電磁場のエネルギー保存を示す物理学の定理
電気力学 において 、 ポインティングの定理 はイギリスの 物理学者 ジョン・ヘンリー・ポインティングによって提唱された 電磁場 の エネルギー保存 則である 。 [1]これは、与えられた体積内で蓄えられたエネルギーは、その体積内の 電荷 に対して行われた 仕事 からエネルギーが体積から出る速度を引いた値で決まる 速度で変化することを述べている。これは 分散性 のない媒体においてのみ厳密に成り立つが、分散性の場合にも拡張できる。 [2]
この定理は 古典力学 における 仕事-エネルギーの定理 に類似しており、数学的には 連続の方程式 に似ている。
意味 ポインティングの定理は、空間領域からの単位体積あたりのエネルギー転送率は、 その領域内の電荷分布に対して行われた 仕事率と、その領域から放出される エネルギー流束 の合計に等しいと述べています。
数学的には：
−
∂ あなた
∂ t
= ∇ ⋅
S
+
J
⋅
え
{\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
どこ：
−
∂ あなた
∂ t
{\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}}
体積内のエネルギー密度の変化率です。 ∇• S は 体積から出るエネルギーの流れであり、 ポインティングベクトル S の 発散 によって与えられます。 J • E は 、体積内の電荷に対して電界が作用する速度です ( J は 電荷の動きに対応する 電流密度、 E は 電界 、 • は ドット積 です)。
発散定理 を用いると 、ポインティングの定理は積分形式でも表すことができます。
どこ
S は ポインティング ベクトルによって与えられるエネルギー フローです。
あなた
{\displaystyle u}
体積内のエネルギー密度です。
∂ 五
{\displaystyle \partial V\!}
ボリュームの境界です。ボリュームの形状は任意ですが、計算上は固定されています。
連続方程式のアナログ 電気工学の 文脈では 、この定理はエネルギー密度項 u が次のように展開されて記述されることがあります。 [ 要出典 ] この形式は 連続方程式 に似ています。
∇ ⋅
S
+
ϵ
0
え
⋅
∂
え
∂ t
+
B
μ
0
⋅
∂
B
∂ t
+
J
⋅
え
= 0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\ mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0}
、 どこ
ε 0 は 真空の誘電率 、 μ 0 は 真空の透磁率 です 。
ϵ
0
え
⋅
∂
え
∂ t
{\displaystyle \epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
電界の形成を促進する 無効電力 の密度である。
B
μ
0
⋅
∂
B
∂ t
{\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
磁場の形成を促進する 無効電力 の密度であり、
J
⋅
え
{\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
電荷キャリアに作用する ローレンツ力 によって消費される 電力 の密度です。
導出 電磁場内の個々の電荷の場合、その電荷に対して電磁場が行う仕事率は、 ローレンツ力の法則 によって次のように表されます。
d わ
d t
= q
ヴ
⋅
え
{\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=q\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} }
これを電流密度J とともに移動する電荷の連続分布に拡張すると、 次のようになります。
d
W
d
t
=
∫
V
J
⋅
E
d
3
x
{\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x}
アンペールの回路法則 によれば ：（
ここでは磁場と電場の H 形式と D 形式が使用されている
ことに注意してください 。B 形式と E 形式も同等の導出に使用できます。） [3]
J
=
∇
×
H
−
∂
D
∂
t
{\displaystyle \mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
これを仕事率の式に代入すると次のようになります。
∫
V
J
⋅
E
d
3
x
=
∫
V
[
E
⋅
(
∇
×
H
)
−
E
⋅
∂
D
∂
t
]
d
3
x
{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=\int _{V}\left[\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}
ベクトルアイデンティティ を使用する :
∇
⋅
(
E
×
H
)
=
(
∇
×
E
)
⋅
H
−
E
⋅
(
∇
×
H
)
{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\ (\nabla {\times }\mathbf {E} )\cdot \mathbf {H} \,-\,\mathbf {E} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {H} )}
∫
V
J
⋅
E
d
3
x
=
−
∫
V
[
∇
⋅
(
E
×
H
)
−
H
⋅
(
∇
×
E
)
+
E
⋅
∂
D
∂
t
]
d
3
x
{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}
ファラデーの法則 によれば 、
次のように
なります。
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
∫
V
J
⋅
E
d
3
x
=
−
∫
V
[
∇
⋅
(
E
×
H
)
+
E
⋅
∂
D
∂
t
+
H
⋅
∂
B
∂
t
]
d
3
x
{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}
導出を続けるには、以下の仮定が必要である: [2]
電荷は分散性 のない媒体内を移動しています 。 総電磁エネルギー密度は、時間とともに変化する場であっても、次のように与えられる。
u
=
1
2
(
E
⋅
D
+
B
⋅
H
)
{\displaystyle u={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )}
[4] は 次のように示せます :
そして
したがって:
∂
∂
t
(
E
⋅
D
)
=
2
E
⋅
∂
∂
t
D
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )=2\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} }
∂
∂
t
(
H
⋅
B
)
=
2
H
⋅
∂
∂
t
B
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} }
∂
u
∂
t
=
E
⋅
∂
D
∂
t
+
H
⋅
∂
B
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
仕事率の式に戻ると、
∫
V
J
⋅
E
d
3
x
=
−
∫
V
[
∂
u
∂
t
+
∇
⋅
(
E
×
H
)
]
d
3
x
{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\right]~\mathrm {d} ^{3}x}
体積は任意なので、これを微分形式で表すと次のようになります。
ここで、 はポインティング ベクトルです。
−
∂
u
∂
t
=
∇
⋅
S
+
J
⋅
E
{\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
