a}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\gamma RT}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]}$

したがって、修正ニュートンの法則の最大圧力係数は次のようになります。

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left\{\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]-1\right\}}$

の極限では、最大圧力係数は次のようになります。 ${\displaystyle M_{\infty }\rightarrow \infty }$

${\displaystyle C_{p,\max }=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}}{4\gamma }}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left({\frac {4}{\gamma +1}}\right)}$

そして、、として、非常に高速でのニュートン理論からの圧力係数を回復します。修正ニュートン理論は、鈍い物体上の圧力分布を計算するためのニュートンモデルよりも大幅に正確です。^[5]${\displaystyle \gamma \rightarrow 1}$${\displaystyle C_{p,\max }=2}$

特定の迎え角における翼には、圧力分布と呼ばれるものがあります。この圧力分布は、翼の周囲のすべての点における圧力です。通常、これらの分布のグラフは、負の数値がグラフの上側になるように描かれます。翼の上面の圧力は通常、ゼロよりさらに下になるため、グラフの一番上の線になります。 ${\displaystyle C_{p}}$

3 つの空力係数はすべて、翼弦に沿った圧力係数曲線の積分です。厳密に水平な表面を持つ 2 次元翼断面の揚力係数は、圧力分布係数から積分、つまり分布上の線間の面積を計算することで計算できます。この式は、圧力誘起揚力の方向を考慮していないため、揚力近似のパネル法を使用した直接数値積分には適していません。この方程式は、迎え角がゼロの場合にのみ当てはまります。

${\displaystyle C_{l}={\frac {1}{x_{TE}-x_{LE}}}\int \limits _{x_{LE}}^{x_{TE}}\left(C_{p_{l}}(x)-C_{p_{u}}(x)\right)dx}$

どこ：

${\displaystyle C_{p_{l}}}$下面の圧力係数である

${\displaystyle C_{p_{u}}}$上面の圧力係数である

${\displaystyle x_{LE}}$先端の位置

${\displaystyle x_{TE}}$後縁の位置

分布において下面が高く（より負に）なると、揚力ではなく下向きの力が生じるため、負の領域としてカウントされます。 ${\displaystyle C_{p}}$

• 揚力係数
• 抗力係数
• ピッチングモーメント係数

• Abbott, IH および Von Doenhoff, AE (1959)翼断面の理論、Dover Publications, Inc. ニューヨーク、標準書籍番号 486-60586-8
• アンダーソン、ジョン D (2001)空気力学の基礎 第 3 版、マグロウヒル。ISBN 0-07-237335-0