マクロな媒体では、電磁効果は空間的に平均化された（マクロな）場によって記述される。マクロな媒体におけるポインティングベクトルは、空間的に平均化されたミクロなポインティングベクトルがマクロな形式論によって正確に予測されるように、ミクロな理論と自己矛盾なく定義することができる。この結果は、低損失の限界において厳密に有効であり、マクロな電気力学におけるポインティングベクトルの形式を明確に識別することを可能にする。 [5] [6]
ポインティングの定理の別のバージョンを導くことも可能である。 [7] 上記の 磁束ベクトル E × Hの代わりに、同じ導出スタイルに従うことが可能であるが、代わりに E × B 、 ミンコフスキー 形式 D × B 、あるいは D × H を選択する。それぞれの選択は、伝播媒体の応答を独自の方法で表す。上記の E × B 形式は、応答が電流によってのみ発生するという特性を持ち、一方 D × H 形式は（架空の） 磁気単極子 電流のみを使用する。他の 2 つの形式（アブラハムとミンコフスキー）は、電流と磁気電流の相補的な組み合わせを使用して、媒体の分極と磁化の応答を表す。 [7]
修正 この命題の導出は、方程式がモデル化する材料が、 線形 、 等方性 、均質で 周波数に依存しない一連の 磁化率 特性によって記述できるという仮定に依存している 。 [8]材料には吸収がないという仮定も必要である。変動を考慮するためにポインティングの定理を修正すると、材料の 非オーム 吸収 率の項が含まれるが、これは ドルーデモデル に基づく簡略化された近似によって計算できる 。 [8]
∂
∂
t
U
+
∇
⋅
S
+
E
⋅
J
free
+
R
⊣
∫
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {U}}+\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+{\mathcal {R}}_{\dashv \int }=0}
複素ポインティングベクトル定理 この形式の定理は、空間を伝播する高調波場を考慮する必要があるアンテナ理論で役立ちます。この場合、位相記号を使用して、 および と なります。すると、次の数学的恒等式が成立します。
E
(
t
)
=
E
e
j
ω
t
{\displaystyle E(t)=Ee^{j\omega t}}
H
(
t
)
=
H
e
j
ω
t
{\displaystyle H(t)=He^{j\omega t}}
1
2
∫
∂
Ω
E
×
H
∗
⋅
d
a
=
j
ω
2
∫
Ω
(
ε
E
E
∗
−
μ
H
H
∗
)
d
v
−
1
2
∫
Ω
E
J
∗
d
v
,
{\displaystyle {1 \over 2}\int _{\partial \Omega }E\times H^{*}\cdot d{\mathbf {a} }={j\omega \over 2}\int _{\Omega }(\varepsilon EE^{*}-\mu HH^{*})dv-{1 \over 2}\int _{\Omega }EJ^{*}dv,}
ここで 電流密度です。
J
{\displaystyle J}
自由空間では、 およびは 実数であるため、上記の式の実数部を取ると、 そこを流れる 平均放射電力が 電荷にかかる仕事に等しいという事実が表現されることに注意してください。
ε
{\displaystyle \varepsilon }
μ
{\displaystyle \mu }
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
参考文献
^ ポインティング、JH（1884年12月）。 「 電磁場 におけるエネルギーの伝達について」 。 ロンドン王立協会哲学論文集 。175 ：343-361。doi ： 10.1098/rstl.1884.0016 。 ^ ab ジャクソン、ジョン・デイビッド (1999)。 古典電気力学 (第3版)。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。pp. 258–267。ISBN 978-0-471-30932-1 。 ^ グリフィス、デビッド・J. (1989)。 『電気力学入門 （第2版）』。ニュージャージー州エングルウッドクリフス：プレンティスホール。pp. 322–324。ISBN 0-13-481367-7 。 ^ Ellingson, Steven (2020年5月9日). 「ポインティングの定理」. LibreTexts . 2021年 12月3日 閲覧 。 ^ Silveirinha, MG (2010). 「構造化材料におけるポインティングベクトル、加熱速度、蓄積エネルギー：第一原理導出」. Phys. Rev. B. 82 : 037104. doi :10.1103/physrevb.82.037104. ^ Costa, JT, MG Silveirinha, A. Alù (2011). 「負の屈折率を持つメタマテリアルのポインティングベクトル」. Phys. Rev. B . 83 (16): 165120. Bibcode :2011PhRvB..83p5120C. doi :10.1103/physrevb.83.165120. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)^ ab Kinsler, P.; Favaro, A.; McCall MW (2009). 「4つのポインティング定理」 (PDF) . European Journal of Physics . 30 (5): 983. arXiv : 0908.1721 . Bibcode :2009EJPh...30..983K. doi :10.1088/0143-0807/30/5/007.
^ ab フリーマン、リチャード; キング、ジェームズ; ラフィアティス、グレゴリー (2019)、「電気と磁気の基本」、 電磁放射 、オックスフォード: オックスフォード大学出版局、 doi :10.1093/oso/9780198726500.001.0001/oso-9780198726500-chapter-1#oso-9780198726500-chapter-1-displaymaths-20 (2024年11月30日現在非アクティブ)、 ISBN 978-0-19-872650-0 、 2022-02-18 取得 {{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
外部リンク Eric W. Weisstein「ポインティングの定理」 ScienceWorld より – Wolfram Web リソース。
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=\int _{V}\left[\mathbf {E} \cdot ( \nabla \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff46a264c47eeec1043e77440754665a0350b4f)
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20693178d1558ec722aa57f0fca54779a68082ca)
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702bf8c526ec017c68a161d77f3a2642dec2bfd)
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[{\frac {\partial u }{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\right]~\mathrm {d} ^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c97fba1236c8ef55b67fe1ab01ad4393b615b11)
